Algebra minciunii - Lie algebra

Grupuri de minciuni
Grupuri clasice
Grupuri de minciuni simple Clasic A n B n C n D n Excepţional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Alte grupuri de minciuni Cerc Lorentz Poincaré Grup conform Diffeomorfism Buclă Euclidian
Algebre de minciună
Algebra semisimplă Lie
Teoria reprezentării
Grupuri de minciuni în fizică
Oamenii de știință Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosar Tabelul grupurilor Lie
v t e

Structura algebrică → Teoria inelului Teoria inelului
Noțiuni de bază Inele • Subranguri • Ideal • Inelul cotient • Ideal fracționat • Inel coeficient total • Inelul produsului • Produs gratuit de algebre asociative • Produs tensor al inelelor Omomorfisme inelare • Kernel • Automorfism interior • Endomorfismul lui Frobenius Structuri algebrice • Modul • Algebră asociativă • Inel gradat • Inel implicativ • Categoria inelelor • Inelul inițial ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Inel terminal ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Structuri conexe • Câmp • Câmp finit • Inel neasociativ • Inel de minciună • Inelul Jordan • Semiring • Semifasc
Algebra comutativă Inele comutative • Domeniu integral • Domeniu închis integral • Domeniul GCD • Domeniu unic de factorizare • Domeniul ideal principal • Domeniul euclidian • Câmp • Câmp finit • Inel de compoziție • Inel polinomial • Inel de serie formal de putere Teoria numerelor algebrice • Câmpul numărului algebric • Inel de numere întregi • Independența algebrică • Teoria numerelor transcendentale • Gradul de transcendență teoria numerelor p -adice și zecimale • Limită directă / Limită inversă • Inel zero ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Module întregi p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Baza - inelul cercului p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Baza - p numere întregi ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • raționale p -adice ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Baza - p numere reale ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • numere întregi p -adice ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • numere p -adice ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adic ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometrie algebrică • Varietate afină
Algebră necomutativă Inele necomutative • Inelul diviziei • Inel semiprimitiv • Inel simplu • Comutator Geometrie algebrică necomutativă Algebră liberă Algebra Clifford • Algebră geometrică Algebra operatorului
v t e

În matematică , o algebră Lie (pronunțată / l iː / "Lee") este un spațiu vectorial împreună cu o operație numită paranteză Lie , o hartă biliniară alternativă , care satisface identitatea Jacobi . Spațiul vectorial împreună cu această operație este o algebră neasociativă , ceea ce înseamnă că parantezul Lie nu este neapărat asociativ . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}, \ (x, y) \ mapsto [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Algebrele Lie sunt strâns legate de grupurile Lie , care sunt grupuri care sunt, de asemenea, varietăți netede : orice grup Lie dă naștere unei algebre Lie, care este spațiul său tangent la identitate. În schimb, la orice algebră Lie cu dimensiuni finite peste numere reale sau complexe, există un grup Lie conectat corespunzător unic până la acoperiri finite ( a treia teoremă a lui Lie ). Această corespondență permite studierea structurii și clasificării grupurilor Lie în termeni de algebre Lie.

În fizică, grupurile Lie apar ca grupuri de simetrie ale sistemelor fizice, iar algebrele lor Lie (vectori tangenți lângă identitate) pot fi considerate ca mișcări de simetrie infinitesimale. Astfel, algebrele Lie și reprezentările lor sunt utilizate pe scară largă în fizică, în special în mecanica cuantică și fizica particulelor.

Un exemplu elementar este spațiul vectorilor tridimensionali cu operația paranteză definită de produsul încrucișat. Acesta este înclinat-simetric , deoarece , în loc de asociativitate, satisface identitatea Jacobi: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle [x, y] = x \ times y.}$${\ displaystyle x \ times y = -y \ times x}$

${\ displaystyle x \ times (y \ times z) \ = \ (x \ times y) \ times z \ + \ y \ times (x \ times z).}$

Aceasta este algebra Lie a grupului Lie de rotații ale spațiului și fiecare vector poate fi reprezentat ca o rotație infinitesimală în jurul axei v , cu viteza egală cu magnitudinea lui v . Parantezul Lie este o măsură a necomutativității dintre două rotații: întrucât o rotație navighează cu ea însăși, avem proprietatea alternativă . ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle [x, x] = x \ times x = 0}$

Istorie

Algebrele Lie au fost introduse pentru a studia conceptul transformărilor infinitezimale de către Marius Sophus Lie în anii 1870 și descoperite independent de Wilhelm Killing în anii 1880. Numele Lie algebra a fost dat de Hermann Weyl în anii 1930; în textele mai vechi, se folosește termenul grup infinitezimal .

