Teorema binomului - Binomial theorem

În algebra elementară , teorema binomială (sau expansiunea binomială ) descrie expansiunea algebrică a puterilor unui binom . Conform teoremei, este posibil să se extindă polinomul ( x + y ) ⁿ într-o sumă care implică termeni de forma ax ^b y ^c , unde exponenții b și c sunt numere întregi nenegative cu b + c = n și coeficientul a din fiecare termen este un număr întreg pozitiv specific în funcție de n și b . De exemplu (pentru n = 4 ),

${\ displaystyle (x + y) ^ {4} = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}.}$

Coeficientul a în termenul ax ^b y ^c este cunoscut sub numele de coeficient binomial sau (cei doi au aceeași valoare). Acești coeficienți pentru variabilele n și b pot fi aranjați pentru a forma triunghiul lui Pascal . Aceste numere apar și în combinatorică , unde dă numărul de combinații diferite de elemente b care pot fi alese dintr-un set de elemente n . Prin urmare, este adesea pronunțat ca " n alegeți b ". ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {b}}}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {c}}}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {b}}}$

Istorie

Cazuri speciale ale teoremei binomului erau cunoscute cel puțin din secolul al IV-lea î.Hr., când matematicianul grec Euclid a menționat cazul special al teoremei binomului pentru exponentul  2 . Există dovezi că teorema binomială pentru cuburi era cunoscută până în secolul al VI-lea d.Hr. în India.

Coeficienții binomiali, ca mărimi combinatorii care exprimă numărul de moduri de a selecta k obiecte din n fără înlocuire, au fost de interes pentru matematicienii indieni antici. Cea mai veche referință cunoscută la această problemă combinatorie este Chandaḥśāstra de către liricul indian Pingala (c. 200 î.Hr.), care conține o metodă pentru soluționarea sa. Comentatorul Halayudha din secolul al X-lea d.Hr. explică această metodă folosind ceea ce este acum cunoscut sub numele de triunghiul lui Pascal . Până în secolul al VI-lea d.Hr., matematicienii indieni probabil știau cum să exprime acest lucru ca un coeficient , iar o declarație clară a acestei reguli poate fi găsită în textul din secolul al XII-lea Lilavati de Bhaskara . ${\ displaystyle {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}$

Prima formulare a teoremei binomiale și a tabelului coeficienților binomiali, după cunoștințele noastre, poate fi găsită într-o lucrare de Al-Karaji , citată de Al-Samaw'al în „al-Bahir” său. Al-Karaji a descris modelul triunghiular al coeficienților binomiali și a oferit, de asemenea, o dovadă matematică a teoremei binomului și a triunghiului lui Pascal, folosind o formă timpurie de inducție matematică . Poetul și matematicianul persan Omar Khayyam era probabil familiarizat cu formula la ordinele superioare, deși multe dintre operele sale matematice sunt pierdute. Extensiile binomiale de grade mici au fost cunoscute în lucrările matematice din secolul al XIII-lea din Yang Hui și, de asemenea, Chu Shih-Chieh . Yang Hui atribuie metoda unui text mult mai vechi din secolul al XI-lea al lui Jia Xian , deși aceste scrieri sunt acum și pierdute.

În 1544, Michael Stifel a introdus termenul „coeficient binomial” și a arătat cum să le folosească pentru a le exprima în termeni de , prin „triunghiul lui Pascal”. Blaise Pascal a studiat triunghiul omonim în mod cuprinzător în Traité dus triangle arithmétique . Cu toate acestea, modelul numerelor era deja cunoscut matematicienilor europeni de la sfârșitul Renașterii, inclusiv Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia și Simon Stevin . ${\ displaystyle (1 + a) ^ {n}}$${\ displaystyle (1 + a) ^ {n-1}}$

Isaac Newton este în general creditat cu teorema binomului generalizat, valabilă pentru orice exponent rațional.

