Inegalitatea lui Hölder - Hölder's inequality

În analiza matematică , inegalitatea lui Hölder , numită după Otto Hölder , este o inegalitate fundamentală între integrale și un instrument indispensabil pentru studiul spațiilor L ^p .

Teorema (inegalitatea lui Hölder). Fie ( S , Σ, μ ) un spațiu de măsură și fie p , q ∈ [1, ∞] cu 1 / p + 1 / q = 1 . Apoi , pentru toate măsurabile reale - sau complexe -valued funcții f și g pe S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Dacă, în plus, p , q ∈ (1, ∞) și f ∈ L ^p ( μ ) și g ∈ L ^q ( μ ) , atunci inegalitatea lui Hölder devine o egalitate dacă și numai dacă | f  | ^p și | g | ^q sunt liniar dependente în L ¹ ( μ ) , ceea ce înseamnă că există numere reale α , β ≥ 0 , nu amândouă zero, astfel încât α | f  | ^p = β | g | ^q μ - aproape peste tot .

Se spune că numerele p și q de mai sus sunt conjugate Hölder între ele. Cazul special p = q = 2 oferă o formă a inegalității Cauchy – Schwarz . Inegalitatea lui Hölder este valabilă chiar dacă || fg || ₁ este infinit, partea dreaptă fiind infinită și în acest caz. În schimb, dacă f este în L ^p ( μ ) și g este în L ^q ( μ ) , atunci produsul punctual fg este în L ¹ ( μ ) .

Inegalitatea lui Hölder este utilizată pentru a demonstra inegalitatea lui Minkowski , care este inegalitatea triunghiului în spațiul L ^p ( μ ) și, de asemenea, pentru a stabili că L ^q ( μ ) este spațiul dual al lui L ^p ( μ ) pentru p ∈ [1, ∞) .

Inegalitatea lui Hölder a fost descoperită pentru prima dată de Leonard James Rogers ( Rogers (1888) ) și descoperită independent de Hölder (1889) .

Observații

Convenții

Scurtă afirmație a inegalității lui Hölder folosește unele convenții.

• În definiția conjugatelor Hölder, 1 / ∞ înseamnă zero.
• Dacă p , q ∈ [1, ∞) , atunci || f  || _p și || g || _q reprezintă expresiile (eventual infinite)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}$

• Dacă p = ∞ , atunci || f  || _∞ reprezintă supremul esențial al | f  | , în mod similar pentru || g || _∞ .
• Notarea || f  || _p cu 1 ≤ p ≤ ∞ este un ușor abuz, deoarece, în general, este doar o normă de f dacă || f  || _p este finit și f este considerat ca o clasă de echivalență a μ - aproape oriunde funcții egale. Dacă f ∈ L ^p ( μ ) și g ∈ L ^q ( μ ) , atunci notația este adecvată.
• În partea dreaptă a inegalității lui Hölder, 0 × ∞, precum și ∞ × 0 înseamnă 0. Înmulțirea unui > 0 cu ∞ dă ∞.

Estimări pentru produsele integrabile

Ca mai sus, să f și g , reprezintă măsurabilă real- sau funcții cu valori complexe definite pe S . Dacă || fg || ₁ este finit, atunci produsele punctiforme ale lui f cu g și funcția sa conjugată complexă sunt μ- integrabile, estimarea

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

și cel similar pentru fg hold, iar inegalitatea lui Hölder poate fi aplicată pe partea dreaptă. În special, dacă f și g se află în spațiul Hilbert L ² ( μ ) , atunci inegalitatea lui Hölder pentru p = q = 2 implică

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

unde parantezele unghiulare se referă la produsul interior al lui L ² ( μ ) . Aceasta se numește și inegalitate Cauchy-Schwarz , dar necesită pentru afirmația sa că || f  || ₂ și || g || ₂ sunt finite pentru a vă asigura că produsul interior al lui f și g este bine definit. Putem recupera inegalitatea inițială (pentru cazul p = 2 ) folosind funcțiile | f  | și | g | în locul lui f și g .

