Convergență condiționată - Conditional convergence

În matematică , se spune că o serie sau o integrală este convergentă condițional dacă converge, dar nu converge absolut .

Definiție

Mai precis, se spune că o serie de numere reale converge condiționat dacă există (ca număr real finit, adică nu sau ), dar${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ textstyle \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} \, \ sum _ {n = 0} ^ {m} a_ {n}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = \ infty.}$

Un exemplu clasic este seria armonică alternativă dată de

care converge la , dar nu este absolut convergent (vezi seria Harmonic ). ${\ displaystyle \ ln (2)}$

Bernhard Riemann a demonstrat că o serie convergentă condiționată poate fi rearanjată pentru a converge la orice valoare, inclusiv ∞ sau ∞; vezi teorema seriei Riemann . Lévy-Steinitz teorema identifică setul de valori la care o serie de termeni în R ⁿ poate să conveargă.

O integrală tipic convergentă condițională este cea pe axa reală non-negativă a (a se vedea

integrala Fresnel ). ${\ textstyle \ sin (x ^ {2})}$

Vezi si

• Convergență absolută
• Convergență necondiționată

Referințe

• Walter Rudin, Principiile analizei matematice (McGraw-Hill: New York, 1964).