Curba contractului - Contract curve

Curba albastră a punctelor eficiente Pareto, la punctele de tangență ale curbelor de indiferență într-o casetă Edgeworth . Dacă alocările inițiale ale celor două bunuri se află într-un punct care nu se află pe acest locus, atunci cele două persoane pot tranzacționa într-un punct de pe locusul eficient din lentila formată de curbele de indiferență pe care erau inițial. Setul tuturor acestor puncte eficiente care ar putea fi tranzacționate este curba contractului.
În graficul de mai jos, dotările inițiale ale celor două persoane sunt la punctul X, pe curba de indiferență K _{1 a} lui Kel și curba de indiferență a lui Jane J ₁ . De acolo, ei ar putea fi de acord cu un comerț reciproc avantajos către oriunde în lentila formată de aceste curbe de indiferență. Dar singurele puncte din care nu există schimburi reciproc avantajoase sunt punctele de tangență dintre curbele de indiferență ale celor doi oameni, cum ar fi punctul E. Curba de contract este setul acestor tangențe ale curbei de indiferență în cadrul lentilei - este o curbă care înclină în sus spre dreapta și trece prin punctul E.

În microeconomie , curba contractului este setul de puncte care reprezintă alocările finale a două bunuri între două persoane, care ar putea apărea ca urmare a tranzacționării reciproc avantajoase între acele persoane, având în vedere alocările lor inițiale ale bunurilor. Toate punctele de pe acest locus sunt alocări eficiente Pareto , ceea ce înseamnă că, din oricare dintre aceste puncte, nu există nicio realocare care ar putea face una dintre persoane mai mulțumită de alocarea sa fără a face cealaltă persoană mai puțin mulțumită. Curba contractului este subsetul punctelor eficiente Pareto care ar putea fi atinse prin tranzacționare de la deținerile inițiale ale celor două bunuri. Este desenată în diagrama casetei Edgeworth prezentată aici, în care alocarea fiecărei persoane este măsurată pe verticală pentru un bun și orizontal pentru celălalt bun din originea acelei persoane (punctul de alocare zero a ambelor bunuri); originea unei persoane este colțul din stânga jos al casetei Edgeworth, iar originea celeilalte persoane este colțul din dreapta sus al casetei. Dotările inițiale ale oamenilor (alocările inițiale ale celor două bunuri) sunt reprezentate de un punct din diagramă; cele două persoane vor tranzacționa bunuri între ele până când nu vor mai fi posibile tranzacții reciproc avantajoase. Setul de puncte la care este posibil conceptual să se oprească la acestea sunt punctele de pe curba contractului.

Cu toate acestea, majoritatea autorilor identifică curba contractului ca întregul locus Pareto eficient de la o origine la alta.

Orice echilibru Walrasian se află pe curba contractului. Ca și în cazul tuturor punctelor care sunt eficiente cu Pareto , fiecare punct de pe curba contractului este un punct de tangență între o curbă de indiferență a unei persoane și o curbă de indiferență a celeilalte persoane. Astfel, pe curba contractului rata marginală de substituție este aceeași pentru ambele persoane.

Exemplu

Să presupunem existența unei economii cu doi agenți, Octavio și Abby, care consumă două bunuri X și Y din care există provizii fixe, așa cum este ilustrat în diagrama de mai sus a casetei Edgeworth. Mai mult, presupuneți o distribuție inițială (dotare) a bunurilor între Octavio și Abby și lăsați fiecare să aibă preferințe structurate (convexe) în mod normal reprezentate de curbe de indiferență care sunt convexe spre originile respective ale oamenilor. Dacă alocarea inițială nu se află într-un punct de tangență între o curbă de indiferență a lui Octavio și una din Abby, atunci acea alocare inițială trebuie să fie într-un punct în care o curbă de indiferență a lui Octavio traversează una dintre Abby. Aceste două curbe de indiferență formează o formă de lentilă, cu alocarea inițială la unul dintre cele două colțuri ale lentilei. Octavio și Abby vor alege să facă tranzacții reciproc avantajoase - adică vor tranzacționa într-un punct care se află pe o curbă de indiferență mai bună (mai departe de origine) pentru ambele. Un astfel de punct va fi în interiorul lentilei, iar rata la care un bun va fi schimbat cu celălalt va fi între rata marginală de înlocuire a lui Octavio și cea a lui Abby. Deoarece tranzacțiile vor oferi întotdeauna fiecărei persoane mai mult de un bun și mai puțin de celălalt, tranzacționarea are ca rezultat deplasarea în sus și în stânga, sau în jos și în dreapta, în diagramă.