Afirmație

Conform teoremei, este posibil să se extindă orice putere negativă a lui x + y într-o sumă a formei

${\ displaystyle (x + y) ^ {n} = {n \ alege 0} x ^ {n} y ^ {0} + {n \ alege 1} x ^ {n-1} y ^ {1} + { n \ alege 2} x ^ {n-2} y ^ {2} + \ cdots + {n \ alege n-1} x ^ {1} y ^ {n-1} + {n \ alege n} x ^ {0} y ^ {n},}$

unde este un întreg și fiecare este un întreg pozitiv cunoscut sub numele de coeficient binomial . (Când un exponent este zero, expresia de putere corespunzătoare este considerată a fi 1 și acest factor multiplicator este adesea omis din termen. Prin urmare, se vede adesea partea dreaptă scrisă ca. ) Această formulă este denumită și formula binomială sau identitatea binomială . Folosind notația însumării , se poate scrie ca ${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$${\ displaystyle {\ binom {n} {0}} x ^ {n} + \ ldots}$

${\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {nk} y ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {k} y ^ {nk}.}$

Expresia finală urmează din cea anterioară prin simetria lui x și y în prima expresie, iar prin comparație rezultă că succesiunea coeficienților binomiali din formulă este simetrică. O variantă simplă a formulei binomiale se obține prin înlocuirea lui 1 cu y , astfel încât să implice doar o singură variabilă . În această formă, formula citește

${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = {n \ alege 0} x ^ {0} + {n \ alege 1} x ^ {1} + {n \ alege 2} x ^ {2} + \ cdots + {n \ choose {n-1}} x ^ {n-1} + {n \ choose n} x ^ {n},}$

sau echivalent

${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {k}.}$

sau mai explicit

${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = 1 + nx + {\ frac {n (n-1)} {2!}} x ^ {2} + {\ frac {n (n-1) (n -2)} {3!}} X ^ {3} + \ cdots.}$

Exemple

Iată primele câteva cazuri ale teoremei binomiale:

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + y) ^ {0} & = 1, \\ [8pt] (x + y) ^ {1} & = x + y, \\ [8pt] (x + y) ^ {2} & = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}, \\ [8pt] (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3}, \\ [8pt] (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ { 2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, \\ [8pt] (x + y) ^ {5} & = x ^ {5} + 5x ^ {4} y + 10x ^ {3} y ^ {2} + 10x ^ {2} y ^ {3} + 5xy ^ {4} + y ^ {5}, \\ [8pt] (x + y) ^ {6} & = x ^ {6} + 6x ^ {5} y + 15x ^ {4} y ^ {2} + 20x ^ {3} y ^ {3} + 15x ^ {2} y ^ {4} + 6xy ^ {5} + y ^ {6 }, \\ [8pt] (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ { 3} + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2} y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}, \\ [8pt] (x + y) ^ {8 } & = x ^ {8} + 8x ^ {7} y ​​+ 28x ^ {6} y ^ {2} + 56x ^ {5} y ^ {3} + 70x ^ {4} y ^ {4} + 56x ^ {3} y ^ {5} + 28x ^ {2} y ^ {6} + 8xy ^ {7} + y ^ {8}. \ End {align}}}$

În general, pentru extinderea lui ( x + y ) ⁿ pe partea dreaptă în al n- lea rând (numerotat astfel încât rândul de sus să fie al 0-lea rând):

• exponenții lui x în termeni sunt n , n −1, ..., 2, 1, 0 (ultimul termen conține implicit x ⁰ = 1 );
• exponenții lui y în termeni sunt 0, 1, 2, ..., n −1, n (primul termen conține implicit y ⁰ = 1 );
• coeficienții formează al n- lea rând al triunghiului lui Pascal;
• înainte de a combina termeni asemănători, există 2 ⁿ termeni x ⁱ y ^j în expansiune (nu sunt afișați);
• după combinarea termenilor similari, există n + 1 termeni, iar coeficienții lor se ridică la 2 ⁿ .

Un exemplu care ilustrează ultimele două puncte:

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + y) ^ {3} & = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy & (2 ^ {3} \; \ mathrm {terms}) \ \ & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} + y ^ {3} & (3 + 1 \; \ mathrm {terms}) \ end {align}}}$

cu . ${\ displaystyle 1 + 3 + 3 + 1 = 2 ^ {3}}$

Un exemplu simplu cu o valoare pozitivă specifică a lui y :

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + 2) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} + 2 ^ {3} \ \ & = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8. \ end {align}}}$

Un exemplu simplu cu o valoare negativă specifică a lui y :

