Adăugare - Addition

3 + 2 = 5 cu mere , o alegere populară în manuale

Adunarea (de obicei semnificată prin simbolul plus + ) este una dintre cele patru operații de bază ale aritmeticii , celelalte trei fiind scăderea , înmulțirea și împărțirea . Adăugarea a două numere întregi are ca rezultat suma totală sau suma acelor valori combinate. Exemplul din imaginea alăturată arată o combinație de trei mere și două mere, realizând un total de cinci mere. Această observație este echivalentă cu expresia matematică „3 + 2 = 5” (adică „3 plus 2 este egal cu 5”).

Pe lângă numărarea articolelor, adunarea poate fi definită și executată fără a face referire la obiecte concrete , folosind în schimb abstracții numite numere , cum ar fi numere întregi , numere reale și numere complexe . Adaosul aparține aritmeticii, o ramură a matematicii . În algebră , o altă zonă a matematicii, adăugarea poate fi efectuată și pe obiecte abstracte, cum ar fi vectori , matrice , subspatii și subgrupuri .

Adăugarea are câteva proprietăți importante. Este comutativ , ceea ce înseamnă că ordinea nu contează și este asociativă , ceea ce înseamnă că atunci când se adaugă mai mult de două numere, ordinea în care se efectuează adunarea nu contează (vezi Suma ). Adăugarea repetată de 1 este aceeași cu numărarea; adăugarea de 0 nu schimbă un număr. Adunarea respectă, de asemenea, regulile previzibile privind operațiile conexe, cum ar fi scăderea și multiplicarea.

Adunarea este una dintre cele mai simple sarcini numerice. Adăugarea unui număr foarte mic este accesibil copiilor mici; cea mai de bază sarcină, 1 + 1 , poate fi îndeplinită de sugari de până la cinci luni și chiar de unii membri ai altor specii de animale. În învățământul primar , elevii sunt învățați să adauge numere în sistemul zecimal , începând cu cifre simple și abordând progresiv probleme mai dificile. Ajutoarele mecanice variază de la vechiul abac la computerul modern , unde cercetările privind cele mai eficiente implementări ale adăugării continuă până în prezent.

Operatii aritmetice v t e

Adăugare (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Scădere (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {difference}}}$ Înmulțirea (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ ori \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Divizie (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {fraction}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Exponențierea ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ a n- a rădăcină (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritm (jurnal) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logaritm}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritm}}}$

Notare și terminologie

Semnul plus

Adaosul este scris folosind semnul plus "+" între termeni; adică în notație infix . Rezultatul este exprimat cu un semn egal . De exemplu,

${\ displaystyle 1 + 1 = 2}$ („unu plus unu este egal cu doi”)

${\ displaystyle 2 + 2 = 4}$ („doi plus doi este egal cu patru”)

${\ displaystyle 1 + 2 = 3}$ („unu plus doi este egal cu trei”)

${\ displaystyle 5 + 4 + 2 = 11}$(a se vedea „asociativitatea” de mai jos )

${\ displaystyle 3 + 3 + 3 + 3 = 12}$(a se vedea „multiplicare” mai jos )

Adăugarea coloanei - numerele din coloană trebuie adăugate, cu suma scrisă sub numărul subliniat .

Există, de asemenea, situații în care adăugarea este „înțeleasă”, chiar dacă nu apare niciun simbol:

• Un număr întreg urmat imediat de o fracție indică suma celor două, numită număr mixt . De exemplu,
  $${\ displaystyle 3 {\ frac {1} {2}} = 3 + {\ frac {1} {2}} = 3.5.}$$

  
  Această notație poate provoca confuzie, deoarece în majoritatea celorlalte contexte, juxtapunerea denotă în schimb multiplicare .

Suma unei serii de numere corelate poate fi exprimată prin notația capitală sigma , care denotă compact iterația . De exemplu,

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {5} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} = 55.}$

Numerele sau obiectele care trebuie adăugate în general sunt denumite în mod colectiv termenii , completările sau sumele ; această terminologie duce la însumarea mai multor termeni. Acest lucru trebuie distins de factorii care se înmulțesc . Unii autori numesc primul addend augend . De fapt, în timpul Renașterii , mulți autori nu au considerat deloc primul addend un „addend”. Astăzi, datorită proprietății comutative a adaosului, „augend” este rar folosit și ambii termeni sunt numiți în general addends.

Toată terminologia de mai sus derivă din latină . „ Adăugare ” și „ adăugare ” sunt cuvinte în limba engleză derivate din verbul latin addere , care este la rândul său un compus al anunțului „la” și îndrăznește „a da”, de la rădăcina proto-indo-europeană * deh₃- „a da” ; astfel a adăuga înseamnă a da . Utilizarea gerundiv sufixul -nd rezultatele în „adăugarea diferită “, „lucru care urmează să fie adăugate“. La fel, din augere „a crește”, se obține „augend”, „lucru care trebuie crescut”.

Ilustrație redesenată din The Art of Nombryng , unul dintre primele texte aritmetice englezești, din secolul al XV-lea.

„Suma” și „summand” derivă din substantivul latin summa „cel mai înalt, cel de sus” și verbul asociat summare . Acest lucru este potrivit nu numai pentru că suma a două numere pozitive este mai mare decât oricare dintre ele, ci pentru că era obișnuit ca grecii și romanii antici să adauge în sus, contrar practicii moderne de a adăuga în jos, astfel încât o sumă să fie literalmente mai mare decât suplimente. Addere și summare datează cel puțin de la Boethius , dacă nu de la scriitori romani anteriori, cum ar fi Vitruvius și Frontinus ; Boethius a folosit și alți termeni pentru operația de adăugare. Termenii mai târziu în engleza mijlocie „adden” și „adăugare” au fost popularizați de Chaucer .

Semnul plus "+" ( Unicode : U + 002B; ASCII : +) este o abreviere a cuvântului latin et , însemnând "și". Apare în lucrări matematice care datează din cel puțin 1489.