Definiții

Definiția unei algebre Lie

O algebră Lie este un spațiu vectorial peste un câmp împreună cu o operație binară numită paranteză Lie care îndeplinește următoarele axiome: ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$

• Bilinearitatea ,

${\ displaystyle [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z],}$

${\ displaystyle [z, ax + by] = a [z, x] + b [z, y]}$

pentru toate scalari , în și toate elementele , , în .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Alternativitate ,

${\ displaystyle [x, x] = 0 \}$

pentru toți în .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Identitatea Jacobi ,

${\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \}$

pentru toți , , în .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Folosirea bilinearității pentru a extinde paranteze Lie și utilizarea alternativității arată că pentru toate elementele , în , arătând că bilinearitatea și alternativitatea implică împreună ${\ displaystyle [x + y, x + y]}$${\ displaystyle [x, y] + [y, x] = 0 \}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Anticomutativitate ,

${\ displaystyle [x, y] = - [y, x], \}$

pentru toate elementele , în . În cazul în care câmpul lui caracteristic nu este 2 , atunci anticommutativity implică alternativitatea, deoarece aceasta implică${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [x, x] = - [x, x].}$

Este obișnuit să se noteze o algebră Lie printr-o literă minusculă fraktur, cum ar fi . Dacă o algebră Lie este asociată cu un grup Lie , atunci algebra este notată de versiunea fraktur a grupului: de exemplu, algebra Lie a SU ( n ) este . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g, h, b, n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$

Generatoare și dimensiune

Se spune că elementele unei algebre Lie o generează dacă cea mai mică subalgebră care conține aceste elemente este ea însăși. Dimensiunea unei algebră Lie este dimensiunea sa ca în spațiu vectorial . Cardinalitatea unui set generator minim al unei algebre Lie este întotdeauna mai mică sau egală cu dimensiunea sa. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle F}$

Vezi clasificarea algebrelor Lie minime reale pentru alte exemple mici.

Subalgebre, idealuri și omomorfisme

Parantezul Lie nu trebuie să fie asociativ , ceea ce înseamnă că nu trebuie să fie egal . Cu toate acestea, este flexibil . Cu toate acestea, o mare parte din terminologia inelelor asociative și a algebrelor se aplică în mod obișnuit algebrelor Lie. O subalgebră Lie este un sub spațiu care este închis sub paranteză Lie. Un ideal este o subalgebră care îndeplinește condiția mai puternică: ${\ displaystyle [[x, y], z]}$${\ displaystyle [x, [y, z]]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {i}}] \ subseteq {\ mathfrak {i}}.}$

Un homomorfism algebră Lie este o hartă liniară compatibilă cu parantezele Lie respective:

${\ displaystyle \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g '}}, \ quad \ phi ([x, y]) = [\ phi (x), \ phi (y)] \ {\ text {for all}} \ x, y \ in {\ mathfrak {g}}.}$

În ceea ce privește inelele asociative, idealurile sunt tocmai miezul homomorfismelor; având în vedere o algebră Lie și un ideal în ea, se construiește factorul algebră sau algebră coeficientă , iar prima teoremă a izomorfismului este valabilă pentru algebrele Lie. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$

Deoarece suportul Lie este un fel de infinitezimal comutator al grupului Lie corespunzătoare, spunem că două elemente fac naveta dacă suport lor dispare: . ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle [x, y] = 0}$

Centralizator subalgebra a unui subset este setul de elemente care fac naveta cu : care este, . Centralizatorul în sine este centrul . În mod similar, pentru un sub spațiu S , subalgebra normalizatorului este . În mod echivalent, dacă este o subalgebră Lie, este cea mai mare subalgebră astfel încât este un ideal de . ${\ displaystyle S \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {z}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] = 0 \ {\ text { pentru toate}} s \ în S \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {z}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ în {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] \ în S \ {\ text {pentru toate}} \ s \ în S \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$

Exemple

Căci , comutatorul a două elemente${\ displaystyle {\ mathfrak {d}} (2) \ subset {\ mathfrak {gl}} (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \ end {bmatrix}} \ right] & = {\ begin {bmatrix} ax & by \\ cx & dy \\\ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} ax & bx \\ cy & dy \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} 0 & b (yx ) \\ c (xy) & 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

spectacole este o subalgebră, dar nu un ideal. De fapt, fiecare sub-spațiu liniar unidimensional al unei algebre Lie are o structură indusă de algebră Lie abeliană, care în general nu este un ideal. Pentru orice algebră Lie simplă, toate algebrele Lie abeliene nu pot fi niciodată ideale. ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}} (2)}$

Suma directă și produsul semidirect

Pentru două algebre Lie și , suma lor directă algebra Lie este spațiul vectorial format din toate perechile , cu operația ${\ displaystyle {\ mathfrak {g ^ {}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ oplus {\ mathfrak {g '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {}} (x, x '), \, x \ in {\ mathfrak {g}}, \ x' \ in {\ mathfrak {g '}}}$

${\ displaystyle [(x, x '), (y, y')] = ([x, y], [x ', y']),}$

astfel încât copiile navetei între ele: Fie o algebră Lie și un ideal de . Dacă harta canonice se desparte ( de exemplu, admite o secțiune), atunci se spune ca este un produs semidirect al și , . Vezi și suma semidirectă a algebrelor Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}} '}$${\ displaystyle [(x, 0), (0, x ')] = 0.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}} \ ltimes {\ mathfrak {i}}}$

Teorema lui Levi spune că o algebră Lie cu dimensiuni finite este un produs semidirect al radicalului său și subalgebrei complementare ( subalgebra Levi ).

