Sistem de cristal - Crystal system

Structura cristalină diamantată aparține rețelei cubice centrate pe față , cu un model repetat cu doi atomi.

În cristalografie , termenii sistem de cristal , familie de cristale și sistem de rețea se referă fiecare la una din mai multe clase de grupuri spațiale , rețele , grupuri de puncte sau cristale . În mod informal, două cristale se află în același sistem de cristale dacă au simetrii similare, deși există multe excepții de la acest lucru.

Sistemele de cristal, familiile de cristale și sistemele de rețea sunt similare, dar ușor diferite, și există o confuzie larg răspândită între ele: în special, sistemul de cristal trigonal este adesea confundat cu sistemul de rețea romboedru , iar termenul „sistem de cristal” este uneori folosit pentru a însemna „sistem de rețea” sau „familie de cristale”.

Grupurile spațiale și cristalele sunt împărțite în șapte sisteme de cristale în funcție de grupurile lor de puncte și în șapte sisteme de rețea conform rețelelor lor Bravais . Cinci dintre sistemele de cristale sunt în esență aceleași cu cinci dintre sistemele de rețea, dar sistemele de cristal hexagonale și trigonale diferă de sistemele de rețea hexagonale și romboedrice. Cele șase familii de cristale sunt formate prin combinarea sistemelor de cristale hexagonale și trigonale într-o singură familie hexagonală , pentru a elimina această confuzie.

Prezentare generală

Cristal hexagonal de hanksit , cu simetrie triplă c- axă

Un sistem de rețea este o clasă de rețele cu același set de grupuri de puncte de rețea , care sunt subgrupuri ale claselor de cristale aritmetice . Cele 14 rețele Bravais sunt grupate în șapte sisteme de rețele: triclinic, monoclinic, ortorombic, tetragonal, romboedru, hexagonal și cubic.

Într-un sistem de cristal , un set de grupuri de puncte și grupurile lor spațiale corespunzătoare sunt atribuite unui sistem de rețea. Din cele 32 de grupuri de puncte care există în trei dimensiuni, majoritatea sunt atribuite unui singur sistem de rețea, caz în care atât sistemele de cristal cât și cele de rețea au același nume. Cu toate acestea, cinci grupuri de puncte sunt atribuite a două sisteme de rețea, romboedrice și hexagonale, deoarece ambele prezintă simetrie de rotație triplă. Aceste grupuri de puncte sunt atribuite sistemului de cristal trigonal. În total există șapte sisteme de cristale: triclinic, monoclinic, ortorombic, tetragonal, trigonal, hexagonal și cubic.

O familie de cristale este determinată de rețele și grupuri de puncte. Se formează prin combinarea sistemelor de cristal care au grupuri spațiale alocate unui sistem de rețea comun. În trei dimensiuni, familiile și sistemele de cristale sunt identice, cu excepția sistemelor de cristale hexagonale și trigonale, care sunt combinate într-o singură familie de cristale hexagonale. În total, există șase familii de cristale: triclinic, monoclinic, ortorombic, tetragonal, hexagonal și cubic.

Spațiile cu mai puțin de trei dimensiuni au același număr de sisteme de cristale, familii de cristale și sisteme de rețea. În spațiul unidimensional, există un singur sistem de cristal. În spațiul 2D, există patru sisteme de cristal: oblic, dreptunghiular, pătrat și hexagonal.

Relația dintre familiile de cristale tridimensionale, sistemele de cristal și sistemele de rețea este prezentată în următorul tabel:

Familia de cristal Sistem de cristal Simetriile necesare ale grupului de puncte Grupuri de puncte Grupuri spațiale Grile Bravais Sistem cu zăbrele
Triclinic Triclinic Nici unul 2 2 1 Triclinic
Monoclinic Monoclinic 1 axă de rotație dublă sau 1 plan oglindă 3 13 2 Monoclinic
Orthorhombic Orthorhombic 3 axe de rotație duble sau 1 axă de rotație dublă și 2 planuri oglindă 3 59 4 Orthorhombic
Tetragonal Tetragonal 1 ax de rotație de patru ori 7 68 2 Tetragonal
Hexagonal Trigonal 1 ax de rotație triplu 5 7 1 Romboedric
18 1 Hexagonal
Hexagonal 1 ax de rotație de șase ori 7 27
Cub Cub 4 axe de rotație triple 5 36 3 Cub
6 7 Total 32 230 14 7
Notă: nu există un sistem de rețea "trigonal". Pentru a evita confuzia terminologică, termenul „rețea trigonală” nu este folosit.