Interpretări

Adăugarea este utilizată pentru a modela multe procese fizice. Chiar și pentru cazul simplu de adăugare a numerelor naturale , există multe interpretări posibile și chiar mai multe reprezentări vizuale.

Combinarea seturilor

Poate că cea mai fundamentală interpretare a adunării constă în combinarea seturilor:

• Când două sau mai multe colecții disjuncte sunt combinate într-o singură colecție, numărul de obiecte din colecția unică este suma numărului de obiecte din colecțiile originale.

Această interpretare este ușor de vizualizat, cu puțin pericol de ambiguitate. Este util și în matematica superioară (pentru definiția riguroasă pe care o inspiră, vezi § Numere naturale de mai jos). Cu toate acestea, nu este evident cum ar trebui extinsă această versiune a adaosului pentru a include numere fracționate sau numere negative.

O soluție posibilă este de a lua în considerare colecțiile de obiecte care pot fi ușor împărțite, cum ar fi plăcinte sau, și mai bine, tije segmentate. Mai degrabă decât combinarea exclusivă a colecțiilor de segmente, tijele pot fi îmbinate cap la cap, ceea ce ilustrează o altă concepție a adăugării: adăugarea nu a tijelor, ci a lungimilor tijelor.

Extinderea unei lungimi

O vizualizare pe linie numerică a adunării algebrice 2 + 4 = 6. O traducere de 2 urmată de o traducere de 4 este aceeași cu o traducere de 6.

O vizualizare pe linie numerică a adunării unare 2 + 4 = 6. O traducere cu 4 este echivalentă cu patru traduceri cu 1.

O a doua interpretare a adaosului vine din extinderea unei lungimi inițiale cu o lungime dată:

• Când o lungime originală este extinsă cu o anumită sumă, lungimea finală este suma lungimii inițiale și a lungimii extensiei.

Suma a + b poate fi interpretată ca o operație binară care combină o și b , într - un sens algebric, sau poate fi interpretat ca adăugarea de b mai multe unități la un . În ultima interpretare, părțile unei sume a + b joacă roluri asimetrice, iar operația a + b este privită ca aplicând operația unară + b la a . In loc de asteptare atât a și b addends, este mai potrivit pentru a apela un augend în acest caz, deoarece o joacă un rol pasiv. Vizualizarea unară este utilă și atunci când se discută despre scădere , deoarece fiecare operație de adunare unară are o operație de scădere unară inversă și invers .

Proprietăți

Comutativitate

4 + 2 = 2 + 4 cu blocuri

Adunarea este comutativă , ceea ce înseamnă că se poate schimba ordinea termenilor într-o sumă, dar totuși să obțină același rezultat. Simbolic, dacă a și b sunt două numere, atunci

a + b = b + a .

Faptul că adunarea este comutativă este cunoscut ca „legea comutativă a adunării” sau „proprietate comutativă a adunării”. Unele alte operații binare sunt comutative, cum ar fi multiplicarea, dar multe altele nu, cum ar fi scăderea și divizarea.

Asociativitate

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 cu tije segmentate

Adunarea este asociativă , ceea ce înseamnă că atunci când se adaugă trei sau mai multe numere, ordinea operațiilor nu modifică rezultatul.

De exemplu, expresia a + b + c ar trebui definită ca însemnând ( a + b ) + c sau a + ( b + c )? Având în vedere că adunarea este asociativă, alegerea definiției este irelevantă. Pentru oricare trei numere a , b și c , este adevărat că ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . De exemplu, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) .

Când adăugarea este utilizată împreună cu alte operații, ordinea operațiilor devine importantă. În ordinea standard a operațiilor, adunarea este o prioritate mai mică decât exponențierea , rădăcinile n , multiplicarea și împărțirea, dar se acordă prioritate egală scăderii.

Element de identitate

5 + 0 = 5 cu pungi de puncte

Adăugarea zero la orice număr nu modifică numărul; aceasta înseamnă că zero este elementul de identitate pentru adunare și este, de asemenea, cunoscut sub numele de identitate aditivă . În simboluri, pentru fiecare a , se are

a + 0 = 0 + a = a .

Această lege a fost identificat pentru prima dată în Brahmagupta lui Brahmasphutasiddhanta în 628 d.Hr., cu toate că el a scris ca trei legi distincte, în funcție de faptul dacă un este negativ, pozitiv, sau în sine zero, iar el a folosit cuvinte , mai degrabă decât simboluri algebrice. Mai târziu, matematicienii indieni au rafinat conceptul; în jurul anului 830, a scris Mahavira , „zero devine același cu ceea ce i se adaugă”, corespunzător afirmației unare 0 + a = a . În secolul al XII-lea, Bhaskara scria: „În plus față de cifrarea sau scăderea acestuia, cantitatea, pozitivă sau negativă, rămâne aceeași”, corespunzătoare afirmației unare a + 0 = a .

Succesor

În contextul numerelor întregi, adunarea unuia joacă, de asemenea, un rol special: pentru orice număr întreg a , întregul ( a + 1) este cel mai mic întreg mai mare decât a , cunoscut și ca succesorul lui a . De exemplu, 3 este succesorul 2 și 7 este succesorul 6. Datorită acestei succesiuni, valoarea unei + b poate fi văzută ca b - lea succesor al unui , făcând plus iterated succesiune. De exemplu, 6 + 2 este 8, deoarece 8 este succesorul lui 7, care este succesorul lui 6, făcând din 8 al doilea succesor al lui 6.

Unități

Pentru a adăuga numeric cantități fizice cu unități , acestea trebuie exprimate cu unități comune. De exemplu, adăugarea a 50 mililitri la 150 mililitri dă 200 mililitri. Cu toate acestea, dacă o măsură de 5 picioare este extinsă cu 2 inci, suma este de 62 inci, deoarece 60 inci este sinonim cu 5 picioare. Pe de altă parte, este de obicei lipsit de sens să încercați să adăugați 3 metri și 4 metri pătrați, deoarece acele unități sunt incomparabile; acest tip de considerație este fundamental în analiza dimensională .