Derivări

O derivare a algebrei Lie (sau a oricărei algebre neasociative ) este o hartă liniară care respectă legea Leibniz , adică ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ delta \ colon {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [x, \ delta (y)]}$

pentru toți . Derivație interioară asociată oricărei este cartografierea adjoint definită de . (Aceasta este o derivare ca o consecință a identității Jacobi.) Derivațiile externe sunt derivări care nu provin din reprezentarea adiacentă a algebrei Lie. Dacă este semisimplă , fiecare derivare este interioară. ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} (y): = [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Derivațiile formează un spațiu vectorial , care este o subalgebră Lie a ; consola este comutator. Derivațiile interioare formează o subalgebră Lie a . ${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$

Exemple

De exemplu, având în vedere un algebră Lie ideal , reprezentarea adjunctă a acțiunilor ca derivări externe pe pentru că pentru orice și . Pentru algebra Lie a matricilor triunghiulare superioare din , are un ideal de matrice triunghiulare strict superioare (unde singurele elemente nenule sunt deasupra diagonalei matricei). De exemplu, comutatorul de elemente din și dă${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {ad}} _ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle [x, i] \ subset {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle i \ in {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 0 & x & y \\ 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} } \ right] & = {\ begin {bmatrix} 0 & ax & ay + bz \\ 0 & 0 & dz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 & dx & ex + yf \\ 0 & 0 & fz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ \ & = {\ begin {bmatrix} 0 & (ad) x & (af) y-ex + bz \\ 0 & 0 & (df) z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

arată că există derivații exterioare de la . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ text {Der}} ({\ mathfrak {n}} _ {3})}$

Algebra Lie Lie

Fie V un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un câmp F , algebra Lie a transformărilor liniare și o subalgebră Lie. Apoi , este declarat a fi divizat în cazul în care rădăcinile polinoamele caracteristice ale tuturor transformărilor liniare sunt în câmpul de bază F . Mai general, o algebră Lie cu dimensiuni finite se spune că este divizată dacă are o subalgebră Cartan a cărei imagine sub reprezentarea adiacentă este o algebră Lie divizată. O formă reală divizată a unei algebre Lie semisimple complexe (cf. # Formă reală și complexificare ) este un exemplu de algebră Lie reală divizată. A se vedea, de asemenea, divizarea algebrei Lie pentru informații suplimentare. ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ subseteq {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

Baza spațiului vectorial

Pentru calcule practice, este adesea convenabil să alegeți o bază de spațiu vectorial explicită pentru algebră. O construcție obișnuită pentru această bază este schițată în constantele structurii articolului .

Definiție utilizând notația teoretică de categorie

Deși definițiile de mai sus sunt suficiente pentru o înțelegere convențională a algebrelor Lie, odată ce aceasta este înțeleasă, o perspectivă suplimentară poate fi obținută prin utilizarea notației comune teoriei categoriilor , adică prin definirea unei algebre Lie în termeni de hărți liniare - adică morfisme din categoria spațiilor vectoriale - fără a lua în considerare elemente individuale. (În această secțiune, câmpul peste care este definită algebra se presupune că are o caracteristică diferită de două.)

Pentru definiția teoretică a categoriilor de algebre Lie, sunt necesare două izomorfisme de împletit . Dacă A este un spațiu vectorial, izomorfismul de schimb este definit de ${\ displaystyle \ tau: A \ otimes A \ to A \ otimes A}$

${\ displaystyle \ tau (x \ otimes y) = y \ otimes x.}$

Împletirea ciclic-permutări este definit ca ${\ displaystyle \ sigma: A \ otimes A \ otimes A \ to A \ otimes A \ otimes A}$

${\ displaystyle \ sigma = (\ mathrm {id} \ otimes \ tau) \ circ (\ tau \ otimes \ mathrm {id}),}$

unde este morfismul identitar. În mod echivalent, este definit de ${\ displaystyle \ mathrm {id}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma (x \ otimes y \ otimes z) = y \ otimes z \ otimes x.}$

Cu această notație, o algebră Lie poate fi definită ca un obiect din categoria spațiilor vectoriale împreună cu un morfism${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: A \ otimes A \ rightarrow A}$

care satisface cele două egalități de morfism

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ (\ mathrm {id} + \ tau) = 0,}$

și

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ ([\ cdot, \ cdot] \ otimes \ mathrm {id}) \ circ (\ mathrm {id} + \ sigma + \ sigma ^ {2}) = 0. }$

