F ₄ (matematică) -F₄ (mathematics)

Structură algebrică → Teorie de grup Teorie de grup
Noțiuni de bază Subgrup Subgrup normal Grupul cotientului Produs (semi) direct Omomorfisme de grup nucleu imagine sumă directă produs de coroană simplu finit infinit continuu multiplicativ aditiv ciclic abelian diedru nilpotent rezolvabil acțiune Glosar al teoriei grupurilor Lista subiectelor teoriei grupurilor
Grupuri finite Clasificarea grupurilor simple finite ciclic alternativ Tipul minciunii sporadic Teorema lui Cauchy Teorema lui Lagrange Teoreme Sylow Teorema lui Hall grupa p Grup abelian elementar Grupul Frobenius Multiplicator Schur Grup simetric S n Klein cu patru grupuri V Grupa diedrică D n Grupul cuaternar Q Grup diciclic Dic n
Grupuri discrete Rețele Numere întregi ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grup gratuit Grupuri modulare PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grup aritmetic Zăbrele Grup hiperbolic
Grupuri topologice și Lie Solenoid Cerc GL liniar general ( n ) SL liniar special ( n ) O ortogonal ( n ) Euclidian E ( n ) SO ortogonal special ( n ) Unitar U ( n ) SU unitar special ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conform Diffeomorfism Buclă Grup infinit dimensional Lie O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupuri algebrice Grup algebric liniar Grup reductiv Soi abelian Curba eliptică
v t e

Grupuri de minciuni
Grupuri clasice
Grupuri de minciuni simple Clasic A n B n C n D n Excepţional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Alte grupuri de minciuni Cerc Lorentz Poincaré Grup conform Diffeomorfism Buclă Euclidian
Algebre de minciună
Algebra semisimplă Lie
Teoria reprezentării
Grupuri de minciuni în fizică
Oamenii de știință Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosar Tabelul grupurilor Lie
v t e

În matematică , F ₄ este numele unui grup Lie și, de asemenea, algebra Lie Lie f ₄ . Este unul dintre cele cinci grupuri de minciuni simple excepționale . F ₄ are rangul 4 și dimensiunea 52. Forma compactă este pur și simplu conectată, iar grupul său exterior de automorfism este grupul trivial . Reprezentarea sa fundamentală este 26-dimensională.

Forma reală compactă a lui F ₄ este grupul de izometrie al unui distribuitor Riemannian cu 16 dimensiuni cunoscut sub numele de planul proiectiv octonionic OP ² . Acest lucru poate fi văzut sistematic folosind o construcție cunoscută sub numele de pătratul magic , datorită lui Hans Freudenthal și Jacques Tits .

Există 3 forme reale : una compactă, una divizată și a treia. Acestea sunt grupurile de izometrie ale celor trei algebre Albert reale .

Algebra Lie F ₄ poate fi construită prin adăugarea a 16 generatoare care se transformă ca un spinor la algebra Lie 36-dimensională astfel (9), în analogie cu construcția lui E ₈ .

În cărțile și ziarele mai vechi, F ₄ este uneori notat cu E ₄ .

Algebră

Diagrama Dynkin

Diagrama Dynkin pentru F ₄ este:.

Grupul Weyl / Coxeter

Grupul său Weyl / Coxeter este grupul de simetrie al celor 24 de celule : este un grup rezolvabil de ordinul 1152. Are un grad fidel minim care se realizează prin acțiunea asupra celor 24 de celule . ${\ displaystyle G = W \ left (\ mathrm {F} _ {4} \ right)}$${\ displaystyle \ mu (G) = 24}$

Matricea Cartan

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \ end {array}} \ right]}$

F ₄ zăbrele

F ₄ zăbrele este un patru dimensiuni cubică cu volum zăbrele (adică unirea a două zăbrele hypercubic , fiecare situată în centrul celuilalt). Ele formează un inel numit inelul cuaternar Hurwitz . Cele 24 de cuaternionuri Hurwitz ale normei 1 formează vârfurile unei 24 de celule centrate la origine.