Efectuarea adăugării

Abilitate înnăscută

Studiile asupra dezvoltării matematice începute în jurul anilor 1980 au exploatat fenomenul obișnuinței : sugarii privesc mai mult situațiile neașteptate. Un experiment seminal realizat de Karen Wynn în 1992 care implica păpuși Mickey Mouse manipulate în spatele unui ecran a demonstrat că sugarii de cinci luni se așteaptă ca 1 + 1 să fie 2 și sunt relativ surprinși atunci când o situație fizică pare să implice că 1 + 1 este fie 1 sau 3. Această constatare a fost afirmată de atunci de o varietate de laboratoare care utilizează diferite metodologii. Un alt experiment din 1992 cu copii mici în vârstă , între 18 și 35 de luni, a exploatat dezvoltarea controlului motor, permițându-le să recupereze mingi de ping-pong dintr-o cutie; cei mai tineri au răspuns bine pentru un număr mic, în timp ce subiecții mai în vârstă au putut calcula sume de până la 5.

Chiar și unele animale neumane prezintă o capacitate limitată de a adăuga, în special primate . Într-un experiment din 1995, care imita rezultatul lui Wynn din 1992 (dar folosind vinete în loc de păpuși), maimuțele rhesus și maimuțele tamarin cottontop au funcționat similar cu sugarii umani. Mai dramatic, după ce a fost învățat semnificațiile cifrelor arabe de la 0 la 4, un cimpanzeu a reușit să calculeze suma a două cifre fără o pregătire suplimentară. Mai recent, elefanții asiatici au demonstrat capacitatea de a efectua aritmetica de bază.

Învățarea din copilărie

De obicei, copiii stăpânesc mai întâi numărarea . Atunci când li se oferă o problemă care necesită combinarea a două articole și a trei articole, copiii mici modelează situația cu obiecte fizice, de multe ori degete sau un desen, apoi contorizează totalul. Pe măsură ce câștigă experiență, învață sau descoperă strategia „contării pe”: rugați să găsească două plus trei, copiii numără trei trei, spunând „trei, patru, cinci ” (de obicei bifând degetele) și ajungând la cinci . Această strategie pare aproape universală; copiii îl pot ridica cu ușurință de la colegi sau profesori. Majoritatea îl descoperă independent. Cu o experiență suplimentară, copiii învață să adauge mai repede exploatând comutativitatea adunării, numărând din numărul mai mare, în acest caz, începând cu trei și numărând „patru, cinci ”. În cele din urmă, copiii încep să-și amintească anumite fapte de adăugare („ obligațiuni numerice ”), fie prin experiență, fie prin memorarea memorată. Odată ce unele fapte sunt dedicate memoriei, copiii încep să obțină fapte necunoscute din cele cunoscute. De exemplu, un copil cerut să adauge șase și șapte poate ști că 6 + 6 = 12 și apoi poate considera că 6 + 7 este încă unul, sau 13. Astfel de fapte derivate pot fi găsite foarte repede și majoritatea elevilor de școală elementară se bazează în cele din urmă pe amestec de fapte memorate și derivate pentru a adăuga fluent.

Diferite națiuni introduc numere întregi și aritmetică la vârste diferite, multe țări predând adăugarea în învățământul preșcolar. Cu toate acestea, în întreaga lume, adăugarea este predată până la sfârșitul primului an de școală elementară.

Masa

Copiilor li se prezintă adesea tabelul de adunare a perechilor de numere de la 0 la 9 pentru a memora. Știind acest lucru, copiii pot efectua orice adăugare.

Sistem zecimal

Condiția preliminară pentru adăugarea în sistemul zecimal este reamintirea sau derivarea fluentă a celor 100 de „fapte de adunare” dintr-o singură cifră. S -ar putea memora toate faptele pe dinafară , dar bazate pe strategii de model sunt mai edificatoare și, pentru cei mai mulți oameni, mai eficiente:

• Proprietate comutativă : menționată mai sus, folosind modelul a + b = b + a reduce numărul de „fapte de adunare” de la 100 la 55.
• Una sau două mai multe : Adăugarea 1 sau 2 este o sarcină de bază și poate fi realizată prin contarea sau, în cele din urmă, a intuiției .
• Zero : Deoarece zero este identitatea aditivă, adăugarea zero este banală. Cu toate acestea, în predarea aritmeticii, unii studenți sunt introduși la adiție ca un proces care crește întotdeauna suplimentele; problemele de cuvinte pot ajuta la raționalizarea „excepției” zero.
• Duble : Adăugarea unui număr în sine este legată de numărarea cu doi și de multiplicare . Faptele duble constituie o coloană vertebrală pentru multe fapte conexe, iar studenții le găsesc relativ ușor de înțeles.
• Aproape de dublu : Sume precum 6 + 7 = 13 pot fi derivate rapid din dublul fapt 6 + 6 = 12 adăugând încă unul, sau de la 7 + 7 = 14 dar scăzând unul.
• Cinci și zece : Sumele formei 5 + x și 10 + x sunt de obicei memorate devreme și pot fi folosite pentru obținerea altor fapte. De exemplu, 6 + 7 = 13 poate fi derivat din 5 + 7 = 12 adăugând încă unul.
• Făcând zece : o strategie avansată folosește 10 ca intermediar pentru sume care implică 8 sau 9; de exemplu, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 .

Pe măsură ce elevii îmbătrânesc, își aduc mai multe fapte în memorie și învață să obțină alte fapte rapid și fluent. Mulți studenți nu își comunică niciodată toate faptele în memorie, dar pot găsi rapid orice fapt de bază.