${\ displaystyle {\ begin {align} (x-2) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} (2) + 3x (2) ^ {2} -2 ^ {3} \ \ & = x ^ {3} -6x ^ {2} + 12x-8. \ end {align}}}$

Explicație geometrică

Pentru valorile pozitive ale lui a și b , teorema binomială cu n = 2 este faptul evident din punct de vedere geometric că un pătrat al laturii a + b poate fi tăiat într-un pătrat al laturii a , un pătrat al laturii b și două dreptunghiuri cu laturile a și b . Cu n = 3 , stările teorema că un cub de latură a + b poate fi tăiat într - un cub de latură a , un cub de latură b , trei a × a × b cutii dreptunghiulare și trei a x b x b cutii dreptunghiulare .

În calcul , această imagine oferă, de asemenea, o dovadă geometrică a derivatei dacă se stabilește și interpretând b ca o schimbare infinitesimală în a , atunci această imagine arată schimbarea infinitesimală a volumului unui hipercub n- dimensional , unde coeficientul termenului liniar (în ) este aria fețelor n , fiecare cu dimensiunea n - 1 : ${\ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1}:}$${\ displaystyle a = x}$${\ displaystyle b = \ Delta x,}$${\ displaystyle (x + \ Delta x) ^ {n},}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle nx ^ {n-1},}$

${\ displaystyle (x + \ Delta x) ^ {n} = x ^ {n} + nx ^ {n-1} \ Delta x + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2} (\ Delta x) ^ {2} + \ cdots.}$

Înlocuind acest lucru în definiția derivatului printr-un coeficient de diferență și luând limite înseamnă că termenii de ordin superior și mai mari devin neglijabili și rezultă formula interpretată ca ${\ displaystyle (\ Delta x) ^ {2}}$${\ displaystyle (x ^ {n}) '= nx ^ {n-1},}$

"rata infinitezimală de modificare a volumului unui n -cub pe măsură ce lungimea laturii variază este aria n a fețelor sale ( n - 1) -dimensionale".

Dacă se integrează această imagine, care corespunde aplicării teoremei fundamentale a calculului , se obține formula de cvadratură a lui Cavalieri , integral - a se vedea dovada formulei de cvadratură a lui Cavalieri pentru detalii. ${\ displaystyle \ textstyle {\ int x ^ {n-1} \, dx = {\ tfrac {1} {n}} x ^ {n}}}$

Coeficienți binomiali

Coeficienții care apar în expansiunea binomială se numesc coeficienți binomiali . Acestea sunt de obicei scrise și pronunțate „ n alege k ”. ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}},}$

Formule

Coeficientul lui x ^{n - k} y ^k este dat de formula

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {k! \; (nk)!}},}$

care este definit în termenii funcției factoriale n ! . În mod echivalent, această formulă poate fi scrisă

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n (n-1) \ cdots (n-k + 1)} {k (k-1) \ cdots 1}} = \ prod _ {\ ell = 1} ^ {k} {\ frac {n- \ ell +1} {\ ell}} = \ prod _ {\ ell = 0} ^ {k-1} {\ frac {n- \ ell } {k- \ ell}}}$

cu k factori atât în ​​numărătorul, cât și în numitorul fracției . Deși această formulă implică o fracție, coeficientul binomial este de fapt un număr întreg . ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

Interpretare combinatorie

Coeficientul binomial poate fi interpretat ca numărul de moduri de a alege k elemente dintr-un set de elemente n . Acest lucru este legat de binomii din următorul motiv: dacă scriem ( x + y ) ⁿ ca produs${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

${\ displaystyle (x + y) (x + y) (x + y) \ cdots (x + y),}$

apoi, conform legii distributive , va exista un termen în extindere pentru fiecare alegere de x sau y din fiecare dintre binomii produsului. De exemplu, va exista doar un termen x ⁿ , corespunzător alegerii x din fiecare binom. Cu toate acestea, vor exista mai mulți termeni ai formei x ^{n −2} y ² , unul pentru fiecare mod de a alege exact doi binomi pentru a contribui cu un y . Prin urmare, după combinarea unor termeni similari , coeficientul lui x ^{n −2} y ² va fi egal cu numărul de moduri de a alege exact 2 elemente dintr-un set de elemente n .