Exemple

Spații vectoriale

Orice spațiu vectorial dotat cu paranteză Lie identic zero devine o algebră Lie. Astfel de algebre Lie sunt numite abeliene , cf. de mai jos. Orice algebră Lie unidimensională peste un câmp este abeliană, prin proprietatea alternativă a parantezei Lie. ${\ displaystyle V}$

Algebră asociativă cu paranteză comutator

• Pe o algebră asociativă peste un câmp cu multiplicare , o paranteză Lie poate fi definită de comutator . Cu această paranteză, este o algebră Lie. Algebra asociativă A se numește algebră învelitoare a algebrei Lie . Fiecare algebră Lie poate fi încorporată într-una care apare dintr-o algebră asociativă în acest mod; vezi algebra universală învăluitoare .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}$ ${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (A, [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,])}$
• Se notează algebra asociativă a endomorfismelor unui spațiu F -vector cu paranteze Lie de mai sus .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$
• Pentru un spațiu finit dimensional vector , exemplul anterior este exact algebra Lie de n × n matrici, notate sau și cu suport unde adiacenta indică matrice de multiplicare. Aceasta este algebra Lie a grupului liniar general , format din matrice inversabile.${\ displaystyle V = F ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, F)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$

Matrici speciale

Două subalgebre importante sunt: ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$

• Matricile urmei zero formează algebra Lie specială liniară , algebra Lie a grupului liniar special .${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (F)}$
• De skew-hermitian matricelor formează algebra Lie unitară , algebra Lie a grupului unitar U ( n ).${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n)}$ 

Algebre Matrix Lie

Un grup matricial complex este un grup Lie format din matrici , unde multiplicarea lui G este multiplicarea matricei. Algebra Lie corespunzătoare este spațiul matricilor care sunt vectori tangenți la G în interiorul spațiului liniar : acesta constă din derivate ale curbelor netede în G la identitate:${\ displaystyle G \ subset M_ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ {X = c '(0) \ în M_ {n} (\ mathbb {C}) \ \ mid \ {\ text {smooth}} c: \ mathbb {R } \ to G, \ c (0) = I \}.}$

Parantezul Lie al este dat de comutatorul matricilor ,. Având în vedere algebra Lie, se poate recupera grupul Lie ca imaginea mapării exponențiale a matricei definită de , care converge pentru fiecare matrice : adică . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle \ exp: M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to M_ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ exp (X) = I + X + {\ tfrac {1} {2!}} X ^ {2} + \ cdots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G = \ exp ({\ mathfrak {g}})}$

Următoarele sunt exemple de algebre Lie ale grupurilor Lie de matrice:

• Grupa liniară specială , formată din toate n  ×  n matrici cu determinant 1. Algebra Lie este formată din toate n  ×  n matrici cu intrări complexe și urmă 0. În mod similar, se poate defini grupul Lie corespunzător real și algebra Lie .${\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {R})}$
• Grupul unitar este format din n  ×  n matrici unitare (satisfăcătoare ). Algebra Lie este formată din matrici înclinate de sine ( ).${\ displaystyle U (n)}$${\ displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n)}$${\ displaystyle X ^ {*} = - X}$
• Grupul ortogonal special , format din determinante reale-matrici ortogonale ( ). Algebra Lie este formată din matrici reale simetrice ( ). Grupul ortogonal complet , fără condiția determinant-unu, este format dintr- o componentă conectată separată, deci are aceeași algebră Lie ca și . În mod similar, se poate defini o versiune complexă a acestui grup și algebră, permițând pur și simplu intrări matriciale complexe.${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = A ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n)}$${\ displaystyle X ^ {\ rm {T}} = - X}$${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$

Două dimensiuni

• Pe orice câmp există, până la izomorfism, o singură algebră de Lie bidimensională nonabeliană. Cu generatoare x, y, suportul său este definit . Generează grupul afin într-o singură dimensiune .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ left [x, y \ right] = y}$

Acest lucru poate fi realizat prin matrici:

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad y = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 și 0 \ end {array}} \ right).}$

De cand

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right) ^ {n + 1} = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 și 0 \ end {array}} \ right)}$

pentru orice număr natural și oricare , se vede că elementele grupului Lie rezultate sunt matrici triunghiulare superioare 2 × 2 cu unitate diagonală inferioară: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ exp (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y) = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} ( e ^ {a} -1) \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) = 1 + {\ tfrac {e ^ {a} -1} {a}} \ left (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y \ right).}$

Trei dimensiuni

• Algebra Heisenberg este o algebră tridimensională Lie generat de elemente x , y și z cu paranteze Lie${\ displaystyle {\ rm {H}} _ {3} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle [x, y] = z, \ quad [x, z] = 0, \ quad [y, z] = 0}$.