Generalizarea măsurilor de probabilitate

Dacă ( S , Σ, μ ) este un spațiu de probabilitate , atunci p , q ∈ [1, ∞] trebuie doar să satisfacă 1 / p + 1 / q ≤ 1 , mai degrabă decât să fie conjugați Hölder. O combinație a inegalității lui Hölder și a inegalității lui Jensen implică asta

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

pentru toate funcțiile real- sau valori complexe măsurabile f și g pe  S .

Cazuri speciale remarcabile

Pentru următoarele cazuri presupunem că p și q se află în intervalul deschis (1, ∞) cu 1 / p + 1 / q = 1 .

Măsură de numărare

Pentru spațiul euclidian n- dimensional , când mulțimea S este {1, ..., n } cu măsura de numărare , avem

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}$

Adesea se folosește următoarea formă practică, pentru orice : ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Dacă S = N cu măsura de numărare, atunci obținem inegalitatea lui Hölder pentru spațiile de secvență :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

Măsura Lebesgue

Dacă S este un subgrup măsurabil al lui R ⁿ cu măsura Lebesgue , iar f și g sunt funcții măsurabile cu valoare reală sau complexă pe  S , atunci inegalitatea Hölder este

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Măsura probabilității

Pentru spațiul de probabilitate să denotăm operatorul de așteptare . Pentru variabilele aleatoare cu valoare reală sau complexă și cu privire la inegalitatea lui Hölder citește ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega ,}$

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Fie și definește Atunci este conjugatul Hölder al aplicării inegalității lui Hölder la variabilele aleatorii și obținem ${\displaystyle 0<r<s}$${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle |X|^{r}}$${\displaystyle 1_{\Omega }}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

În special, în cazul în care s ^- a absolut momentul este finit, atunci r -  ^lea momentul absolut este finit, de asemenea. (Acest lucru rezultă și din inegalitatea lui Jensen .)

Măsura produsului

Pentru două spații de măsurare σ-finite ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) și ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) definiți spațiul de măsurare al produsului prin

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

unde S este produsul cartezian al lui S ₁ și S ₂ , σ-algebra Σ apare ca produs σ-algebra de Σ ₁ și Σ ₂ , iar μ denotă măsura produsului de μ ₁ și μ ₂ . Apoi , teorema lui Tonelli ne permite să rescrie inegalitatea lui Hölder , folosind integralele iterate: Dacă  f și g sunt Σ -măsurabilă real- sau funcții complexe evaluate pe produsul cartezian  S , atunci

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Acest lucru poate fi generalizat la mai mult de două spații de măsură σ-finite .

Funcții cu valoare vectorială

Fie ( S , Σ, μ ) un spațiu de măsurare finit σ și să presupunem că f = ( f ₁ , ..., f _n ) și g = ( g ₁ , ..., g _n ) sunt funcții Σ- măsurabile pe S , luând valori în spațiul euclidian n -dimensional real sau complex. Luând produsul cu măsura de numărare pe {1, ..., n } , putem rescrie versiunea de măsurare a produsului de mai sus a inegalității Hölder sub forma

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Dacă cele două integrale din partea dreaptă sunt finite, atunci egalitatea este valabilă dacă și numai dacă există numere reale α , β ≥ 0 , nu amândouă zero, astfel încât

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

pentru μ -Aproape toate x în S .

Această versiune cu dimensiuni finite generalizează la funcțiile f și g luând valori într-un spațiu normat care ar putea fi de exemplu un spațiu de secvență sau un spațiu interior al produsului .

Dovada inegalității lui Hölder

Există mai multe dovezi ale inegalității lui Hölder; ideea principală în cele ce urmează este inegalitatea lui Young pentru produse .

Dovezi alternative folosind inegalitatea lui Jensen: Reamintim inegalitatea lui Jensen pentru funcția convexă (este convexă pentru că evident ): ${\displaystyle x^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \int hd\nu \leq \left(\int h^{p}d\nu \right)^{\frac {1}{p}}}$ (Această afirmație este greșită prin simpla utilizare a funcției nelimitate g (x) = 1 pe definiția inegalității integrale Hölder - doar dă „partea dreaptă” <infinit. Un alt exemplu, să fie h (x) distribuția gaussiană standard h (x) = 1 / sqrt (2 * pi) * e ^ (- x ^ 2/2), deci integrala sa int_-inf ^ inf | h (x) | dx = 1, iar energia sa este int_-inf ^ inf | h (x) | ^ 2 dx = 1 / (2 * sqrt (pi)) = 0,282, deci rădăcina sa = 0,531 care este mai mică decât una, încălcând inegalitatea propusă).