Dovezi

Dovadă combinatorie

Exemplu

Coeficientul xy ² in

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + y) ^ {3} & = (x + y) (x + y) (x + y) \\ & = xxx + xxy + xyx + {\ underline {xyy} } + yxx + {\ underline {yxy}} + {\ underline {yyx}} + yyy \\ & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + {\ underline {3xy ^ {2}}} + y ^ {3} \ end {align}}}$

este egal deoarece există trei șiruri x , y de lungime 3 cu exact două y , și anume, ${\ displaystyle {\ tbinom {3} {2}} = 3}$

${\ displaystyle xyy, \; yxy, \; yyx,}$

corespunzător celor trei subseturi cu 2 elemente ale lui {1, 2, 3} , și anume,

${\ displaystyle \ {2,3 \}, \; \ {1,3 \}, \; \ {1,2 \},}$

unde fiecare subset specifică pozițiile y într-un șir corespunzător.

Caz general

Extinderea ( x + y ) ⁿ produce suma celor 2 ⁿ produse de forma e ₁ e ₂ ... e _n unde fiecare e _i este x sau  y . Factorii de rearanjare arată că fiecare produs este egal cu x ^{n - k} y ^k pentru unii k între 0 și  n . Pentru un k dat , următoarele se dovedesc egale în succesiune:

• numărul de copii ale x ^{n - k} y ^k din expansiune
• numărul de n -caractere x , y șiruri având y în exact k poziții
• numărul de subseturi k -element de {1, 2, ..., n }
• ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}},}$fie prin definiție, fie printr-un argument combinatoriu scurt dacă se definește ca${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {n!} {k! (nk)!}}.}$

Aceasta dovedește teorema binomului.

Dovadă inductivă

Inducția produce o altă dovadă a teoremei binomiale. Când n = 0 , ambele părți sunt egale cu 1 , deoarece x ⁰ = 1 și acum să presupunem că egalitatea este valabilă pentru un n dat ; o vom dovedi pentru n + 1 . Pentru j , k ≥ 0 , să fie [ f ( x , y )] _{j , k} denotă coeficientul lui x ^j y ^k în polinomul f ( x , y ) . Prin ipoteza inductivă, ( x + y ) ⁿ este un polinom în x și y astfel încât [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} este dacă j + k = n , și 0 în caz contrar. Identitatea ${\ displaystyle {\ tbinom {0} {0}} = 1.}$${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

${\ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = x (x + y) ^ {n} + y (x + y) ^ {n}}$

arată că ( x + y ) ^{n +1} este, de asemenea, un polinom în x și y , și

${\ displaystyle [(x + y) ^ {n + 1}] _ {j, k} = [(x + y) ^ {n}] _ {j-1, k} + [(x + y) ^ {n}] _ {j, k-1},}$

deoarece dacă j + k = n + 1 , atunci ( j - 1) + k = n și j + ( k - 1) = n . Acum, partea dreaptă este

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} + {\ binom {n} {k-1}} = {\ binom {n + 1} {k}},}$

după identitatea lui Pascal . Pe de altă parte, dacă j + k ≠ n + 1 , atunci ( j - 1) + k ≠ n și j + ( k - 1) ≠ n , deci obținem 0 + 0 = 0 . Prin urmare

${\ displaystyle (x + y) ^ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} {\ binom {n + 1} {k}} x ^ {n + 1-k} y ^ {k},}$

care este ipoteza inductivă cu n + 1 substituită cu n și astfel completează pasul inductiv.

Generalizări

Teorema binomului generalizat al lui Newton

În jurul anului 1665, Isaac Newton a generalizat teorema binomială pentru a permite exponenți reali, alții decât numere întregi nenegative. (Aceeași generalizare se aplică și exponenților complexi .) În această generalizare, suma finită este înlocuită cu o serie infinită . Pentru a face acest lucru, trebuie să dăm sens coeficienților binomiali cu un indice superior arbitrar, care nu se poate face folosind formula obișnuită cu factoriali. Cu toate acestea, pentru un număr arbitrar r , se poate defini