De obicei se realizează ca spațiul a 3 × 3 matrici strict triunghiulare superioare, cu comutatorul paranteză Lie și baza

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad y = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad z = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~ . \ quad}$

Orice element al grupului Heisenberg are o reprezentare ca produs al generatoarelor de grup, adică exponențiale matriciale ale acestor generatori de algebră Lie,

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = e ^ {by} e ^ {cz} e ^ {ax} ~.}$

• Algebra Lie a grupului SO (3) este cuprinsă de cele trei matrice${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

${\ displaystyle F_ {1} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {2} = \ left ({ \ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {3} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~. \ Quad}$

Relațiile de comutare între acești generatori sunt

${\ displaystyle [F_ {1}, F_ {2}] = F_ {3},}$

${\ displaystyle [F_ {2}, F_ {3}] = F_ {1},}$

${\ displaystyle [F_ {3}, F_ {1}] = F_ {2}.}$

Spațiul euclidian tridimensional cu paranteză Lie dat de produsul încrucișat al vectorilor are aceleași relații de comutare ca mai sus: astfel, este izomorf pentru . Această algebră Lie este unitar echivalentă cu operatorii obișnuiți ai componentelor cu impuls unghiular Spin (fizică) pentru particulele spin-1 în mecanica cuantică .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Dimensiuni infinite

• În topologia diferențială apare o clasă importantă de algebre Lie infinit-dimensionale reale . Spațiul câmpurilor vectoriale netede pe o varietate diferențiată M formează o algebră Lie, unde paranteză Lie este definită ca fiind comutatorul câmpurilor vectoriale . O modalitate de exprimare a parantezei Lie este prin formalismul derivatelor Lie , care identifică un câmp vectorial X cu un operator diferențial parțial de ordinul întâi L _X care acționează asupra funcțiilor netede lăsând L _X ( f ) să fie derivata direcțională a funcției f în direcția X . Paranteze Lie [ X , Y ] a două câmpuri vectoriale este câmpul vectorial definit prin acțiunea sa asupra funcțiilor prin formula:

${\ displaystyle L _ {[X, Y]} f = L_ {X} (L_ {Y} f) -L_ {Y} (L_ {X} f). \,}$

• Algebrele Kac – Moody sunt o clasă mare de algebre Lie cu dimensiuni infinite a căror structură este foarte asemănătoare cu cazurile cu dimensiuni finite de mai sus.
• Moyal algebra este o algebra Lie infinit-dimensionale care conține toate algebrelor Lie clasice ca subalgebrele.
• Algebra Virasoro este de o importanță capitală în teoria corzilor .

Reprezentări

Definiții

Dat fiind un spațiu vectorial V , să denotăm algebra Lie constituită din toate endomorfismele liniare ale lui V , cu paranteză dată de . O reprezentare a unei algebre Lie pe V este un homomorfism algebrei Lie ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V).}$

Se spune că o reprezentare este fidelă dacă nucleul său este zero. Teorema lui Ado afirmă că fiecare algebră Lie cu dimensiuni finite are o reprezentare fidelă pe un spațiu vectorial cu dimensiuni finite.

Reprezentare alăturată

Pentru orice algebră Lie , putem defini o reprezentare ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} \ colon {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

dat de ; este o reprezentare pe spațiul vectorial numită reprezentare adiacentă . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Obiective ale teoriei reprezentării

Un aspect important al studiului algebrelor Lie (în special algebrele Lie semi-simple) este studiul reprezentărilor lor. (Într-adevăr, majoritatea cărților enumerate în secțiunea de referințe dedică o fracțiune substanțială a paginilor lor teoriei reprezentării.) Deși teorema lui Ado este un rezultat important, scopul principal al teoriei reprezentării nu este de a găsi o reprezentare fidelă a unei algebre Lie date. . Într-adevăr, în cazul semisimplu, reprezentarea adiacentă este deja fidelă. Mai degrabă scopul este să înțelegem toate reprezentările posibile ale , până la noțiunea naturală de echivalență. În cazul semisimplu al unui câmp cu zero caracteristic, teorema lui Weyl spune că fiecare reprezentare cu dimensiuni finite este o sumă directă de reprezentări ireductibile (cele fără subspaiuri invariante netiviale). Reprezentările ireductibile, la rândul lor, sunt clasificate după o teoremă cu cea mai mare greutate . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Teoria reprezentării în fizică

Teoria reprezentării algebrelor Lie joacă un rol important în diferite părți ale fizicii teoretice. Acolo, se iau în considerare operatorii din spațiul statelor care satisfac anumite relații naturale de comutare. Aceste relații de comutare provin de obicei dintr-o simetrie a problemei - în mod specific, ele sunt relațiile algebrei Lie a grupului de simetrie relevant. Un exemplu ar fi operatorii momentului unghiular , ale căror relații de comutare sunt cele ale algebrei Lie a grupului de rotație SO (3) . De obicei, spațiul stărilor este foarte departe de a fi ireductibil sub operatorii pertinenți, dar se poate încerca să-l descompună în bucăți ireductibile. Procedând astfel, trebuie să cunoaștem reprezentările ireductibile ale algebrei Lie date. În studiul atomului de hidrogen cuantic , de exemplu, manualele de mecanică cuantică oferă (fără a-l numi așa) o clasificare a reprezentărilor ireductibile ale algebrei Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Teoria structurii și clasificarea

Algebrele minciunii pot fi clasificate într-o oarecare măsură. În special, aceasta are o aplicație la clasificarea grupurilor Lie.

