Inferință fiducială - Fiducial inference

Inferența fiducială este una dintre diferitele tipuri de inferențe statistice . Acestea sunt reguli, destinate aplicării generale, prin care se pot trage concluzii din eșantioane de date. În practica statistică modernă, încercările de a lucra cu inferența fiducială au căzut din modă în favoarea inferenței frecventiste , inferenței bayesiene și a teoriei deciziei . Cu toate acestea, inferența fiducială este importantă în istoria statisticilor, deoarece dezvoltarea sa a dus la dezvoltarea paralelă a conceptelor și instrumentelor în statistica teoretică care sunt utilizate pe scară largă. Unele cercetări actuale în metodologia statistică sunt fie legate în mod explicit de inferența fiducială, fie sunt strâns legate de aceasta.

fundal

Abordarea generală a inferenței fiduciale a fost propusă de Ronald Fisher . Aici „fiducial” provine din latină pentru credință. Inferența fiducială poate fi interpretată ca o încercare de a efectua probabilitate inversă fără a apela la distribuții de probabilitate anterioare . Inferența fiducială a atras rapid controverse și nu a fost niciodată acceptată pe scară largă. Într-adevăr, au fost publicate în curând contra-exemple la revendicările lui Fisher pentru deducție fiducială. Aceste contra-exemple pun la îndoială coerența „inferenței fiduciale” ca sistem de inferență statistică sau logică inductivă . Alte studii au arătat că, acolo unde se spune că pașii inferenței fiduciale conduc la „probabilități fiduciale” (sau „distribuții fiduciale”), aceste probabilități nu au proprietatea aditivității și, prin urmare, nu pot constitui o măsură de probabilitate .

Conceptul de inferență fiducială poate fi conturat prin compararea tratamentului său cu problema estimării intervalului în raport cu alte moduri de inferență statistică.

• Un interval de încredere , în inferență frecventistă , cu probabilitate de acoperire γ are interpretarea că dintre toate intervalele de încredere calculate prin aceeași metodă, o proporție γ va conține adevărata valoare care trebuie estimată. Aceasta are fie o interpretare repetată de eșantionare (fie frecventistă ), fie probabilitatea ca un interval calculat din datele încă de eșantionat să acopere valoarea reală. Cu toate acestea, în ambele cazuri, probabilitatea în cauză nu este probabilitatea ca valoarea reală să se afle în intervalul special care a fost calculat, deoarece în acea etapă atât valoarea reală, cât și intervalul calculat sunt fixe și nu sunt aleatorii.
• Intervalele credibile , prin inferență bayesiană , permit o probabilitate pentru a se da posibilitatea ca un interval, odată ce a fost calculat, să includă valoarea reală, deoarece se desfășoară pe baza faptului că o distribuție de probabilitate poate fi asociată cu starea cunoașterii despre adevărata valoare, atât înainte, cât și după obținerea eșantionului de date.

Fisher a conceput metoda fiducială pentru a răspunde problemelor percepute cu abordarea bayesiană, într-un moment în care abordarea frecventistă încă nu a fost dezvoltată pe deplin. Astfel de probleme se referă la necesitatea de a atribui o distribuție anterioară valorilor necunoscute. Scopul a fost de a avea o procedură, precum metoda bayesiană, ale cărei rezultate ar putea primi o interpretare inversă a probabilității pe baza datelor reale observate. Metoda se desfășoară încercând să obțină o „distribuție fiducială”, care este o măsură a gradului de credință care poate fi pus pe orice valoare dată a parametrului necunoscut și este fidel datelor în sensul că metoda folosește toate informațiile disponibile .

Din păcate, Fisher nu a dat o definiție generală a metodei fiduciale și a negat că metoda ar putea fi aplicată întotdeauna. Singurele sale exemple au fost pentru un singur parametru; s-au dat generalizări diferite atunci când există mai mulți parametri. O prezentare relativ completă a abordării fiduciale a inferenței este dată de Quenouille (1958), în timp ce Williams (1959) descrie aplicarea analizei fiduciale la problema calibrării (cunoscută și sub denumirea de „regresie inversă”) în analiza de regresie . Discuții suplimentare despre inferența fiducială sunt date de Kendall & Stuart (1973).