Transporta

Algoritmul standard pentru adăugarea de numere multidigit este acela de a alinia addendele pe verticală și de a adăuga coloane, începând de la coloana celor din dreapta. Dacă o coloană depășește nouă, cifra suplimentară este „ transportată ” în coloana următoare. De exemplu, în plus 27 + 59

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16, iar cifra 1 este transportul. O strategie alternativă începe să adauge din cea mai semnificativă cifră din stânga; acest traseu face ca transportul să fie puțin mai neîndemânatic, dar este mai rapid la obținerea unei estimări aproximative a sumei. Există multe metode alternative.

Fracții zecimale

Fracțiile zecimale pot fi adăugate printr-o simplă modificare a procesului de mai sus. Una aliniază două fracții zecimale una peste alta, cu punctul zecimal în aceeași locație. Dacă este necesar, se pot adăuga zerouri finale la o zecimală mai scurtă pentru a avea aceeași lungime ca zecimalul mai lung. În cele din urmă, se efectuează același proces de adunare ca mai sus, cu excepția punctului zecimal care este plasat în răspuns, exact unde a fost plasat în sumandi.

De exemplu, 45,1 + 4,34 pot fi rezolvate după cum urmează:

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

Notatie stiintifica

În notația științifică , numerele sunt scrise sub forma , unde este semnificația și este partea exponențială. Adăugarea necesită două numere în notație științifică pentru a fi reprezentate folosind aceeași parte exponențială, astfel încât cele două semnificații pot fi pur și simplu adăugate. ${\ displaystyle x = a \ times 10 ^ {b}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 10 ^ {b}}$

De exemplu:

${\ displaystyle 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +5.67 \ times 10 ^ {- 6} = 2.34 \ times 10 ^ {- 5} +0.567 \ times 10 ^ {- 5} = 2.907 \ times 10 ^ {- 5}}$

Non-zecimal

Adăugarea în alte baze este foarte asemănătoare cu adunarea zecimală. De exemplu, se poate lua în considerare adăugarea în binar. Adăugarea a două numere binare dintr-o singură cifră este relativ simplă, folosind o formă de transport:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, poartă 1 (din moment ce 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ))

Adăugarea a două cifre „1” produce o cifră „0”, în timp ce 1 trebuie adăugat la coloana următoare. Acest lucru este similar cu ceea ce se întâmplă în zecimal atunci când anumite numere dintr-o singură cifră sunt adăugate împreună; dacă rezultatul este egal sau depășește valoarea razei (10), cifra din stânga este incrementată:

5 + 5 → 0, poartă 1 (din moment ce 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, poartă 1 (deoarece 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Acest lucru este cunoscut sub numele de transport . Atunci când rezultatul unei adunări depășește valoarea unei cifre, procedura este de a „transporta” cantitatea în exces împărțită la raza (adică 10/10) la stânga, adăugând-o la următoarea valoare pozițională. Acest lucru este corect, deoarece următoarea poziție are o greutate mai mare cu un factor egal cu radixul. Transportul funcționează la fel în binar:

  1 1 1 1 1    (carried digits)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

În acest exemplu, se adaugă două cifre: 01101 ₂ (13 ₁₀ ) și 10111 ₂ (23 ₁₀ ). Rândul de sus arată biții de transport folosiți. Începând din coloana din dreapta, 1 + 1 = 10 ₂ . 1 este purtat spre stânga, iar 0 este scris în partea de jos a coloanei din dreapta. Se adaugă a doua coloană din dreapta: 1 + 0 + 1 = 10 ₂ din nou; 1 este purtat, iar 0 este scris în partea de jos. A treia coloană: 1 + 1 + 1 = 11 ₂ . De data aceasta, un 1 este purtat, iar un 1 este scris în rândul de jos. Procedând astfel se obține răspunsul final 100100 ₂ (36 ₁₀ ).

Calculatoare

Adăugare cu un amplificator op. Consultați Amplificatorul sumator pentru detalii.

Calculatoarele analogice funcționează direct cu cantități fizice, astfel încât mecanismele lor de adăugare depind de forma suplimentelor. Un sumator mecanic ar putea reprezenta două adunări ca pozițiile blocurilor glisante, caz în care pot fi adăugate cu o pârghie de medie . Dacă suplimentele sunt viteza de rotație a doi arbori , acestea pot fi adăugate cu un diferențial . Un sumator hidraulic poate adăuga presiuni în două camere exploatând a doua lege a lui Newton pentru a echilibra forțele pe un ansamblu de pistoane . Cea mai obișnuită situație pentru un computer analogic de uz general este adăugarea a două tensiuni (referitoare la masă ); acest lucru poate fi realizat aproximativ cu o rețea de rezistențe , dar un design mai bun exploatează un amplificator operațional .

Adăugarea este, de asemenea, fundamentală pentru funcționarea computerelor digitale , unde eficiența adăugării, în special mecanismul de transport , este o limitare importantă a performanței generale.

O parte din motorul diferențial al lui Charles Babbage, inclusiv mecanismele de adăugare și transport

Abacul , de asemenea , numit un cadru de numărare, este un instrument de calcul care a fost în secole de utilizare înainte de adoptarea sistemului numeric modern de scris și este încă utilizat pe scară largă de către comercianți, comercianți și funcționari din Asia , Africa , și în altă parte; datează din cel puțin 2700–2300 î.Hr., când a fost folosit în Sumer .

Blaise Pascal a inventat calculatorul mecanic în 1642; a fost prima mașină de adăugare operațională . A folosit un mecanism de transport asistat de gravitație. A fost singurul calculator mecanic operațional din secolul al XVII-lea și cel mai vechi computer digital automat. Calculatorul lui Pascal a fost limitat de mecanismul său de transport, care a forțat roțile să se întoarcă doar într-o direcție, astfel încât să poată adăuga. Pentru a scădea, operatorul a trebuit să utilizeze complementul calculatorului Pascal , care a necesitat atât de mulți pași cât o adăugare. Giovanni Poleni l-a urmat pe Pascal, construind al doilea calculator mecanic funcțional în 1709, un ceas de calcul din lemn care, odată configurat, ar putea multiplica automat două numere.