Cursuri de cristal

Cele 7 sisteme de cristale sunt formate din 32 de clase de cristale (corespunzătoare celor 32 de grupuri de puncte cristalografice), după cum se arată în tabelul următor:

Familia de cristal Sistem de cristal Grup de puncte / clasa Crystal Schönflies Hermann – Mauguin Orbifold Coxeter Simetrie punctuală Ordin Grup abstract
triclinic pedial C 1 1 11 [] + polar enantiomorf 1 banal
pinacoidal C i (S 2 ) 1 1x [2,1 + ] centrosimetrice 2 ciclic
monoclinic sfenoidale C 2 2 22 [2,2] + polar enantiomorf 2 ciclic
domatic C s (C 1h ) m * 11 [] polar 2 ciclic
prismatic C 2h 2 / m 2 * [2,2 + ] centrosimetrice 4 Klein patru
ortorombic rombic-disfenoidal D 2 (V) 222 222 [2,2] + enantiomorf 4 Klein patru
rombic- piramidal C 2v mm2 * 22 [2] polar 4 Klein patru
rombic- dipiramidal D 2h (V h ) mmm * 222 [2,2] centrosimetrice 8
tetragonal tetragonal-piramidal C 4 4 44 [4] + polar enantiomorf 4 ciclic
tetragonal-disfenoidal S 4 4 2x [2 + , 2] non-centrosimetrice 4 ciclic
tetragonal-dipiramidal C 4h 4 / m 4 * [2,4 + ] centrosimetrice 8
tetragonal-trapezoedric D 4 422 422 [2,4] + enantiomorf 8 diedru
ditetragonal-piramidal C 4v 4mm * 44 [4] polar 8 diedru
tetragonal-scalenoedric D 2d (V d ) 4 2m sau 4 m2 2 * 2 [2 + , 4] non-centrosimetrice 8 diedru
ditetragonal-dipiramidal D 4h 4 / mmm * 422 [2,4] centrosimetrice 16
hexagonal trigonal trigonal-piramidal C 3 3 33 [3] + polar enantiomorf 3 ciclic
romboedric C 3i (S 6 ) 3 3x [2 + , 3 + ] centrosimetrice 6 ciclic
trigonal-trapezoedric D 3 32 sau 321 sau 312 322 [3,2] + enantiomorf 6 diedru
ditrigonal-piramidal C 3v 3m sau 3m1 sau 31m * 33 [3] polar 6 diedru
ditrigonal-scalenoedric D 3d 3 m sau 3 m1 sau 3 1m 2 * 3 [2 + , 6] centrosimetrice 12 diedru
hexagonal hexagonal-piramidal C 6 6 66 [6] + polar enantiomorf 6 ciclic
trigonal-dipiramidal C 3h 6 3 * [2,3 + ] non-centrosimetrice 6 ciclic
hexagonal-dipiramidal C 6h 6 / m 6 * [2,6 + ] centrosimetrice 12
hexagonal-trapezoedric D 6 622 622 [2,6] + enantiomorf 12 diedru
dihexagonal-piramidal C 6v 6mm * 66 [6] polar 12 diedru
ditrigonal-dipiramidal D 3h 6 m2 sau 6 2m * 322 [2,3] non-centrosimetrice 12 diedru
dihexagonal-dipiramidal D 6h 6 / mmm * 622 [2,6] centrosimetrice 24
cub tetartoidal T 23 332 [3,3] + enantiomorf 12 alternativ
diploidal T h m 3 3 * 2 [3 + , 4] centrosimetrice 24
gyroidal O 432 432 [4,3] + enantiomorf 24 simetric
hextetraedrică T d 4 3m * 332 [3,3] non-centrosimetrice 24 simetric
hexoctaedrică O h m 3 m * 432 [4,3] centrosimetrice 48