${\ displaystyle {r \ choose k} = {\ frac {r (r-1) \ cdots (r-k + 1)} {k!}} = {\ frac {(r) _ {k}} {k !}},}$

unde este simbolul Pochhammer , aici reprezentând un factor factor care se încadrează . Acest lucru este de acord cu definițiile obișnuite atunci când r este un număr întreg negativ. Atunci, dacă x și y sunt numere reale cu | x | > | y | , și r este orice număr complex, unul are ${\ displaystyle (\ cdot) _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + y) ^ {r} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {r \ choose k} x ^ {rk} y ^ {k} \ \ & = x ^ {r} + rx ^ {r-1} y + {\ frac {r (r-1)} {2!}} x ^ {r-2} y ^ {2} + {\ frac { r (r-1) (r-2)} {3!}} x ^ {r-3} y ^ {3} + \ cdots. \ end {align}}}$

Când r este un număr întreg negativ, coeficienții binomiali pentru k > r sunt zero, deci această ecuație se reduce la teorema binomială obișnuită și există cel mult r + 1 termeni nenulați. Pentru alte valori ale lui r , seria are de obicei infinit de mulți termeni diferiți de zero.

De exemplu, r = 1/2 oferă următoarea serie pentru rădăcina pătrată:

${\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = 1 + {\ frac {1} {2}} x - {\ frac {1} {8}} x ^ {2} + {\ frac {1} { 16}} x ^ {3} - {\ frac {5} {128}} x ^ {4} + {\ frac {7} {256}} x ^ {5} - \ cdots}$

Luând r = −1 , seria binomială generalizată dă formula seriei geometrice , valabilă pentru | x | <1 :

${\ displaystyle (1 + x) ^ {- 1} = {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + x ^ {4} -x ^ {5} + \ cdots}$

Mai general, cu s = - r :

${\ displaystyle {\ frac {1} {(1-x) ^ {s}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {s + k-1 \ alege k} x ^ {k} .}$

Deci, de exemplu, când s = 1/2 ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x}}} = 1 - {\ frac {1} {2}} x + {\ frac {3} {8}} x ^ {2} - { \ frac {5} {16}} x ^ {3} + {\ frac {35} {128}} x ^ {4} - {\ frac {63} {256}} x ^ {5} + \ cdots}$

Generalizări ulterioare

Teorema binomului generalizat poate fi extinsă la cazul în care x și y sunt numere complexe. Pentru această versiune, ar trebui să presupunem din nou | x | > | y | și definiți puterile lui x + y și x folosind o ramură holomorfă a jurnalului definită pe un disc deschis de rază | x | centrat la x . Teorema binomului generalizat este valabilă și pentru elementele x și y ale unei algebre Banach atâta timp cât xy = yx , iar x este inversabil și || y / x || <1 .

O versiune a teoremei binomului este valabilă pentru următorul simbol Pochhammer - ca o familie de polinoame: pentru o constantă dată dată c , definiți și ${\ displaystyle x ^ {(0)} = 1}$

${\ displaystyle x ^ {(n)} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} [x + (k-1) c]}$

pentru Atunci ${\ displaystyle n> 0.}$

${\ displaystyle (a + b) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} a ^ {(nk)} b ^ {(k) }.}$

Cazul c = 0 recuperează teorema binomială obișnuită.

Mai general, o secvență de polinoame se spune că este binomială dacă ${\ displaystyle \ {p_ {n} \} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$

• ${\ displaystyle \ deg p_ {n} = n}$pentru toti ,${\ displaystyle n}$
• ${\ displaystyle p_ {0} (0) = 1}$, și
• ${\ displaystyle p_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} p_ {k} (x) p_ {nk} (y)}$pentru toți , și .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$

Se spune că un operator pe spațiul polinoamelor este operatorul de bază al secvenței dacă și pentru toate . O secvență este binomială dacă și numai dacă operatorul său de bază este un operator Delta . Scriind pentru schimbarea de către operator, operatorii Delta care corespund familiilor de polinoame "Pochhammer" de mai sus sunt diferența inversă pentru , derivata obișnuită pentru și diferența directă pentru . ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ {p_ {n} \} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle Qp_ {0} = 0}$${\ displaystyle Qp_ {n} = np_ {n-1}}$${\ displaystyle n \ geqslant 1}$${\ displaystyle \ {p_ {n} \} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle E ^ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle IE ^ {- c}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle E ^ {- c} -I}$${\ displaystyle c <0}$