„ Sumator “ circuit logic , care adaugă două cifre binare, A și B , împreună cu o intrare de transport C , _în , producerea de biți suma, S , și o ieșire de transport, C _afară .

Adunatorii execută adăugarea numărului întreg în computerele digitale electronice, de obicei folosind aritmetica binară . Cea mai simplă arhitectură este sumatorul de transportare a undelor, care urmează algoritmul standard cu mai multe cifre. O ușoară îmbunătățire este designul carry skip , urmând din nou intuiția umană; nu se efectuează toate transporturile în calculul 999 + 1 , dar se ocolește grupul de 9 și se trece la răspuns.

În practică, adăugarea computațională poate fi realizată prin intermediul operațiilor logice XOR și ȘI bit în combinație cu operațiile de schimbare a biților, așa cum se arată în pseudocodul de mai jos. Atât porțile XOR, cât și AND sunt ușor de realizat în logica digitală, permițând realizarea circuitelor complet adder , care la rândul lor pot fi combinate în operații logice mai complexe. În computerele digitale moderne, adăugarea numărului întreg este de obicei cea mai rapidă instrucțiune aritmetică, totuși are cel mai mare impact asupra performanței, deoarece stă la baza tuturor operațiunilor în virgulă mobilă , precum și a unor sarcini de bază precum generarea de adrese în timpul accesului la memorie și preluarea instrucțiunilor în timpul ramificării . Pentru a crește viteza, proiectele moderne calculează cifrele în paralel ; aceste scheme poartă denumiri precum carry select, carry lookahead și pseudocarry Ling . Multe implementări sunt, de fapt, hibrizi ai acestor trei modele. Spre deosebire de adăugarea pe hârtie, adăugarea pe computer modifică adesea suplimentele. Pe vechiul abac și pe tabla de adăugare, ambele suplimente sunt distruse, lăsând doar suma. Influența abacului asupra gândirii matematice a fost suficient de puternică încât textele latine timpurii susțineau adesea că în procesul adăugării „unui număr la un număr”, ambele numere dispar. În timpurile moderne, instrucțiunea ADD a unui microprocesor înlocuiește adesea augendul cu suma, dar păstrează addendul. Într-un limbaj de programare la nivel înalt , evaluarea a + b nu modifică nici a, nici b ; dacă scopul este de a înlocui a cu suma aceasta trebuie solicitată în mod explicit, de obicei cu enunțul a = a + b . Unele limbi cum ar fi C sau C ++ permit ca aceasta să fie abreviată ca a + = b .

// Iterative algorithm
int add(int x, int y) {
    int carry = 0;
    while (y != 0) {      
        carry = AND(x, y);   // Logical AND
        x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
        y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one
    }
    return x; 
}

// Recursive algorithm
int add(int x, int y) {
    return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}

Pe un computer, dacă rezultatul unei adăugări este prea mare pentru a fi stocat, are loc o revărsare aritmetică , rezultând un răspuns incorect. Depășirea aritmetică neprevăzută este o cauză destul de frecventă a erorilor de program . Astfel de erori de depășire pot fi greu de descoperit și diagnosticat, deoarece se pot manifesta numai pentru seturi de date de intrare foarte mari, care sunt mai puțin probabil să fie utilizate în testele de validare. Problema anului 2000 a fost o serie de erori în care au apărut erori de depășire datorită utilizării unui format din 2 cifre de ani de zile.

Adunarea numerelor

Pentru a dovedi proprietățile obișnuite ale adunării, trebuie mai întâi să definiți adunarea pentru contextul în cauză. Adunarea este definită mai întâi pe numerele naturale . În teoria mulțimilor , adunarea este apoi extinsă la mulțimi progresiv mai mari care includ numerele naturale: numerele întregi , numerele raționale și numerele reale . (În educația matematică , fracțiile pozitive sunt adăugate înainte ca numerele negative să fie luate în considerare; acesta este și traseul istoric.)

Numere naturale

Există două moduri populare de a defini suma a două numere naturale a și b . Dacă se definește numerele naturale ca fiind cardinalitățile mulțimilor finite, (cardinalitatea unei mulțimi este numărul de elemente din mulțime), atunci este potrivit să se definească suma lor după cum urmează:

• Fie N ( S ) să fie cardinalitatea unui set S . Luați două mulțimi disjuncte A și B , cu N ( A ) = a și N ( B ) = b . Apoi a + b este definit .${\ displaystyle N (A \ cup B)}$

Aici, A ∪ B este unirea dintre A și B . O versiune alternativă a acestei definiții permite ca A și B să se suprapună și apoi să ia unirea disjunctă , un mecanism care permite separarea elementelor comune și, prin urmare, numărarea de două ori.

Cealaltă definiție populară este recursivă:

• Să n ⁺ să fie succesorul lui n , adică numărul următor n în numerele naturale, deci 0 ⁺ = 1, 1 ⁺ = 2. Definiți un + 0 = a . Definiți suma generală recursiv prin a + ( b ⁺ ) = ( a + b ) ⁺ . Prin urmare, 1 + 1 = 1 + 0 ⁺ = (1 + 0) ⁺ = 1 ⁺ = 2 .

Din nou, există variații minore ale acestei definiții în literatura de specialitate. Luată la propriu, definiția de mai sus este o aplicație a teoremei recursivității pe mulțimea parțial ordonată N ² . Pe de altă parte, unele surse preferă să utilizeze o teoremă de recursiune restrânsă care se aplică doar setului de numere naturale. Unul consideră că apoi o să fie temporar „fix“, se aplică recursie pe b pentru a defini o funcție „ a  +“, și paste de aceste operații unare pentru toți o împreună pentru a forma operația completă binar.

Această formulare recursivă a adaosului a fost dezvoltată de Dedekind încă din 1854 și el se va extinde asupra acesteia în deceniile următoare. El a dovedit proprietățile asociative și comutative, printre altele, prin inducție matematică .