Rădăcinile lui F ₄

Cele 24 de vârfuri de 24 de celule (roșu) și 24 de vârfuri ale acestuia dual (galben) reprezintă cei 48 de vectori rădăcini ai lui F ₄ în această proiecție a planului Coxeter

Cei 48 de vectori rădăcini ai lui F ₄ pot fi găsiți ca vârfuri ale 24-celulei în două configurații duale, reprezentând vârfurile unei 288 celule defenoidale dacă lungimile marginilor celor 24 de celule sunt egale:

Vârfuri cu 24 de celule:

• 24 rădăcini de (± 1, ± 1,0,0), permutând poziții coordonate

Vârfuri duble cu 24 de celule:

• 8 rădăcini de (± 1, 0, 0, 0), permutând pozițiile coordonate
• 16 rădăcini de (± ½, ± ½, ± ½, ± ½).

Rădăcini simple

Diagrama Hasse a F4 poset rădăcină cu etichete margine adăugată poziție simplă identificare să rădăcină

O alegere de rădăcini simple pentru F ₄ ,, este dat de rândurile următoarei matrice:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac { 1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \\\ end {bmatrix}}}$

F ₄ invariant polinomial

Așa cum O ( n ) este grupul de automorfisme care păstrează polinomii pătratici x ² + y ² + ... invarianți, F ₄ este grupul de automorfisme din următorul set de 3 polinoame în 27 de variabile. (Prima poate fi ușor înlocuită cu alte două formând 26 de variabile).

${\ displaystyle C_ {1} = x + y + z}$

${\ displaystyle C_ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2X {\ overline {X}} + 2Y {\ overline {Y}} + 2Z {\ overline {Z }}}$

${\ displaystyle C_ {3} = xyz-xX {\ overline {X}} - yY {\ overline {Y}} - zZ {\ overline {Z}} + XYZ + {\ overline {XYZ}}}$

În cazul în care x , y , z sunt evaluate în mod real și X , Y , Z sunt evaluate în octombrie. Un alt mod de scriere a acestor invarianți este ca (combinații de) Tr ( M ), Tr ( M ² ) și Tr ( M ³ ) ale matricei octonion hermitiene :

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} x & {\ overline {Z}} & Y \\ Z & y & {\ overline {X}} \\ {\ overline {Y}} & X & z \ end {bmatrix}}}$

Setul de polinoame definește o suprafață compactă cu 24 de dimensiuni.

Reprezentări

Caracterele reprezentărilor dimensionale finite ale algebrelor Lie reale și complexe și ale grupurilor Lie sunt toate date de formula caracterului Weyl . Dimensiunile celor mai mici reprezentări ireductibile sunt (secvența A121738 în OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (de două ori), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (de două ori), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912 ...

Reprezentarea 52-dimensională este reprezentarea adiacentă , iar cea 26-dimensională este partea fără urme a acțiunii lui F ₄ asupra algebrei Albert excepționale de dimensiunea 27.

Există două reprezentări ireductibile neizomorfe ale dimensiunilor 1053, 160056, 4313088 etc. Reprezentările fundamentale sunt cele cu dimensiunile 52, 1274, 273, 26 (corespunzătoare celor patru noduri din diagrama Dynkin în ordinea astfel încât săgeata dublă puncte de la al doilea la al treilea).

Vezi si

• Albert algebra
• Avionul Cayley
• Diagrama Dynkin
• Reprezentare fundamentală
• Grupul Simple Lie

Referințe

• Adams, J. Frank (1996). Prelegeri despre grupuri de minciuni excepționale . Chicago Lectures in Mathematics. Universitatea din Chicago Press . ISBN 978-0-226-00526-3. MR  1428422 .
• John Baez , The Octonions , Secțiunea 4.2: F ₄ , Bull. Amer. Matematica. Soc. 39 (2002), 145-205 . Versiune HTML online la http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html .
• Chevalley C, Schafer RD (februarie 1950). „Algebrele de minciună simple excepționale F (4) și E (6)” . Proc. Natl. Acad. Știință. SUA . 36 (2): 137–41. Cod Bib : 1950PNAS ... 36..137C . doi : 10.1073 / pnas.36.2.137 . PMC  1063148 . PMID  16588959 .
• Jacobson, Nathan (01.06.1971). Algebre de minciună excepționale (ed. I). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.