Teorema multinomială

Teorema binomului poate fi generalizată pentru a include puteri de sume cu mai mult de doi termeni. Versiunea generală este

${\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {m}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n } {\ binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdots x_ {m} ^ {k_ {m}},}$

în care suma este preluată de toate secvențele de indici întregi negativi k ₁ până la k _m astfel încât suma tuturor k _{i să} fie  n . (Pentru fiecare termen din expansiune, exponenții trebuie să adauge până la  n ). Coeficienții sunt cunoscuți sub numele de coeficienți multinomiali și pot fi calculați prin formulă ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k_ {1}, \ cdots, k_ {m}}}}$

${\ displaystyle {\ binom {n} {k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}}} = {\ frac {n!} {k_ {1}! \ cdot k_ {2}! \ cdots k_ {m}!}}.}$

Combinativ, coeficientul multinomial contează numărul de moduri diferite de a partiționa un n -element setat în subseturi disjuncte de dimensiuni k ₁ , ..., k _m . ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k_ {1}, \ cdots, k_ {m}}}}$

Teorema multi-binomială

Când lucrați în mai multe dimensiuni, este adesea util să vă ocupați de produsele expresiilor binomiale. Prin teorema binomului aceasta este egală cu

${\ displaystyle (x_ {1} + y_ {1}) ^ {n_ {1}} \ dotsm (x_ {d} + y_ {d}) ^ {n_ {d}} = \ sum _ {k_ {1} = 0} ^ {n_ {1}} \ dotsm \ sum _ {k_ {d} = 0} ^ {n_ {d}} {\ binom {n_ {1}} {k_ {1}}} x_ {1} ^ {k_ {1}} y_ {1} ^ {n_ {1} -k_ {1}} \ dotsc {\ binom {n_ {d}} {k_ {d}}} x_ {d} ^ {k_ {d }} y_ {d} ^ {n_ {d} -k_ {d}}.}$

Acest lucru poate fi scris mai concis, prin notație multi-index , ca

${\ displaystyle (x + y) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} x ^ {\ nu} y ^ {\ alpha - \ nu}.}$

Regula generală Leibniz

Regula generală a lui Leibniz dă a n- a derivată a unui produs cu două funcții într-o formă similară cu cea a teoremei binomiale:

${\ displaystyle (fg) ^ {(n)} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(nk)} (x) g ^ {(k)} (x).}$

Aici, indicativul ( n ) indică a n- a derivată a unei funcții. Dacă se setează f ( x ) = e ^ax și g ( x ) = e ^bx și apoi se anulează factorul comun al e ^{( a + b ) x} de pe ambele părți ale rezultatului, se recuperează teorema binomială obișnuită.

Aplicații

Identități cu unghi multiplu

Pentru numerele complexe , teorema binomului poate fi combinată cu formula lui Moivre pentru a produce formule cu unghi multiplu pentru sinus și cosinus . Conform formulei lui De Moivre,

${\ displaystyle \ cos \ left (nx \ right) + i \ sin \ left (nx \ right) = \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {n}.}$

Folosind teorema binomială, expresia din dreapta poate fi extinsă, iar apoi părțile reale și imaginare pot fi luate pentru a produce formule pentru cos ( nx ) și sin ( nx ) . De exemplu, din moment ce

${\ displaystyle \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {2} = \ cos ^ {2} x + 2i \ cos x \ sin x- \ sin ^ {2} x,}$

Formula lui De Moivre ne spune că

${\ displaystyle \ cos (2x) = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin (2x) = 2 \ cos x \ sin x,}$

care sunt identitățile obișnuite cu unghi dublu. În mod similar, din moment ce

${\ displaystyle \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {3} = \ cos ^ {3} x + 3i \ cos ^ {2} x \ sin x-3 \ cos x \ sin ^ { 2} xi \ sin ^ {3} x,}$

Formula lui De Moivre cedează

${\ displaystyle \ cos (3x) = \ cos ^ {3} x-3 \ cos x \ sin ^ {2} x \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin (3x) = 3 \ cos ^ { 2} x \ sin x- \ sin ^ {3} x.}$

În general,

${\ displaystyle \ cos (nx) = \ sum _ {k {\ text {even}}} (- 1) ^ {k / 2} {n \ alege k} \ cos ^ {nk} x \ sin ^ {k }X}$