Numere întregi

Cea mai simplă concepție a unui întreg este că aceasta constă dintr-o valoare absolută (care este un număr natural) și un semn (în general fie pozitiv, fie negativ ). Întregul zero este un al treilea caz special, nefiind nici pozitiv, nici negativ. Definiția corespunzătoare a adunării trebuie să se desfășoare pe cazuri:

• Pentru un număr întreg n , să fie | n | fie valoarea sa absolută. Fie a și b numere întregi. Dacă a sau b este zero, tratați-l ca pe o identitate. Dacă a și b sunt ambele pozitive, definiți a + b = | a | + | b | . Dacă a și b sunt ambele negative, definiți a + b = - (| a | + | b |) . Dacă a și b au semne diferite, definiți a + b pentru a fi diferența dintre | a | și | b |, cu semnul termenului a cărui valoare absolută este mai mare. De exemplu, −6 + 4 = −2 ; deoarece −6 și 4 au semne diferite, valorile lor absolute sunt scăzute și, din moment ce valoarea absolută a termenului negativ este mai mare, răspunsul este negativ.

Deși această definiție poate fi utilă pentru probleme concrete, numărul cazurilor care trebuie luate în considerare complică probele inutil. Deci următoarea metodă este frecvent utilizată pentru definirea numerelor întregi. Se bazează pe observația că fiecare număr întreg este diferența a două numere întregi naturale și că două astfel de diferențe, a - b și c - d sunt egale dacă și numai dacă a + d = b + c . Deci, se pot defini formal numerele întregi ca clase de echivalență a perechilor ordonate de numere naturale sub relația de echivalență

( a , b ) ~ ( c , d ) dacă și numai dacă a + d = b + c .

Clasa de echivalență a ( a , b ) conține fie ( a - b , 0) dacă a ≥ b , fie (0, b - a ) altfel. Dacă n este un număr natural, se poate nota + n clasa de echivalență a lui ( n , 0) , iar cu - n clasa de echivalență a lui (0, n ) . Aceasta permite identificarea numărului natural n cu clasa de echivalență + n .

Adăugarea perechilor ordonate se face în funcție de componente:

${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Un calcul simplu arată că clasa de echivalență a rezultatului depinde doar de clasele de echivalențe ale sumandilor, și astfel că aceasta definește o adunare de clase de echivalență, adică numere întregi. Un alt calcul simplu arată că această adăugare este aceeași cu definiția de caz de mai sus.

Acest mod de definire a numerelor întregi ca clase de echivalență a perechilor de numere naturale, poate fi folosit pentru a încorpora într-un grup orice semigrup comutativ cu proprietate de anulare . Aici, semigrupul este format din numerele naturale, iar grupul este grupul aditiv de numere întregi. Numerele raționale sunt construite în mod similar, luând ca semigrup grupurile întregi nenule cu multiplicare.

Această construcție a fost, de asemenea, generalizată sub numele de grup Grothendieck la cazul oricărui semigrup comutativ. Fără proprietatea de anulare, homomorfismul semigrup din semigrup în grup poate fi neinjectiv. Inițial, grupul Grothendieck a fost, mai precis, rezultatul acestei construcții aplicate claselor de echivalențe sub izomorfisme ale obiectelor unei categorii abeliene , cu suma directă ca operație semigrup.

Numere raționale (fracții)

Adunarea numerelor raționale poate fi calculată folosind cel mai mic numitor comun , dar o definiție mai simplă din punct de vedere conceptual implică doar adunarea și multiplicarea numărului întreg:

• Defini ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}$

Ca exemplu, suma . ${\ displaystyle {\ frac {3} {4}} + {\ frac {1} {8}} = {\ frac {3 \ times 8 + 4 \ times 1} {4 \ times 8}} = {\ frac {24 + 4} {32}} = {\ frac {28} {32}} = {\ frac {7} {8}}}$

Adunarea fracțiilor este mult mai simplă atunci când numitorii sunt aceiași; în acest caz, se pot adăuga pur și simplu numeratorii, lăsând același numitor:, deci . ${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} + {\ frac {b} {c}} = {\ frac {a + b} {c}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} + {\ frac {2} {4}} = {\ frac {1 + 2} {4}} = {\ frac {3} {4}}}$

Comutativitatea și asociativitatea adunării raționale este o consecință ușoară a legilor aritmeticii întregi. Pentru o discuție mai riguroasă și mai generală, consultați câmpul fracțiilor .

Numere reale

Adăugarea π cu ² /6 și e folosind reduceri Dedekind ale rationale.

O construcție obișnuită a setului de numere reale este completarea Dedekind a setului de numere raționale. Un număr real este definit ca o reducere a raționalelor Dedekind : un set de raționale ne-gol care este închis în jos și nu are cel mai mare element . Suma numerelor reale a și b este definită element cu element:

• Defini ${\ displaystyle a + b = \ {q + r \ mid q \ in a, r \ in b \}.}$

Această definiție a fost publicată pentru prima dată, într-o formă ușor modificată, de Richard Dedekind în 1872. Comutativitatea și asociativitatea adăugării reale sunt imediate; definind numărul real 0 ca fiind setul raționalelor negative, se vede ușor că este identitatea aditivă. Probabil cea mai dificilă parte a acestei construcții referitoare la adiție este definiția inverselor aditive.

Adăugarea π cu ² /6 și e folosind secvențe de Cauchy rationale.

Din păcate, tratarea multiplicării tăieturilor Dedekind este un proces care necesită mult timp, de la caz la caz, asemănător cu adăugarea numerelor întregi semnate. O altă abordare este completarea metrică a numerelor raționale. Un număr real este definit în mod esențial ca fiind limita unei secvențe raționale Cauchy , lim  a _n . Adăugarea este definită termen cu termen:

• Defini ${\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} + \ lim _ {n} b_ {n} = \ lim _ {n} (a_ {n} + b_ {n}).}$

Această definiție a fost publicată pentru prima dată de Georg Cantor , tot în 1872, deși formalismul său era ușor diferit. Trebuie să dovedim că această operațiune este bine definită, tratând secvențe co-Cauchy. Odată realizată acea sarcină, toate proprietățile adunării reale urmează imediat din proprietățile numerelor raționale. Mai mult, celelalte operații aritmetice, inclusiv multiplicarea, au definiții directe, analoge.