Distribuția fiducială

Fisher a cerut existența unei statistici suficiente pentru aplicarea metodei fiduciale. Să presupunem că există o singură statistică suficientă pentru un singur parametru. Adică, să presupunem că distribuția condiționată a datelor date statistic nu depinde de valoarea parametrului. De exemplu, să presupunem că n observații independente sunt distribuite uniform pe interval . Maximul, X , al n observații este o statistică suficientă pentru ω. Dacă se înregistrează doar X și valorile observațiilor rămase sunt uitate, aceste observații rămase sunt la fel de susceptibile de a avea valori în interval . Această afirmație nu depinde de valoarea lui ω. Apoi X conține toate informațiile disponibile despre ω și celelalte observații nu ar fi putut oferi alte informații. ${\ displaystyle [0, \ omega]}$${\ displaystyle [0, X]}$

Funcția de distribuție cumulativă a lui X este

${\ displaystyle F (x) = P (X \ leq x) = P \ left (\ mathrm {all \ observations} \ leq x \ right) = \ left ({\ frac {x} {\ omega}} \ right ) ^ {n}.}$

Se pot face declarații de probabilitate despre X / ω. De exemplu, având în vedere α , o valoare a unei poate fi ales cu 0 <  a   <1 astfel încât

${\ displaystyle P \ left (X> \ omega {a} \ right) = 1-a ^ {n} = \ alpha.}$

Prin urmare

${\ displaystyle a = (1- \ alpha) ^ {\ frac {1} {n}}.}$

Atunci Fisher ar putea spune că această afirmație poate fi inversată în formă

${\ displaystyle P \ left (\ omega <{\ frac {X} {a}} \ right) = \ alpha.}$

În această din urmă afirmație, ω este acum considerat variabil și X este fix, în timp ce anterior era invers. Această distribuție a lui ω este distribuția fiducială care poate fi utilizată pentru a forma intervale fiduciale care reprezintă grade de credință.

Calculul este identic cu metoda esențială pentru găsirea unui interval de încredere, dar interpretarea este diferită. De fapt, cărțile mai vechi folosesc termenii interval de încredere și interval fiducial în mod interschimbabil. Observați că distribuția fiducială este definită în mod unic atunci când există o singură statistică suficientă.

Metoda pivot se bazează pe o variabilă aleatorie care este o funcție atât a observațiilor, cât și a parametrilor, dar a căror distribuție nu depinde de parametru. Astfel de variabile aleatoare se numesc cantități pivotante . Prin utilizarea acestora, pot fi făcute afirmații de probabilitate despre observații și parametri în care probabilitățile nu depind de parametri și acestea pot fi inversate prin rezolvarea parametrilor în același mod ca în exemplul de mai sus. Cu toate acestea, acest lucru este echivalent cu metoda fiducială numai dacă cantitatea esențială este definită în mod unic pe baza unei statistici suficiente.

Un interval fiducial ar putea fi considerat a fi doar un nume diferit pentru un interval de încredere și să-i dea interpretarea fiducială. Dar definiția ar putea să nu fie atunci unică. Fisher ar fi negat că această interpretare este corectă: pentru el, distribuția fiducială trebuia definită în mod unic și trebuia să utilizeze toate informațiile din eșantion.

Starea abordării

Fisher a recunoscut că „inferența fiducială” a avut probleme. Fisher i-a scris lui George A. Barnard că „nu este clar în cap” despre o problemă referitoare la inferența fiducială și, de asemenea, scriindu-i lui Barnard, Fisher s-a plâns că teoria sa părea să aibă doar „o abordare asimptotică a inteligibilității”. Ulterior Fisher a mărturisit că „încă nu înțeleg ce face probabilitatea fiducială. Va trebui să trăim cu ea mult timp înainte să știm ce face pentru noi. Dar nu ar trebui ignorat doar pentru că nu avem încă o interpretare clară ".

Lindley a arătat că probabilitatea fiducială nu avea aditivitate, deci nu era o măsură de probabilitate . Cox subliniază că același argument se aplică așa-numitei „ distribuții de încredere ” asociate cu intervalele de încredere , astfel încât concluzia care trebuie trasă din aceasta este discutabilă. Fisher a schițat „dovezi” ale rezultatelor folosind probabilitatea fiducială. Când concluziile argumentelor fiduciale ale lui Fisher nu sunt false, s-a arătat că multe rezultă și din inferența bayesiană.

În 1978, JG Pederson a scris că „argumentul fiducial a avut un succes foarte limitat și acum este în esență mort”. Davison a scris „Au fost făcute câteva încercări ulterioare de a reînvia fiducialismul, dar acum pare în mare măsură de importanță istorică, în special având în vedere gama sa limitată de aplicabilitate atunci când este stabilită alături de modele de interes actual”.

Cu toate acestea, inferența fiducială este încă studiată și principiile sale par valoroase pentru unele aplicații științifice. La mijlocul anilor 2010, psihometricianul Yang Liu a dezvoltat o inferență fiducială generalizată pentru modelele din teoria răspunsului la elemente și a demonstrat rezultate favorabile în comparație cu abordările frecventiste și bayesiene. Alte lucrări actuale în inferență fiducială sunt în curs de desfășurare sub numele de distribuții de încredere .

Referințe

Bibliografie