Simetria punctuală a unei structuri poate fi descrisă în continuare după cum urmează. Luați în considerare punctele care alcătuiesc structura și reflectați-le pe toate printr-un singur punct, astfel încât ( x , y , z ) să devină (- x , - y , - z ). Aceasta este „structura inversată”. Dacă structura originală și structura inversată sunt identice, atunci structura este centrosimetrică . În caz contrar este non-centrosimetric . Totuși, chiar și în cazul non-centrosimetric, structura inversată poate fi rotită în unele cazuri pentru a se alinia cu structura originală. Acesta este un non-centrosymmetric achirală structura. Dacă structura inversată nu poate fi rotită pentru a se alinia cu structura originală, atunci structura este chirală sau enantiomorfă, iar grupul său de simetrie este enantiomorf .

O direcție (adică o linie fără săgeată) se numește polară dacă simțurile sale bidirecționale sunt geometrice sau fizice diferite. O direcție de simetrie a unui cristal polar este numită axă polară . Grupurile care conțin o axă polară se numesc polare . Un cristal polar posedă o axă polară unică (mai exact, toate axele polare sunt paralele). Unele proprietăți geometrice sau fizice sunt diferite la cele două capete ale acestei axe: de exemplu, s-ar putea dezvolta o polarizare dielectrică ca și în cristalele piroelectrice . O axă polară poate apărea numai în structuri non-centrosimetrice. Nu poate exista un plan oglindă sau o axă dublă perpendiculară pe axa polară, deoarece acestea ar face ca cele două direcții ale axei să fie echivalente.

Structurile cristaline ale moleculelor biologice chirale (cum ar fi structurile proteice ) pot apărea numai în cele 65 de grupuri spațiale enantiomorfe (moleculele biologice sunt de obicei chirale ).

Grile Bravais

Există șapte tipuri diferite de sisteme de cristal și fiecare tip de sistem de cristal are patru tipuri diferite de centrări (primitive, centrate pe bază, centrate pe corp, centrate pe față). Cu toate acestea, nu toate combinațiile sunt unice; unele dintre combinații sunt echivalente, în timp ce alte combinații nu sunt posibile din motive de simetrie. Aceasta reduce numărul rețelelor unice la cele 14 rețele Bravais.

Distribuirea celor 14 rețele Bravais în sisteme de rețele și familii de cristale este dată în tabelul următor.

Familia de cristal Sistem cu zăbrele Grup de puncte
( notația Schönflies )
14 rețele Bravais
Primitiv (P) Centrat pe bază (S) Centrat pe corp (I) Centrat pe față (F)
Triclinic (a) C i Triclinic

aP

Monoclinic (m) C 2h Monoclinic, simplu

mP

Monoclinic, centrat

Domnișoară

Orthorhombic (o) D 2h Ortorombic, simplu

oP

Orthorhombic, bazat pe centru

oS

Orthorhombic, centrat pe corp

oI

Orthorhombic, centrat pe față

de

Tetragonal (t) D 4h Tetragonal, simplu

tP

Tetragonal, centrat pe corp

tI

Hexagonal (h) Romboedric D 3d Romboedric

HR

Hexagonal D 6h Hexagonal

hP

Cubic (c) O h Cubic, simplu

cP

Cubic, centrat pe corp

cI

Cubic, centrat pe față

cF

În geometrie și cristalografie , o rețea Bravais este o categorie de grupuri de simetrie translativă (cunoscută și sub numele de rețele ) în trei direcții.

Astfel de grupuri de simetrie constau în traduceri prin vectori ai formei

R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ,

unde n 1 , n 2 și n 3 sunt numere întregi și a 1 , a 2 și a 3 sunt trei vectori necoplanari, numiți vectori primitivi .

Aceste rețele sunt clasificate după grupul spațial al rețelei în sine, privite ca o colecție de puncte; există 14 rețele Bravais în trei dimensiuni; fiecare aparține unui singur sistem de rețea. Ele reprezintă simetria maximă pe care o poate avea o structură cu simetria de translație dată.