Abelian, nilpotent și rezolvabil

În mod similar cu grupurile abeliene, nilpotente și rezolvabile, definite în termeni de subgrupuri derivate, se pot defini algebre Lie abeliene, nilpotente și rezolvabile.

O algebră Lie este abeliană${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$dacă parantezul Lie dispare, adică [ x , y ] = 0, pentru toate x și y în . Algebrele Abelian Lie corespund grupurilor Lie conectate comutative (sau abeliene ), cum ar fi spații vectoriale sau tori , și sunt toate de formă, ceea ce înseamnă un spațiu vectorial n- dimensional cu paranteze Lie banală. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} ^ {n},}$

O clasă mai generală de algebre Lie este definită prin dispariția tuturor comutatorilor de lungime dată. O algebră Lie este nilpotentă dacă seria centrală inferioară${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}$

devine zero în cele din urmă. Prin teorema lui Engel , o algebră Lie este nilpotent dacă și numai dacă pentru fiecare u în endomorphism Adjoint${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (u): {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}, \ quad \ operatorname {ad} (u) v = [u, v]}$

este nilpotent.

Mai general, se spune că o algebră Lie este rezolvabilă dacă seria derivată : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{ \ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak { g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]> \ cdots}$

devine zero în cele din urmă.

Fiecare algebră Lie cu dimensiuni finite are un ideal unic rezolvabil maxim, numit radicalul său . În corespondența Lie, grupurile Lie conectate nilpotente (respectiv, rezolvabile) corespund algebrelor Lie nilpotente (respectiv, rezolvabile).

Simplu și semisimplu

O algebră Lie este „ simplă ” dacă nu are idealuri non-banale și nu este abeliană. (Acest lucru implică faptul că o algebră unidimensională - neapărat abeliană - Lie nu este prin definiție simplă, chiar dacă nu are idealuri netiviale.) O algebră Lie se numește semisimplă dacă este izomorfă la o sumă directă de algebre simple. Există mai multe caracterizări echivalente ale algebrelor semisimple, cum ar fi faptul că nu au idealuri care nu pot fi rezolvate zero. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Conceptul de semisimplicitate pentru algebrele Lie este strâns legat de reducibilitatea completă (semisimplicitatea) reprezentărilor lor. Când câmpul de la sol F are caracteristica zero, orice reprezentare finit-dimensională a unei algebre Lie semisimple este semisimplă (adică, sumă directă a reprezentărilor ireductibile.) În general, o algebră Lie este numită reductivă dacă reprezentarea adiacentă este semisimplă. Astfel, o algebră Lie semisimplă este reductivă.

Criteriul lui Cartan

Criteriul Cartan oferă condiții pentru ca o algebră Lie să fie nilpotentă, rezolvabilă sau semisimplă. Ea se bazează pe noțiunea de forma Killing , o formă biliniară simetrică pe definită prin formula ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle K (u, v) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (u) \ operatorname {ad} (v)),}$

unde tr denotă urmele unui operator liniar . O algebră Lie este semisimplă dacă și numai dacă forma Killing nu este degenerată . O algebră Lie este rezolvabilă dacă și numai dacă${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0.}$

Clasificare

Descompunerea Levi exprimă o algebră Lie arbitrar ca o sumă semidirect radical său rezolvabile și o algebră Lie semisimplu, aproape într - un mod canonic. (O astfel de descompunere există pentru o algebră Lie cu dimensiune finită peste un câmp cu zero caracteristic.) Mai mult, algebrele Lie semisimple peste un câmp închis algebric au fost complet clasificate prin sistemele lor radiculare .

Relația cu grupurile Lie

Deși algebrele Lie sunt adesea studiate în sine, în mod istoric au apărut ca un mijloc de a studia grupurile Lie .