Cele două persoane vor continua să tranzacționeze atâta timp cât rata marginală de substituție a fiecăruia (valoarea absolută a pantei curbei de indiferență a persoanei în acel moment) diferă de cea a celeilalte persoane la alocarea curentă (caz în care va exista un raport de tranzacționare reciproc acceptabil al unui bun pentru celălalt, între diferitele rate marginale de substituție). Într-un moment în care rata marginală de substituție a lui Octavio este egală cu rata marginală de substituție a lui Abby, nu mai este posibil un schimb reciproc benefic. Acest punct se numește echilibru eficient Pareto . În caseta Edgeworth, este un punct în care curba de indiferență a lui Octavio este tangentă curbei de indiferență a lui Abby și se află în interiorul lentilei formate de alocările lor inițiale.

Astfel, curba contractului, setul de puncte pe care Octavio și Abby ar putea ajunge, este secțiunea locusului eficient Pareto care se află în interiorul lentilei formată de alocările inițiale. Analiza nu poate spune în ce punct particular de-a lungul curbei contractuale vor ajunge - acest lucru depinde de abilitățile de negociere ale celor două persoane.

Explicație matematică

În cazul a două bunuri și a două persoane, curba contractului poate fi găsită după cum urmează. Aici se referă la suma finală a bunului 2 alocat persoanei 1 etc., și se referă la nivelurile finale de utilitate experimentate de persoana 1 și respectiv persoana 2, se referă la nivelul de utilitate pe care persoana 2 l-ar primi din alocarea inițială fără tranzacționarea la toate, și și se referă la cantitățile totale fixe disponibile pentru bunurile 1 și respectiv 2. ${\ displaystyle x_ {2} ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {2}}$${\ displaystyle u_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {tot}}$${\ displaystyle \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1})}$

supus:

${\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ leq \ omega _ {1} ^ {tot}}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}$

Această problemă de optimizare afirmă că bunurile urmează să fie repartizate între cele două persoane astfel încât să nu fie alocată mai mult decât cantitatea disponibilă din fiecare bun celor două persoane combinate, iar utilitatea primei persoane să fie cât mai mare posibil în timp ce a face ca utilitatea celei de-a doua persoane să nu fie mai mică decât la alocarea inițială (deci a doua persoană nu ar refuza să tranzacționeze de la alocarea inițială până la punctul găsit); această formulare a problemei găsește un punct Pareto eficient pe obiectiv, cât mai departe posibil de originea persoanei 1. Acesta este punctul care ar fi atins dacă persoana 1 ar avea toată puterea de negociere. (De fapt, pentru a crea cel puțin un stimulent ușor pentru persoana 2 să accepte să tranzacționeze la punctul identificat, punctul ar trebui să fie ușor în interiorul obiectivului.)

Pentru a urmări întreaga curbă a contractului, problema de optimizare de mai sus poate fi modificată după cum urmează. Maximizați o medie ponderată a utilităților persoanelor 1 și 2, cu greutățile b și 1 - b , sub rezerva constrângerilor că alocările fiecărui bun nu depășesc oferta sa și sub rezerva constrângerilor că utilitățile ambelor persoane sunt cel puțin la fel de mari ca utilitățile lor la dotările inițiale:

${\ displaystyle \ max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} b \ cdot u ^ {1 } (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) + (1-b) \ cdot u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2 })}$

supus:

${\ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} \ leq \ omega _ {1} ^ {tot}}$

${\ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} \ leq \ omega _ {2} ^ {tot}}$

${\ displaystyle u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) \ geq u_ {0} ^ {1}}$

${\ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) \ geq u_ {0} ^ {2}}$

unde este utilitatea pe care o va experimenta persoana 1 în absența tranzacționării în afara dotării inițiale. Prin variația parametrului de ponderare b , se poate urmări întreaga curbă contractuală: Dacă b = 1 problema este aceeași cu problema anterioară și identifică un punct eficient la o margine a obiectivului format de curbele de indiferență ale inițialei dotare; dacă b = 0 toată greutatea este pe utilitatea persoanei 2 în loc de persoana 1, deci optimizarea identifică punctul eficient de pe cealaltă margine a obiectivului. Deoarece b variază ușor între aceste două extreme, toate punctele intermediare de pe curba contractului sunt trasate. ${\ displaystyle u ^ {1}}$

Rețineți că optimizările de mai sus nu sunt cele în care cele două persoane s-ar implica efectiv, fie explicit, fie implicit. În schimb, aceste optimizări sunt pur și simplu o modalitate pentru economist de a identifica punctele de pe curba contractului.

Vezi si

• Economia bunăstării
• Lista subiectelor economice

Referințe

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . New York: Oxford University Press. ISBN   0-19-510268-1