Numere complexe

Adunarea a două numere complexe poate fi realizată geometric prin construirea unui paralelogram.

Numerele complexe sunt adăugate prin adăugarea părților reale și imaginare ale sumandurilor. Adică:

${\ displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.}$

Folosind vizualizarea numerelor complexe în planul complex, adunarea are următoarea interpretare geometrică: suma a două numere complexe A și B , interpretate ca puncte ale planului complex, este punctul X obținut prin construirea unui paralelogram trei dintre vârfurile cărora sunt O , A și B . În mod echivalent, X este punctul astfel încât triunghiurile cu vârfurile O , A , B și X , B , A , sunt congruente .

Generalizări

Există multe operații binare care pot fi privite ca generalizări ale operației de adunare pe numerele reale. Câmpul algebrei abstracte este preocupat în mod central de astfel de operații generalizate și apar și în teoria mulțimilor și teoria categoriilor .

Algebra abstractă

Vectori

În algebra liniară , un spațiu vectorial este o structură algebrică care permite adăugarea oricăror doi vectori și pentru scalarea vectorilor. Un spațiu vectorial familiar este ansamblul tuturor perechilor ordonate de numere reale; perechea ordonată ( a , b ) este interpretată ca un vector de la originea în planul euclidian până la punctul ( a , b ) din plan. Suma a doi vectori se obține prin adăugarea coordonatelor lor individuale:

${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Această operație de adăugare este centrală în mecanica clasică , în care vectorii sunt interpretați ca forțe .

Matrici

Adăugarea matricei este definită pentru două matrice de aceleași dimensiuni. Suma a două m × n (pronunțate "m cu n") matricele A și B , notate cu A + B , este din nou o matrice m × n calculată prin adăugarea elementelor corespunzătoare:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\\ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & \ cdots & b_ {1n} \\ b_ {21} & b_ {22} & \ cdots & b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {m1} & b_ {m2} & \ cdots & b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} + b_ {1n} \\ a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & \ cdots & a_ {2n} + b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} + b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\\ end {align}}}$

De exemplu:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 7 & 0 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}}$

Aritmetica modulară

În aritmetica modulară , setul de numere întregi modulo 12 are douăsprezece elemente; moștenește o operație de adunare de la numerele întregi care este centrală în teoria mulțimilor muzicale . Setul de numere întregi modulo 2 are doar două elemente; operația de adăugare pe care o moștenește este cunoscută în logica booleană ca funcție " exclusivă sau ". În geometrie , suma a două măsuri unghiulare este adesea considerată a fi suma lor ca numere reale modulo 2π. Aceasta înseamnă o operație de adunare pe cerc , care la rândul său se generalizează la operații de adunare pe tori multidimensionali .

Teoria generală

Teoria generală a algebrei abstracte permite ca o operație de „adunare” să fie orice operație asociativă și comutativă pe un set. Structurile algebrice de bază cu o astfel de operație de adăugare includ monoizi comutativi și grupuri abeliene .

Teoria mulțimilor și teoria categoriilor

O generalizare de anvergură a adunării numerelor naturale este adăugarea numerelor ordinale și a numerelor cardinale în teoria mulțimilor. Acestea dau două generalizări diferite ale adunării numerelor naturale la transfinit . Spre deosebire de majoritatea operațiilor de adunare, adunarea numerelor ordinale nu este comutativă. Adunarea numerelor cardinale este însă o operație comutativă strâns legată de operația de unire disjunctă .

În teoria categoriilor , unirea disjunctă este văzută ca un caz particular al operației coprodusului , iar coprodusele generale sunt probabil cele mai abstracte dintre toate generalizările adunării. Unele coproduse, cum ar fi suma directă și suma de pană , sunt numite pentru a evoca legătura lor cu adunarea.

Operațiuni conexe

Adunarea, împreună cu scăderea, înmulțirea și împărțirea, este considerată una dintre operațiile de bază și este utilizată în aritmetica elementară .

Aritmetic

Scăderea poate fi considerată ca un fel de adunare - adică adăugarea unui invers aditiv . Scăderea este ea însăși un fel de invers la adunare, prin aceea că adunarea x și scăderea x sunt funcții inverse .

Având în vedere un set cu o operație de adunare, nu se poate defini întotdeauna o operație de scădere corespunzătoare pe acel set; mulțimea numerelor naturale este un exemplu simplu. Pe de altă parte, o operație de scădere determină în mod unic o operație de adunare, o operație inversă aditivă și o identitate aditivă; din acest motiv, un grup aditiv poate fi descris ca un set care este închis sub scădere.

Înmulțirea poate fi considerată ca o adăugare repetată . Dacă un singur termen x apare într-o sumă de n ori, atunci suma este produsul lui n și x . Dacă n nu este un număr natural , produsul poate avea totuși sens; de exemplu, înmulțirea cu −1 produce inversul aditiv al unui număr.

O regulă de diapozitiv circular

În numerele reale și complexe, adunarea și multiplicarea pot fi schimbate prin funcția exponențială :

${\ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}.}$

Această identitate permite multiplicarea să fie efectuată consultând un tabel de logaritmi și calculând adăugarea manuală; de asemenea, permite multiplicarea pe o regulă de diapozitiv . Formula este încă o bună aproximare de ordinul întâi în contextul larg al grupurilor Lie , unde raportează multiplicarea elementelor grupului infinitesimal cu adunarea de vectori în algebra Lie asociată .