Acum prezentăm pe scurt relația dintre grupurile Lie și algebrele Lie. Orice grup Lie dă naștere unei algebre Lie determinate canonic (concret, spațiul tangent la identitate ). În schimb, pentru orice algebră Lie cu dimensiuni finite , există un grup Lie conectat corespunzător cu algebră Lie . Aceasta este a treia teoremă a lui Lie ; vezi formula Baker – Campbell – Hausdorff . Acest grup Lie nu este determinat în mod unic; cu toate acestea, oricare două grupuri Lie cu aceeași algebră Lie sunt izomorfe local și, în special, au aceeași acoperire universală . De exemplu, grupul special ortogonal SO (3) și grupul unitar special SU (2) dau naștere aceleiași algebre Lie, care este izomorfă cu produsul încrucișat, dar SU (2) este un capac dublu simplu conectat din SO (3). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Dacă luăm în considerare grupuri Lie conectate pur și simplu , avem o corespondență unu-la-unu: Pentru fiecare algebră Lie (reală cu dimensiune finită) , există un grup Lie simplu legat simplu cu algebră Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Corespondența dintre algebrele Lie și grupurile Lie este utilizată în mai multe moduri, inclusiv în clasificarea grupurilor Lie și a materiei aferente teoriei reprezentării grupurilor Lie. Fiecare reprezentare a unei algebre Lie se ridică în mod unic la o reprezentare a grupului Lie conectat, simplu conectat corespunzător și, invers, fiecare reprezentare a oricărui grup Lie induce o reprezentare a algebrei Lie a grupului; reprezentările sunt în corespondență unu-la-unu. Prin urmare, cunoașterea reprezentărilor unei algebre Lie rezolvă problema reprezentărilor grupului.

În ceea ce privește clasificarea, se poate arăta că orice grup Lie conectat cu o algebră Lie dată este izomorfă la capacul universal mod un subgrup central discret. Deci, clasificarea grupurilor Lie devine pur și simplu o chestiune de numărare a subgrupurilor discrete ale centrului , odată ce clasificarea algebrelor Lie este cunoscută (rezolvată de Cartan și colab. În cazul semisimplu ).

Dacă algebra Lie este infinit-dimensională, problema este mai subtilă. În multe cazuri, harta exponențială nu este chiar local un homeomorfism (de exemplu, în Diff ( S ¹ ), se pot găsi difereomorfisme în mod arbitrar apropiate de identitate care nu sunt în imaginea exp). Mai mult, unele algebre Lie cu dimensiune infinită nu sunt algebra Lie a niciunui grup.

Formă reală și complexificare

Având în vedere o algebră Lie complexă , se spune că o algebră Lie reală este o formă reală a dacă complexificarea este izomorfă pentru . O formă reală nu trebuie să fie unică; de exemplu, are două forme reale și . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ simeq {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {2}}$

Având în vedere o algebră de Lie semisimplă cu dimensiuni finite , o formă divizată a acesteia este o formă reală care se împarte; adică are o subalgebră Cartan care acționează printr-o reprezentare adiacentă cu valori proprii reale. O formă divizată există și este unică (până la izomorfisme). O formă compactă este o formă reală care este algebra Lie a unui grup Lie compact. O formă compactă există și este, de asemenea, unică. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Algebra Lie cu structuri suplimentare

O algebră Lie poate fi echipată cu câteva structuri suplimentare care se presupun că sunt compatibile cu suportul. De exemplu, o algebră Lie gradată este o algebră Lie cu o structură spațială vectorială gradată. Dacă vine și cu diferențial (astfel încât spațiul vectorial gradat subiacent este un complex de lanțuri ), atunci se numește algebră Lie gradată diferențial .

O algebră Lie simplă este un obiect simplicial din categoria algebrelor Lie; cu alte cuvinte, se obține prin înlocuirea setului subiacent cu un set simplicial (deci ar putea fi considerat mai bine ca o familie de algebre Lie).

Inel de minciună

Un inel Lie apare ca o generalizare a algebrelor Lie, sau prin studiul seriei centrale inferioare de grupuri . Un inel Lie este definit ca un inel neasociativ cu multiplicare care este anticomutativă și care satisface identitatea Jacobi . Mai precis putem defini un inel Lie pentru a fi un grup abelian cu o operație care are următoarele proprietăți: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

• Bilinearitate:

${\ displaystyle [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \ quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y]}$

pentru toate x , y , z ∈ L .

• Identitatea Jacobi :

${\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \ quad}$

pentru toate x , y , z în L .

• Pentru toate x în L :

${\ displaystyle [x, x] = 0 \ quad}$

Inelele Lie nu trebuie să fie grupuri Lie în plus. Orice algebră Lie este un exemplu de inel Lie. Orice inel asociativ poate fi transformat într-un inel Lie prin definirea unui operator de paranteză . În schimb, la orice algebră Lie există un inel corespunzător, numit algebră de învăluire universală . ${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}$

Inelele de minciună sunt utilizate în studiul grupurilor p finite prin corespondența Lazard . Factorii inferiori centrale ale unei p -în sunt finite abeliene p -Grupuri, astfel încât modulele de peste Z / p Z . Suma directă a factorilor centrali inferiori este dată structurii unui inel Lie prin definirea parantezei pentru a fi comutatorul a doi reprezentanți ai cosetelor. Structura inelului Lie este îmbogățită cu un alt homomorfism al modulului, a p- a harta puterii, făcând inelul Lie asociat un așa-numit inel Lie restrâns.