și

${\ displaystyle \ sin (nx) = \ sum _ {k {\ text {odd}}} (- 1) ^ {(k-1) / 2} {n \ choose k} \ cos ^ {nk} x \ sin ^ {k} x.}$

Seria pentru e

Numărul e este adesea definit prin formula

${\ displaystyle e = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}.}$

Aplicând teorema binomului la această expresie se obține seria infinită obișnuită pentru e . În special:

${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = 1 + {n \ alege 1} {\ frac {1} {n}} + {n \ alege 2 } {\ frac {1} {n ^ {2}}} + {n \ choose 3} {\ frac {1} {n ^ {3}}} + \ cdots + {n \ choose n} {\ frac { 1} {n ^ {n}}}.}$

Al k- lea termen al acestei sume este

${\ displaystyle {n \ choose k} {\ frac {1} {n ^ {k}}} = {\ frac {1} {k!}} \ cdot {\ frac {n (n-1) (n- 2) \ cdots (n-k + 1)} {n ^ {k}}}}$

Ca n → ∞ , expresia rațională din dreapta se apropie de 1 și, prin urmare,

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {n \ choose k} {\ frac {1} {n ^ {k}}} = {\ frac {1} {k!}}.}$

Acest lucru indică faptul că e poate fi scris ca o serie:

${\ displaystyle e = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} = {\ frac {1} {0!}} + {\ frac {1} {1 !}} + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + \ cdots.}$

Într-adevăr, deoarece fiecare termen al expansiunii binomiale este o funcție crescândă a lui n , rezultă din teorema convergenței monotone pentru serii că suma acestei serii infinite este egală cu  e .

Probabilitate

Teorema binomului este strâns legată de funcția de masă a probabilității distribuției binomiale negative . Probabilitatea unei (colecționabile) colecții de studii Bernoulli independente cu probabilitatea de a nu reuși toate este ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ în S}}$${\ displaystyle p \ in [0,1]}$

${\ displaystyle P \ left (\ bigcap _ {t \ in S} X_ {t} ^ {C} \ right) = (1-p) ^ {| S |} = \ sum _ {n = 0} ^ { | S |} {| S | \ alegeți n} (- p) ^ {n}.}$

O limită superioară utilă pentru această cantitate este ${\ displaystyle e ^ {- p | S |}.}$

În algebra abstractă

Teorema binomului este valabilă mai general pentru două elemente x și y într-un inel , sau chiar o semire , cu condiția ca xy = yx . De exemplu, este valabil pentru două n × n matrici, cu condiția ca acele matrice să facă naveta; acest lucru este util în puterile de calcul ale unei matrice.

Teorema binomului poate fi afirmată spunând că secvența polinomială {1, x , x ² , x ³ , ...} este de tip binomial .

În cultura populară

• Teorema binomului este menționată în Cântecul generalului-maior în opera comică Pirații din Penzance .
• Profesorul Moriarty este descris de Sherlock Holmes ca fiind cel care a scris un tratat despre teorema binomului .
• Poetul portughez Fernando Pessoa , folosind heteronimul Álvaro de Campos , a scris că "Binomul lui Newton este la fel de frumos ca Venus de Milo . Adevărul este că puțini oameni observă acest lucru".
• În filmul din 2014 The Imitation Game , Alan Turing face referire la munca lui Isaac Newton asupra teoremei binomului în timpul primei sale întâlniri cu comandantul Denniston la Bletchley Park.

Vezi si

• Aproximare binomială
• Distribuție binomială
• Teorema inversă binomială
• Aproximarea lui Stirling
• Teorema Tannery

Note

Referințe

Lecturi suplimentare

• Bag, Amulya Kumar (1966). „Teorema binomului în India antică”. Indian J. History Sci . 1 (1): 68-74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). „(5) Coeficienți binomiali”. Matematică concretă (ediția a II-a). Addison Wesley. pp.  153 –256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC  17649857 .

linkuri externe

• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Newton binomial” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
• Teorema binomială de Stephen Wolfram și „Teorema binomială (pas cu pas)” de Bruce Colletti și Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.

Acest articol încorporează materiale din dovada inductivă a teoremei binomiale pe PlanetMath , care este licențiată sub licența Creative Commons Attribution / Share-Alike License .