CAPM intertemporal - Intertemporal CAPM

Modelul intertemporal de stabilire a prețurilor activelor de capital ( ICAPM) este o alternativă la CAPM furnizat de Robert Merton . Este un model de factor liniar cu bogăția ca variabilă de stat care prognozează schimbări în distribuția veniturilor sau veniturilor viitoare .

În ICAPM, investitorii rezolvă deciziile de consum pe viață atunci când se confruntă cu mai multe incertitudini. Principala diferență între ICAPM și CAPM standard este variabilele de stare suplimentare care recunosc faptul că investitorii se acoperă împotriva deficiențelor de consum sau împotriva schimbărilor în viitoarele oportunități de investiții stabilite.

Versiune în timp continuu

Merton consideră o piață continuă a timpului în echilibru. Variabila de stare (X) urmează o mișcare browniană :

${\ displaystyle dX = \ mu dt + sdZ}$

Investitorul își maximizează utilitatea Von Neumann – Morgenstern :

${\ displaystyle E_ {o} \ left \ {\ int _ {o} ^ {T} U [C (t), t] dt + B [W (T), T] \ right \}}$

unde T este orizontul de timp și B [W (T), T] utilitatea din bogăție (W).

Investitorul are următoarea constrângere asupra averii (W). Fie ponderea investită în activul i. Atunci: ${\ displaystyle w_ {i}}$

${\ displaystyle W (t + dt) = [W (t) -C (t) dt] \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} [1 + r_ {i} (t + dt) ]}$

unde este rentabilitatea activului i. Schimbarea bogăției este: ${\ displaystyle r_ {i}}$

${\ displaystyle dW = -C (t) dt + [W (t) -C (t) dt] \ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)}$

Putem folosi programarea dinamică pentru a rezolva problema. De exemplu, dacă luăm în considerare o serie de probleme de timp discrete:

${\ displaystyle \ max E_ {0} \ left \ {\ sum _ {t = 0} ^ {T-dt} \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + B [W (T), T] \ dreapta \}}$

Apoi, o expansiune Taylor oferă:

${\ displaystyle \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds = U [C (t), t] dt + {\ frac {1} {2}} U_ {t} [C (t ^ {*}), t ^ {*}] dt ^ {2} \ approx U [C (t), t] dt}$

unde este o valoare între t și t + dt. ${\ displaystyle t ^ {*}}$

Presupunând că returnările urmează o mișcare browniană :

${\ displaystyle r_ {i} (t + dt) = \ alpha _ {i} dt + \ sigma _ {i} dz_ {i}}$

cu:

${\ displaystyle E (r_ {i}) = \ alpha _ {i} dt \ quad; \ quad E (r_ {i} ^ {2}) = var (r_ {i}) = \ sigma _ {i} ^ {2} dt \ quad; \ quad cov (r_ {i}, r_ {j}) = \ sigma _ {ij} dt}$

Apoi, anulați termenii de ordinul doi și superior:

${\ displaystyle dW \ approx [W (t) \ sum w_ {i} \ alpha _ {i} -C (t)] dt + W (t) \ sum w_ {i} \ sigma _ {i} dz_ {i }}$

Folosind ecuația lui Bellman , putem reafirma problema:

${\ displaystyle J (W, X, t) = max \; E_ {t} \ left \ {\ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + J [W ( t + dt), X (t + dt), t + dt] \ right \}}$

sub rezerva constrângerii de avere precizate anterior.

Folosind lema lui Ito putem rescrie:

${\ displaystyle dJ = J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] -J [W (t), X (t), t + dt] = J_ {t} dt + J_ {W} dW + J_ {X} dX + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} dX ^ {2} + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} dW ^ {2} + J_ {WX} dXdW}$

și valoarea așteptată:

${\ displaystyle E_ {t} J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] = J [W (t), X (t), t] + J_ {t} dt + J_ {W} E [dW] + J_ {X} E (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} var (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} var [dW] + J_ {WX} cov (dX, dW)}$

După câteva algebre, avem următoarea funcție obiectivă:

${\ displaystyle max \ left \ {U (C, t) + J_ {t} + J_ {W} W [\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (\ alpha _ {i} - r_ {f}) + r_ {f}] - J_ {W} C + {\ frac {W ^ {2}} {2}} J_ {WW} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} + J_ {X} \ mu + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} s ^ {2} + J_ {WX} W \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ sigma _ {iX} \ right \}}$

unde este rentabilitatea fără risc. Condițiile pentru prima comandă sunt: ${\ displaystyle r_ {f}}$

${\ displaystyle J_ {W} (\ alpha _ {i} -r_ {f}) + J_ {WW} W \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {*} \ sigma _ { ij} + J_ {WX} \ sigma _ {iX} = 0 \ quad i = 1,2, \ ldots, n}$

În formă matricială, avem:

${\ displaystyle (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) = {\ frac {-J_ {WW}} {J_ {W}}} \ Omega w ^ {*} W + {\ frac {- J_ {WX}} {J_ {W}}} cov_ {rX}}$

unde este vectorul randamentelor anticipate, matricea de covarianță a se întoarce, o unitate vector covarianța între întoarce și variabila de stat. Greutățile optime sunt: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathbf {1}}}$${\ displaystyle cov_ {rX}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {w} ^ {*}} = {\ frac {-J_ {W}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) - {\ frac {J_ {WX}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} cov_ {rX}}$

Observați că modelul intertemporal oferă aceleași greutăți ale CAPM . Randamentele preconizate pot fi exprimate după cum urmează:

${\ displaystyle \ alpha _ {i} = r_ {f} + \ beta _ {im} (\ alpha _ {m} -r_ {f}) + \ beta _ {ih} (\ alpha _ {h} -r_ {f})}$

unde m este portofoliul pieței și ha portofoliul pentru acoperirea variabilei de stat.

Vezi si

• Alegerea portofoliului intertemporal

Referințe

• Merton, RC, (1973), Un model de stabilire a prețurilor activelor de capital intertemporale. Econometrica 41, Vol. 41, nr. 5. (sept., 1973), pp. 867-887
• „Eficiența portofoliului multifactor și prețul activelor multifactor” de Eugene F. Fama, ( Jurnalul de analiză financiară și cantitativă ), vol. 31, nr. 4, decembrie 1996