Toate materialele cristaline (cu excepția cvasicristalelor ) trebuie, prin definiție, să se încadreze într-unul dintre aceste aranjamente.

Pentru comoditate, o rețea Bravais este descrisă de o celulă unitară care este un factor 1, 2, 3 sau 4 mai mare decât celula primitivă . În funcție de simetria unui cristal sau a unui alt model, domeniul fundamental este din nou mai mic, până la un factor 48.

Rețelele Bravais au fost studiate de Moritz Ludwig Frankenheim în 1842, care a constatat că există 15 rețele Bravais. Aceasta a fost corectată la 14 de A. Bravais în 1848.

În spațiul cu patru dimensiuni

‌Celula unitară cu patru dimensiuni este definită de patru lungimi de margine ( a , b , c , d ) și șase unghiuri interaxiale ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Următoarele condiții pentru parametrii de rețea definesc 23 de familii de cristale

Familii de cristale în spațiul 4D
Nu. Familie Lungimi de margine Unghiuri interaxiale
1 Hexaclinic abcd αβγδεζ ≠ 90 °
2 Triclinic abcd αβγ ≠ 90 °
δ = ε = ζ = 90 °
3 Diclinic abcd α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = 90 °
ζ ≠ 90 °
4 Monoclinic abcd α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
5 Ortogonal abcd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
6 Monoclinic tetragonal ab = cd α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
7 Monoclinic hexagonal ab = cd α ≠ 90 °
β = γ = δ = ε = 90 °
ζ = 120 °
8 Diclinic ditetragonal a = db = c α = ζ = 90 °
β = ε ≠ 90 °
γ ≠ 90 °
δ = 180 ° - γ
9 Ditrigonal (dihexagonal) diclinic a = db = c α = ζ = 120 °
β = ε ≠ 90 °
γδ ≠ 90 °
cos δ = cos β - cos γ
10 Tetragonal ortogonal ab = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
11 Ortogonale hexagonale ab = cd α = β = γ = δ = ε = 90 °, ζ = 120 °
12 Monoclinică ditetragonală a = db = c α = γ = δ = ζ = 90 °
β = ε ≠ 90 °
13 Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic a = db = c α = ζ = 120 °
β = ε ≠ 90 °
γ = δ ≠ 90 °
cos γ = - 1/2cos β
14 Ditetragonal ortogonal a = db = c α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
15 Tetragonal hexagonal a = db = c α = β = γ = δ = ε = 90 °
ζ = 120 °
16 Ortogonal dihexagonal a = db = c α = ζ = 120 °
β = γ = δ = ε = 90 °
17 Cub ortogonal a = b = cd α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °
18 Octogonal a = b = c = d α = γ = ζ ≠ 90 °
β = ε = 90 °
δ = 180 ° - α
19 Decagonal a = b = c = d α = γ = ζβ = δ = ε
cos β = -1/2- cos α
20 Dodecagonal a = b = c = d α = ζ = 90 °
β = ε = 120 °
γ = δ ≠ 90 °
21 Diisohexagonal ortogonal a = b = c = d α = ζ = 120 °
β = γ = δ = ε = 90 °
22 Icosagonal (icosaedru) a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ
cos α = -1/4
23 Hipercubic a = b = c = d α = β = γ = δ = ε = ζ = 90 °

Numele de aici sunt date conform lui Whittaker. Ele sunt aproape la fel ca în Brown și colab. , Cu excepția numelor familiilor de cristale 9, 13 și 22. Numele acestor trei familii conform lui Brown și colab sunt date în paranteză.

Relația dintre familiile de cristale cu patru dimensiuni, sistemele de cristal și sistemele de rețea este prezentată în tabelul următor. Sistemele enantiomorfe sunt marcate cu un asterisc. Numărul de perechi enantiomorfe este dat între paranteze. Aici termenul „enantiomorf” are o semnificație diferită decât în ​​tabel pentru clasele de cristale tridimensionale. Acesta din urmă înseamnă că grupurile de puncte enantiomorfe descriu structuri chirale (enantiomorfe). În tabelul actual, „enantiomorf” înseamnă că un grup în sine (considerat ca obiect geometric) este enantiomorf, ca perechile enantiomorfe ale grupurilor spațiale tridimensionale P3 1 și P3 2 , P4 1 22 și P4 3 22. Începând de la patru- spațiul dimensional, grupurile de puncte pot fi, de asemenea, enantiomorfe în acest sens.