unde ν este orice distribuție de probabilitate și h orice ν -funcție măsurabilă. Fie μ orice măsură și ν distribuția a cărei densitate wrt μ este proporțională cu , adică ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d\nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}d\mu }$

Prin urmare , avem, folosind , prin urmare , și anunțându , ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$${\displaystyle p(1-q)+q=0}$${\displaystyle h=fg^{1-q}}$

${\displaystyle \int fg\,d\mu =\left(\int g^{q}\,d\mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}d\mu } _{d\nu }\leq \left(\int g^{q}d\mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,d\mu }}\,d\mu } _{d\nu }\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\int g^{q}\,d\mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,d\mu }}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$

În cele din urmă, obținem

${\displaystyle \int fg\,d\mu \leq \left(\int f^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,d\mu \right)^{\frac {1}{q}}}$

Aceasta presupune f , g real și non negativ, dar extinderea la funcții complexe este simplă (utilizați modulul lui f , g ). De asemenea, presupune că nu sunt nici nul, nici infinit și că : toate aceste presupuneri pot fi, de asemenea, ridicate ca în dovada de mai sus. ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$${\displaystyle p,q>1}$

Egalitate extremă

Afirmație

Să presupunem că 1 ≤ p <∞ și lăsați q denota conjugat Hölder. Apoi pentru fiecare f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

unde max indică faptul că există de fapt un g care maximizează partea dreaptă. Când p = ∞ și dacă fiecare set A din σ-câmp Σ cu μ ( A ) = ∞ conține un subset B ∈ Σ cu 0 < μ ( B ) <∞ (care este valabil în special atunci când μ este -σ finit ) , atunci

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Dovada egalității extreme: Prin inegalitatea lui Hölder, integralele sunt bine definite și, pentru 1 ≤ p ≤ ∞ ,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},}$

prin urmare, partea stângă este întotdeauna mărginită deasupra de partea dreaptă.

În schimb, pentru 1 ≤ p ≤ ∞ , observați mai întâi că afirmația este evidentă când || f  || _p = 0 . Prin urmare, presupunem || f  || _p > 0 în cele ce urmează.

Dacă 1 ≤ p <∞ , definiți g pe S prin

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Verificând cazurile p = 1 și 1 < p <∞ separat, vedem că || g || _q = 1 și

${\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Rămâne să luăm în considerare cazul p = ∞ . Pentru ε ∈ (0, 1) definiți

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.}$

Deoarece f este măsurabil, A ∈ Σ . Prin definiția || f  || _∞ ca suprem esențial al lui f și al presupunerii || f  || _∞ > 0 , avem μ ( A )> 0 . Folosind ipoteza suplimentară pe σ-câmp sigma , dacă este necesar, există o submulțime B ∈ Σ a A , cu 0 < μ ( B ) <∞ . Definiți g pe S prin

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Atunci g este bine definit, măsurabil și | g ( x ) | ≤ 1 / μ ( B ) pentru x ∈ B , deci || g || ₁ ≤ 1 . În plus,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}$

Observații și exemple

• Egalitatea de eșuează ori de câte ori există un set de măsuri infinit în -field cu care nu are nici un subset care satisface: (cel mai simplu exemplu este -field care conține doar setul gol și și măsura cu ) , atunci indicatorul funcției satisface , dar fiecare trebuie să fie- aproape peste tot constantă pentru că este -măsurabilă, iar această constantă trebuie să fie zero, deoarece este -integrabilă. Prin urmare, supremul de mai sus pentru funcția indicator este zero și egalitatea extremă eșuează.${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle B\in \Sigma }$${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$ ${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 1_{A}}$
• Căci supremul nu este în general atins. De exemplu, let și măsura de numărare. Defini:${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Apoi Pentru cu să denotăm cel mai mic număr natural cu Apoi${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Aplicații

