Poligon echilateral - Equilateral polygon

În geometrie , un poligon echilateral este un poligon care are toate laturile de aceeași lungime. Cu excepția cazului triunghiului , nu trebuie să fie echiangular (nu trebuie să aibă toate unghiurile egale), dar dacă este, atunci este un poligon regulat . Dacă numărul laturilor este de cel puțin cinci, un poligon echilateral nu trebuie să fie un poligon convex : ar putea fi concav sau chiar auto-intersectat .

Exemple

Toți poligoanele regulate și poligoanele tranzitive de margine sunt echilaterale. Atunci când un poligon echilateral nu este încrucișat și ciclic (vârfurile sale sunt pe un cerc), acesta trebuie să fie regulat. Un patrulater echilateral trebuie să fie convex; acest poligon este un romb (posibil un pătrat ).

Pentagonul echilateral convex

Pentagonul echilateral concav

Un pentagon echilateral convex poate fi descris prin două unghiuri consecutive, care împreună determină celelalte unghiuri. Cu toate acestea, pentagonele echilaterale și poligoanele echilaterale cu mai mult de cinci laturi pot fi, de asemenea, concav, iar dacă sunt permise pentagonele concave, atunci două unghiuri nu mai sunt suficiente pentru a determina forma pentagonului.

Un poligon tangențial (unul care are o tangentă incerculară la toate laturile sale) este echilateral dacă și numai dacă unghiurile alternative sunt egale (adică unghiurile 1, 3, 5, ... sunt egale și unghiurile 2, 4, .. . sunt egale). Astfel, dacă numărul laturilor n este impar, un poligon tangențial este echilateral dacă și numai dacă este regulat.

Măsurare

Teorema lui Viviani se generalizează la poligoane echilaterale: Suma distanțelor perpendiculare de la un punct interior la laturile unui poligon echilateral este independentă de locația punctului interior.

Cele principale diagonalele ale unui hexagon fiecare diviza hexagonal în patrulatere. In orice convex echilateral hexagonală cu latura comună a , există o diagonală principal d ₁ astfel încât

${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {a}} \ leq 2}$

și o diagonală principală d ₂ astfel încât

${\ displaystyle {\ frac {d_ {2}} {a}}> {\ sqrt {3}}}$.

Optimitate

Patru Reinhardt 15-gons

Când un poligon echilateral este înscris într-un poligon Reuleaux , acesta formează un poligon Reinhardt . Dintre toți poligoanele convexe cu același număr de laturi, aceste poligoane au cel mai mare perimetru posibil pentru diametrul lor , cea mai mare lățime posibilă pentru diametrul lor și cea mai mare lățime posibilă pentru perimetrul lor.

Referințe

linkuri externe

• Medii legate de poligoane echilaterale la Wikimedia Commons
• Triunghi echilateral Cu animație interactivă
• O proprietate a poligoanelor echiangulare: despre ce este vorba? o discuție despre teorema lui Viviani la Cut-the-knot .