Sisteme de cristal în spațiul 4D
Nr.
Familiei cristalelor
Familia de cristal Sistem de cristal Nr. De
sistem de cristal
Grupuri de puncte Grupuri spațiale Grile Bravais Sistem cu zăbrele
Eu Hexaclinic 1 2 2 1 Hexaclinic P
II Triclinic 2 3 13 2 Triclinic P, S
III Diclinic 3 2 12 3 Diclinic P, S, D
IV Monoclinic 4 4 207 6 Monoclinic P, S, S, I, D, F
V Ortogonal Non-axial ortogonal 5 2 2 1 KU ortogonal
112 8 Ortogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
Ortogonal axial 6 3 887
VI Monoclinic tetragonal 7 7 88 2 P monoclinic tetragonal, I
VII Monoclinic hexagonal Monoclinic trigonal 8 5 9 1 R monoclinic hexagonal
15 1 P monoclinic hexagonal
Monoclinic hexagonal 9 7 25
VIII Diclinic ditetragonal * 10 1 (+1) 1 (+1) 1 (+1) P diclinic dictragonal P *
IX Diclinic dicrigonal * 11 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) P diclinic dicigonal P *
X Tetragonal ortogonal Tetragonal invers ortogonal 12 5 7 1 KG ortogonal tetragonal
351 5 Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
Ortogonal tetragonal adecvat 13 10 1312
XI Ortogonale hexagonale Trigonal ortogonal 14 10 81 2 R ortogonal hexagonal, RS
150 2 P ortogonal hexagonal, S
Ortogonale hexagonale 15 12 240
XII Monoclinic Ditetragonal * 16 1 (+1) 6 (+6) 3 (+3) Monoclinic Ditetragonal P *, S *, D *
XIII Monoclinic Ditrigonal * 17 2 (+2) 5 (+5) 2 (+2) Monoclinic Ditrigonal P *, RR *
XIV Ditetragonal ortogonal Cripto-ditetragonal ortogonal 18 5 10 1 Ditetragonal ortogonal D
165 (+2) 2 P ortogonal Ditetragonal, Z
Ditetragonal ortogonal 19 6 127
XV Tetragonal hexagonal 20 22 108 1 P tetragonal hexagonal
XVI Ortogonal dihexagonal Cripto-ditrigonal ortogonal * 21 4 (+4) 5 (+5) 1 (+1) Dihexagonal ortogonal G *
5 (+5) 1 P ortogonal dihexagonal
Ortogonal dihexagonal 23 11 20
Ditrigonal ortogonal 22 11 41
16 1 RR ortogonal dihexagonal
XVII Cub ortogonal Ortogonal cubic simplu 24 5 9 1 KU ortogonal cubic
96 5 Cub ortogonal P, I, Z, F, U
Ortogonal cubic complex 25 11 366
XVIII Octogonal * 26 2 (+2) 3 (+3) 1 (+1) P octogonal *
XIX Decagonal 27 4 5 1 Decagonal P
XX Dodecagonal* 28 2 (+2) 2 (+2) 1 (+1) P dodecagonal *
XXI Diisohexagonal ortogonal Ortogonal diisohexagonal simplu 29 9 (+2) 19 (+5) 1 RR ortogonal diisohexagonal
19 (+3) 1 P ortogonal diisohexagonal
Ortogonal complex diisohexagonal 30 13 (+8) 15 (+9)
XXII Icosagonal 31 7 20 2 Icosagonal P, SN
XXIII Hipercubic Hipercubic octogonal 32 21 (+8) 73 (+15) 1 P hipercubic
107 (+28) 1 Z hipercubic
Hipercubic dodecagonal 33 16 (+12) 25 (+20)
Total 23 (+6) 33 (+7) 227 (+44) 4783 (+111) 64 (+10) 33 (+7)

Vezi si

Referințe

Lucrari citate

linkuri externe