Legea tangențelor - Law of tangents

Figura 1 - Un triunghi. Unghiurile α , β și γ sunt, respectiv, opuse laturilor a , b și c .

Trigonometrie
Contur Istorie Utilizare Funcții  ( invers ) Trigonometrie generalizată
Referinţă
Identități Constante exacte Mese Cerc de unitate
Legi și teoreme
Sinele Cosinusii Tangente Cotangenti teorema lui Pitagora
Calcul
Substituție trigonometrică Integrale  ( funcții inverse ) Derivate
v t e

În trigonometrie , legea tangențelor este o afirmație despre relația dintre tangențele a două unghiuri ale unui triunghi și lungimile laturilor opuse.

În Figura 1, a , b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului, iar α , β și γ sunt unghiurile opuse celor trei laturi respective. Legea tangențelor afirmă că

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} { 2}} (\ alpha + \ beta)}}.}$

Legea tangențelor, deși nu este atât de cunoscută ca legea sinelor sau legea cosinusului , este echivalentă cu legea sinelor și poate fi utilizată în orice caz în care două laturi și unghiul inclus, sau două unghiuri și o latură , sunt cunoscute.

Dovadă

Pentru a demonstra legea tangențelor se poate începe cu legea sinelor :

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.}$

Lăsa

${\ displaystyle d = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}}$

astfel încât

${\ displaystyle a = d \ sin \ alpha \ quad {\ text {și}} \ quad b = d \ sin \ beta.}$

Rezultă că

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {d \ sin \ alpha -d \ sin \ beta} {d \ sin \ alpha + d \ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}}.}$

Folosind identitatea trigonometrică , formula factorului pentru sinele specific

${\ displaystyle \ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta = 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} ( \ alpha \ mp \ beta),}$

primim

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)}} = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta )}} {\ Bigg /} {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} }.}$

Ca alternativă la utilizarea identității pentru suma sau diferența a două sinusuri, se poate cita identitatea trigonometrică

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta} }}$

(vezi formula tangențială de unghi unghiular ).

Cerere

Legea tangențelor poate fi utilizată pentru a calcula latura și unghiurile lipsă ale unui triunghi în care sunt date două laturi a și b și unghiul închis γ . Din

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ cot {\ tfrac {1} {2}} \ gamma}$

se poate calcula α - β ; împreună cu α + β = 180 ° - γ aceasta produce α și β ; partea rămasă c poate fi apoi calculată folosind legea sinelor . În vremea când calculatoarele electronice erau disponibile, această metodă era preferabilă unei aplicații a legii cosinusului c = √ a ² + b ² - 2 ab cos γ , deoarece această din urmă lege a necesitat o căutare suplimentară într-un tabel logaritmic , pentru pentru a calcula rădăcina pătrată. În timpurile moderne legea tangențelor poate avea proprietăți numerice mai bune decât legea cosinusului: Dacă γ este mic, iar a și b sunt aproape egale, atunci o aplicare a legii cosinusului duce la o scădere a valorilor aproape egale, ceea ce implică o pierdere de cifre semnificative .

Versiune sferică

Pe o sferă de rază unitară, laturile triunghiului sunt arcuri de cercuri mari . În consecință, lungimile lor pot fi exprimate în radiani sau în orice alte unități de măsură unghiulară. Fie A , B , C unghiurile la cele trei vârfuri ale triunghiului și fie a , b , c lungimile respective ale laturilor opuse. Legea sferică a tangențelor spune

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (AB)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (A + B)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (ab)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (a + b)}}.}$

Istorie

Legea tangențelor pentru triunghiurile sferice a fost descrisă în secolul al XIII-lea de matematicianul persan Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), care a prezentat, de asemenea, legea sinusurilor pentru triunghiurile plane în lucrarea sa de cinci volume Treatise on the Quadrilateral .

Vezi si

• Legea sinelor
• Legea cosinusului
• Legea cotangenților
• Formula lui Mollweide
• Formula pe jumătate
• Formula tangențială cu unghi de jumătate

Note