• Egalitatea extremă este una dintre modalitățile de a demonstra inegalitatea triunghiului || f ₁ + f ₂ || _p ≤ || f ₁ || _p + || f ₂ || _p pentru toate f ₁ și f ₂ în L ^p ( μ ) , vezi inegalitatea Minkowski .
• Inegalitatea lui Hölder implică faptul că fiecare f ∈ L ^p ( μ ) definește o funcțională liniară mărginită (sau continuă) κ _f pe L ^q ( μ ) prin formula

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

Egalitatea extremă (când este adevărată) arată că norma acestui funcțional κ _f ca element al spațiului dual continuu L ^q ( μ ) ^* coincide cu norma lui f în L ^p ( μ ) (vezi și articolul L ^p- spațiu ).

Generalizarea inegalității lui Hölder

Să presupunem că r ∈ (0, ∞] și p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] astfel încât

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

unde 1 / ∞ este interpretat ca 0 în această ecuație. Apoi pentru toate funcțiile măsurabile reale sau complexe f ₁ , ..., f _n definite pe S ,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}}$

unde interpretăm orice produs cu un factor de ∞ ca ∞ dacă toți factorii sunt pozitivi, dar produsul este 0 dacă vreun factor este 0.

În special, dacă pentru toate atunci${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Notă: Căci contrar notării, || . || _{r nu} este, în general, o normă, deoarece nu satisface inegalitatea triunghiului . ${\displaystyle r\in (0,1),}$

Dovada generalizării: folosim inegalitatea lui Hölder și inducerea matematică . Dacă atunci rezultatul este imediat. Să trecem acum de la Fără pierderea generalității să presupunem că${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.}$

Cazul 1: Dacă atunci ${\displaystyle p_{n}=\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Scoaterea supremului esențial al | f _n | și folosind ipoteza inducției, obținem

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1}\right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }.\end{aligned}}}$

Cazul 2: Dacă atunci neapărat la fel de bine, și atunci ${\displaystyle p_{n}<\infty }$${\displaystyle r<\infty }$

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

sunt conjugați Hölder în (1, ∞) . Aplicarea inegalității lui Hölder dă

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.}$

Creșterea la putere și rescrierea, ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}$

De când și ${\displaystyle qr=p_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

inegalitatea susținută urmează acum prin utilizarea ipotezei de inducție.

Interpolare

Să p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] și lăsați θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) Greutăți denote cu θ ₁ + ... + θ _n = 1 . Definiți ca media armonică ponderată , adică ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Având în vedere funcții cu valoare reală sau complexă măsurabile pe S , atunci generalizarea de mai sus a inegalității lui Hölder dă ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

În special, luarea dă ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Precizând în continuare θ ₁ = θ și θ ₂ = 1- θ , în cazul în care obținem rezultatul interpolației (inegalitatea lui Littlewood) ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}$

pentru și ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}.}$

O aplicație a lui Hölder dă inegalitatea lui Lyapunov: Dacă

${\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}$

atunci

${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$

și în special

${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}$

Atât Littlewood și Liapunov implică faptul că , dacă , atunci pentru toți${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$${\displaystyle f\in L^{p}}$${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Inegalitatea inversă a lui Hölder

Să presupunem că p ∈ (1, ∞) și că spațiul de măsură ( S , Σ, μ ) satisface μ ( S )> 0 . Apoi, pentru toate funcțiile cu valoare reală sau complexă măsurabile f și g pe S astfel încât g ( s ) ≠ 0 pentru μ - aproape toate s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Dacă

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

atunci inegalitatea inversă Hölder este o egalitate dacă și numai dacă

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Notă: Expresiile:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}\quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

nu sunt norme, sunt doar notații compacte pentru

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Dovada inegalității Hölder inversă: Rețineți că p și

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}$

sunt conjugate Hölder. Aplicarea inegalității lui Hölder dă

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}}$

Creșterea la puterea p ne oferă:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Prin urmare:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Acum trebuie doar să ne reamintim notația.

Deoarece g nu este aproape peste tot egal cu funcția zero, putem avea egalitate dacă și numai dacă există o constantă α ≥ 0 astfel încât | fg | = α  | g | ^{- q / p} aproape peste tot. Rezolvarea pentru valoarea absolută a lui f dă revendicarea.