Există și mai multe generalizări ale înmulțirii decât adunarea. În general, operațiile de multiplicare se distribuie întotdeauna peste adunare; această cerință este formalizată în definiția unui inel . În unele contexte, precum numerele întregi, distributivitatea asupra adunării și existența unei identități multiplicative este suficientă pentru a determina în mod unic operația de multiplicare. Proprietatea distributivă oferă, de asemenea, informații despre adăugare; prin extinderea produsului (1 + 1) ( a + b ) în ambele moduri, se ajunge la concluzia că adăugarea este forțată să fie comutativă. Din acest motiv, adăugarea inelului este comutativă în general.

Împărțirea este o operație aritmetică legată de la distanță de adăugare. Deoarece a / b = a ( b ⁻¹ ) , împărțirea este corectă distributivă peste adunare: ( a + b ) / c = a / c + b / c . Cu toate acestea, diviziunea nu este lăsată distributivă asupra adaosului; 1 / (2 + 2) nu este același cu 1/2 + 1/2 .

Comanda

Grafic log-log de x + 1 și max ( x , 1) de la x = 0,001 la 1000

Operația maximă „max ( a , b )” este o operație binară similară cu adunarea. De fapt, dacă două numere nenegative a și b sunt de ordine de mărime diferite , atunci suma lor este aproximativ egală cu maximul lor. Această aproximare este extrem de utilă în aplicațiile matematice, de exemplu în trunchierea seriei Taylor . Cu toate acestea, prezintă o dificultate perpetuă în analiza numerică , în esență, deoarece „max” nu este inversabil. Dacă b este mult mai mare decât a , atunci un calcul direct al lui ( a + b ) - b poate acumula o eroare de rotunjire inacceptabilă , poate chiar returnând zero. Vezi și Pierderea semnificației .

Aproximarea devine exactă într-un fel de limită infinită; dacă a sau b este un număr cardinal infinit , suma lor cardinală este exact egală cu cea mai mare dintre cele două. În consecință, nu există nicio operațiune de scădere pentru cardinali infiniti.

Maximizarea este comutativă și asociativă, cum ar fi adăugarea. Mai mult, întrucât adunarea păstrează ordonarea numerelor reale, adunarea se distribuie peste „max” în același mod în care multiplicarea distribuie peste adunare:

${\ displaystyle a + \ max (b, c) = \ max (a + b, a + c).}$

Din aceste motive, în geometria tropicală se înlocuiește multiplicarea cu adunarea și adunarea cu maximizarea. În acest context, adunarea se numește „multiplicare tropicală”, maximizarea este numită „adunare tropicală”, iar „identitatea aditivă” tropicală este infinit negativ . Unii autori preferă să înlocuiască adăugarea cu minimizarea; atunci identitatea aditivă este infinit pozitiv.

Legând aceste observații împreună, adăugarea tropicală este aproximativ legată de adăugarea regulată prin logaritm :

${\ displaystyle \ log (a + b) \ approx \ max (\ log a, \ log b),}$

care devine mai precis pe măsură ce baza logaritmului crește. Aproximarea poate fi făcută exactă extragând o constantă h , numită prin analogie cu constanta lui Planck din mecanica cuantică și luând „ limita clasică ”, deoarece h tinde la zero:

${\ displaystyle \ max (a, b) = \ lim _ {h \ to 0} h \ log (e ^ {a / h} + e ^ {b / h}).}$

În acest sens, operația maximă este o versiune de adăugat descuantizată .

Alte modalități de a adăuga

Incrementarea, cunoscută și sub denumirea de operație succesivă , este adăugarea de 1 la un număr.

Suma descrie adăugarea în mod arbitrar a multor numere, de obicei mai mult decât doar două. Include ideea sumei unui singur număr, care este el însuși, și a sumei goale , care este zero . O însumare infinită este o procedură delicată cunoscută sub numele de serie .

Numărarea unui set finit echivalează cu însumarea 1 peste set.

Integrarea este un fel de „însumare” peste un continuum , sau mai precis și mai general, peste un multiplu diferențiat . Integrarea pe o varietate zero-dimensională se reduce la însumare.

Combinațiile liniare combină multiplicarea și însumarea; sunt sume în care fiecare termen are un multiplicator, de obicei un număr real sau complex . Combinații liniare sunt utile mai ales în contexte în care plus simplă ar încălca unele reguli de normalizare, cum ar fi amestecarea a strategiilor în teoria jocurilor sau superpoziție de stări în mecanica cuantică .

Convoluția este utilizată pentru a adăuga două variabile aleatoare independente definite de funcțiile de distribuție . Definiția sa obișnuită combină integrarea, scăderea și multiplicarea. În general, convoluția este utilă ca un fel de adaos pe partea de domeniu; în schimb, adăugarea vectorială este un fel de adăugare pe partea de gamă.

Vezi si

• Aritmetica mentala
• Adaos paralel (matematică)
• Aritmetica verbală (cunoscută și sub numele de criptaritmi), puzzle-uri care implică adăugarea

Note

Note de subsol

Referințe

Lecturi suplimentare

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). Dezvoltarea conceptelor și abilităților aritmetice. Două perspective asupra dezvoltării adăugării . Routledge. p. 75 . ISBN 0-8058-3155-X.
• Davison, David M .; Landau, Marsha S .; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Matematică: explorări și aplicații (ed. TE). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8.
• Bunt, Lucas NH; Jones, Phillip S .; Bedient, Jack D. (1976). Rădăcinile istorice ale matematicii elementare . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0.
• Poonen, Bjorn (2010). „Adăugare” . Buletinul unghiului fetelor . 3 (3-5). ISSN  2151-5743 .
• Weaver, J. Fred (1982). „Adunarea și scăderea: o perspectivă cognitivă”. Adunarea și scăderea: o perspectivă cognitivă. Interpretări ale operațiilor numerice și reprezentări simbolice ale adunării și scăderii . Taylor & Francis. p. 60. ISBN 0-89859-171-6.