Inelele Lie sunt, de asemenea, utile în definirea grupelor analitice p-adic și a endomorfismelor lor prin studierea algebrelor Lie peste inele de numere întregi, cum ar fi numerele întregi p-adic . Definiția grupurilor finite de tip Lie datorită lui Chevalley implică restricționarea de la o algebră Lie peste numerele complexe la o algebră Lie peste numerele întregi și apoi reducerea modulului p pentru a obține o algebră Lie peste un câmp finit.

Exemple

• Orice algebră Lie peste un inel general în locul unui câmp este un exemplu de inel Lie. Inelele de minciună nu sunt grupuri de minciuni adăugate, în ciuda numelui.
• Orice inel asociativ poate fi transformat într-un inel Lie prin definirea unui operator de paranteză

${\ displaystyle [x, y] = xy-yx.}$

• Pentru un exemplu de inel Lie care rezultă din studiul grupurilor , să fie un grup cu operația comutatorului și să fie o serie centrală în - adică subgrupul comutatorului este conținut pentru oricare . Atunci${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}$${\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq G_ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq G_ {n} \ supseteq \ cdots}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [G_ {i}, G_ {j}]}$${\ displaystyle G_ {i + j}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle L = \ bigoplus G_ {i} / G_ {i + 1}}$

este un inel Lie cu adaos furnizat de operația de grup (care este abeliană în fiecare parte omogenă) și operația de paranteză dată de

${\ displaystyle [xG_ {i}, yG_ {j}] = [x, y] G_ {i + j} \}$

extins liniar. Centralitatea seriei asigură faptul că comutatorul conferă funcționării suportului proprietățile teoretice Lie adecvate.${\ displaystyle [x, y]}$

Vezi si

Observații

Referințe

Surse

• Beltiță, Daniel (2006). Structuri omogene netede în teoria operatorilor . Monografii și anchete CRC în matematică pură și aplicată. 137 . CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6. MR  2188389 .
• Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M .; Núñez, Juan (2001-06-01). „O nouă metodă de clasificare a algebrelor complexe filiforme de Lie”. Matematică aplicată și calcul . 121 (2-3): 169-175. doi : 10.1016 / s0096-3003 (99) 00270-2 . ISSN  0096-3003 .
• Bourbaki, Nicolas (1989). Grupuri de minciuni și algebre de minciună: capitolele 1-3 . Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introducere în algebrele minciunii , ediția I, Springer, 2006. ISBN  1-84628-040-0
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentării. Un prim curs . Texte postuniversitare în matematică , lecturi în matematică. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 . OCLC  246650103 .
• Hall, Brian C. (2015). Grupuri de minciuni, algebre de minciună și reprezentări: o introducere elementară . Texte postuniversitare în matematică. 222 (ed. A 2-a). Springer. doi : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 . ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285 .
• Hofmann, Karl H .; Morris, Sidney A (2007). Teoria minciunii grupurilor conectate pro-minciună . European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-032-6.
• Humphreys, James E. (1978). Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării . Texte postuniversitare în matematică. 9 (ed. A 2-a). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Algebre de minciună . Dover. ISBN 978-0-486-63832-4.
• Kac, Victor G .; și colab. Note de curs pentru MIT 18.745: Introducere în algebrele minciunii . Arhivat din original la 20.04.2010.CS1 maint: bot: starea URL originală necunoscută ( link )
• Mubarakzyanov, GM (1963). „Pe algebre Lie rezolvabile” . Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (în rusă). 1 (32): 114–123. MR  0153714 . Zbl  0166.04104 .
• O'Connor, JJ ; Robertson, EF (2000). „Biografia lui Sophus Lie” . Arhiva Istoria Matematicii MacTutor.
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (2005). „Biografia lui Wilhelm Killing” . Arhiva Istoria Matematicii MacTutor.
• Popovych, RO; Boyko, VM; Nesterenko, MO; Lutfullin, MW; și colab. (2003). „Realizări ale algebrelor Lie mincinoase reale”. J. Phys. A: Matematică. Geneza . 36 (26): 7337-60. arXiv : math-ph / 0301029 . Cod Bib : 2003JPhA ... 36.7337P . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 36/26/309 . S2CID  9800361 .
• Serre, Jean-Pierre (2006). Algebre de minciună și grupuri de minciuni (ediția a II-a). Springer. ISBN 978-3-540-55008-2.
• Steeb, Willi-Hans (2007). Simetriile continue, algebrele minciunii, ecuațiile diferențiale și algebra computerului (ediția a II-a). World Scientific. doi : 10.1142 / 6515 . ISBN 978-981-270-809-0. MR  2382250 .
• Varadarajan, Veeravalli S. (2004). Grupuri de minciuni, algebre de minciună și reprezentările lor (ed. I). Springer. ISBN 978-0-387-90969-1.

linkuri externe

• "Lie algebra" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• McKenzie, Douglas (2015). „O introducere elementară în algebrele minciunii pentru fizicieni” .