Inegalitatea condiționată a lui Hölder

Fie (Ω, F , )${\displaystyle \mathbb {P} }$ un spațiu de probabilitate, G ⊂ F o sub- σ-algebră și p , q ∈ (1, ∞) conjugate Hölder, adică 1 / p + 1 / q = 1 . Apoi pentru toate variabilele aleatoare cu valoare reală sau complexă X și Y pe  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Observații:

• Dacă o variabilă aleatorie non-negativă Z are o valoare așteptată infinită , atunci așteptarea ei condițională este definită de

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• În partea dreaptă a inegalității condiționate a lui Hölder, de 0 ori ∞, precum și de ∞ ori 0 înseamnă 0. Înmulțirea unui > 0 cu ∞ dă ∞.

Dovada inegalității condiționate a lui Hölder: definiți variabilele aleatorii

${\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}$

și rețineți că acestea sunt măsurabile în raport cu sub-σ-algebra . De cand

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}$

rezultă că | X | = 0 ca pe setul { U = 0} . În mod similar, | Y | = 0 ca pe setul { V = 0} , deci

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}$

iar inegalitatea condițională Hölder se menține asupra acestui set. Pe platou

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}$

partea dreaptă este infinită și se menține și inegalitatea condițională Hölder. Împărțind pe partea dreaptă, rămâne, așadar, să arătăm acest lucru

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.}$

Acest lucru se face prin verificarea faptului că inegalitatea se menține după integrare peste un arbitrar

${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}$

Folosind măsurabilitatea lui U, V, 1 _G în raport cu sub-σ-algebra , regulile pentru așteptările condiționate, inegalitatea lui Hölder și 1 / p + 1 / q = 1 , vedem că

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Inegalitatea lui Hölder pentru creșterea seminormelor

Să S fie un set și lăsați să fie spațiul tuturor funcțiilor complexe evaluate pe S . Să N să fie o creștere seminormă pe sensul că, pentru toate funcțiile de prim rang real avem următoarea implicație (The seminorma este , de asemenea , a permis pentru a atinge valoarea ∞): ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} )}$${\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),}$${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Atunci:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

unde numerele și sunt conjugate Hölder. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Observație: Dacă ( S , Σ, μ ) este un spațiu de măsură și este integralul Lebesgue superior, atunci restricția lui N la toate funcțiile Σ- măsurabile oferă versiunea obișnuită a inegalității lui Hölder. ${\displaystyle N(f)}$${\displaystyle |f|}$

Vezi si

• Inegalitatea Cauchy – Schwarz
• Inegalitatea Minkowski
• Inegalitatea lui Jensen
• Inegalitatea lui Young pentru produse
• Inegalitățile lui Clarkson
• Inegalitatea Brascamp – Lieb

Citații

Referințe

• Grinshpan, AZ (2010), "Inegalități ponderate și binomii negativi", Progrese în matematică aplicată , 45 (4): 564-606, doi : 10.1016 / j.aam.2010.04.004
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1934), Inegalități , Cambridge University Press , pp. XII + 314, ISBN 0-521-35880-9, JFM  60.0169.01 , Zbl  0010.10703.
• Hölder, O. (1889), „Ueber einen Mittelwertsatz” , Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band (în germană), 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Disponibil la Digi Zeitschriften .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Inegalitatea Hölder" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press.
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Spații vectoriale topologice . Matematică pură și aplicată (ed. A doua). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rogers, LJ (februarie 1888), „O extensie a unei anumite teoreme în inegalități” , Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02 , arhivat din original la 21 august 2007.
• Trèves, François (1967), Spații vectoriale topologice, distribuții și nuclee , matematică pură și aplicată. O serie de monografii și manuale, 25 , New York, Londra: Academic Press, MR  0225131 , Zbl  0171.10402.
• Trèves, François (2006) [1967]. Spații vectoriale topologice, distribuții și nuclee . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

linkuri externe

• Kuttler, Kenneth (2007), An Introduction to Linear Algebra (PDF) , E-book online în format PDF, Brigham Young University.
• Lohwater, Arthur (1982), Introducere în inegalități (PDF).
• Tisdell, Chris (2012), Inegalitatea titularului , videoclip online pe canalul YouTube al doctorului Chris Tisdell.