Karl Georg Christian von Staudt - Karl Georg Christian von Staudt

Karl GC von Staudt
Karl von Staudt (1798 - 1867)
Născut	24 ianuarie 1798 ( 24-01-1798 ) Orașul imperial gratuit Rothenburg ( Rothenburg ob der Tauber , Germania )
Decedat	1 iunie 1867 (69 de ani) ( 1867-07 ) Erlangen
Naţionalitate	limba germana
Alma Mater	Universitatea din Erlangen
Cunoscut pentru	Algebra aruncărilor teorema von Staudt-Clausen
Cariera științifică
Câmpuri	Matematica astronomiei
Consilier doctoral	Gauss
Influențe	Gauss
Influențat	Eduardo Torroja Caballe Corrado Segre Mario Pieri

Karl Georg Christian von Staudt (24 ianuarie 1798 - 1 iunie 1867) a fost un matematician german care a folosit geometria sintetică pentru a oferi o bază pentru aritmetică.

Viață și influență

Karl s-a născut în Orașul Imperial Liber Rothenburg, care acum se numește Rothenburg ob der Tauber în Germania. Din 1814 a studiat la gimnaziul din Ausbach. A urmat cursurile Universității din Göttingen din 1818 până în 1822, unde a studiat cu Gauss, care a fost director al observatorului. Staudt a oferit o efemeridă pentru orbitele lui Marte și asteroidul Pallas . Când în 1821 a fost observată cometa Nicollet-Pons, el a furnizat elementele orbitei sale . Aceste realizări în astronomie i-au adus doctoratul de la Universitatea din Erlangen în 1822.

Cariera profesională a lui Staudt a început ca instructor de liceu în Würzburg până în 1827 și apoi la Nürnberg până în 1835. S-a căsătorit cu Jeanette Dreschler în 1832. Au avut un fiu Eduard și fiica Mathilda, dar Jeanette a murit în 1848.

Cartea Geometrie der Lage (1847) a fost un reper în geometria proiectivă . Așa cum a scris Burau (1976):

Staudt a fost primul care a adoptat o abordare pe deplin riguroasă. Fără excepție, predecesorii săi vorbeau încă despre distanțe, perpendiculare, unghiuri și alte entități care nu joacă niciun rol în geometria proiectivă.

Mai mult, această carte (pagina 43) folosește patrulaterul complet pentru a „construi a patra armonică asociată cu trei puncte pe o linie dreaptă”, conjugatul armonic proiectiv .

Într-adevăr, în 1889 Mario Pieri a tradus von Staudt, înainte de a-și scrie I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). În 1900 Charlotte Scott de la Colegiul Bryn Mawr a parafrazat o mare parte din lucrarea lui von Staudt în limba engleză pentru The Mathematical Gazette . Când Wilhelm Blaschke și-a publicat manualul Projective Geometry în 1948, un portret al tânărului Karl a fost plasat vizavi de Vorwort .

Staudt a depășit geometria proiectivă reală și a ajuns în spațiul proiectiv complex în cele trei volume ale sale din Beiträge zur Geometrie der Lage publicate între 1856 și 1860.

În 1922, HF Baker a scris despre opera lui von Staudt:

A fost von Staudt pentru care eliminarea ideilor de distanță și congruență a fost un scop conștient, dacă, de asemenea, recunoașterea importanței acestui lucru ar fi putut fi mult întârziată, cu excepția lucrării lui Cayley și Klein asupra teoriei proiective a distanței. . Generalizate și combinate cu disertația ulterioară a lui Riemann, volumele lui Staudt trebuie considerate a fi fundamentul a ceea ce, pe latura sa geometrică, poate deveni încă Teoria relativității, în fizică.

Von Staudt este amintit și pentru viziunea sa asupra secțiunilor conice și relația dintre pol și polar :

Von Staudt a făcut descoperirea importantă că relația pe care o conică o stabilește între poli și polari este într-adevăr mai fundamentală decât conica însăși și poate fi configurată independent. Această „polaritate” poate fi apoi utilizată pentru a defini conica, într-o manieră care este perfect simetrică și imediat autoduală: o conică este pur și simplu locusul punctelor care se află pe polarii lor sau învelișul liniilor care trec prin polii lor . Tratamentul cu Vad Staudt a cvadricelor este analog, în trei dimensiuni.

Algebra aruncărilor

În 1857, în cel de-al doilea Beiträge , von Staudt a contribuit cu o rută către număr prin geometrie numită algebra aruncărilor (în germană : Wurftheorie ). Se bazează pe domeniul proiectiv și relația conjugatelor armonice proiective . Prin operații de adunare de puncte și multiplicare de puncte, se obține o "algebră de puncte", ca în capitolul 6 din manualul lui Veblen & Young despre geometria proiectivă. Prezentarea obișnuită se bazează pe raportul încrucișat ( CA, BD ) a patru puncte coliniare. De exemplu, Coolidge a scris:

Cum adăugăm două distanțe împreună? Le oferim același punct de plecare, găsim punctul la jumătatea distanței dintre punctele lor terminale, adică conjugatul armonic al infinitului în ceea ce privește punctele lor terminale și apoi găsim conjugatul armonic al punctului inițial în ceea ce privește acest mijloc. punct și infinit. Generalizând acest lucru, dacă dorim să adăugăm aruncări ( CA, BD ) și ( CA, BD ' ), găsim M conjugatul armonic al lui C în ceea ce privește D și D' , iar apoi S conjugatul armonic al lui A în raport cu C și M  :

${\ displaystyle (CA, BD) + (CA, BD ') = (CA, BS). \}$

În același mod, putem găsi o definiție a produsului a două aruncări. Deoarece produsul a două numere poartă același raport la unul dintre ele ca celălalt la unitate, raportul a două numere este raportul transversal pe care îl poartă ca pereche la infinit și zero, deci Von Staudt, în notația anterioară, definește produsul a două aruncări de

${\ displaystyle (CA, BD) \ cdot (CA, DD ') = (CA, BD').}$

Aceste definiții implică o serie lungă de pași pentru a arăta că algebra astfel definită respectă legile obișnuite comutative, asociative și distributive și că nu există divizori ai zero.

O enunț rezumat este dat de Veblen & Young ca Teorema 10: „Setul de puncte pe o linie, cu eliminat, formează un câmp în raport cu operațiile definite anterior”. După cum notează Freudenthal ${\ displaystyle P _ {\ infty}}$

... până la Hilbert, nu există niciun alt exemplu pentru o astfel de derivare directă a legilor algebrice din axiome geometrice așa cum se găsește în Beiträge de von Staudt .

O altă afirmare a lucrării lui von Staudt cu conjugatele armonice vine sub forma unei teoreme:

Singura corespondență unu-la-unu între punctele reale de pe o linie care păstrează relația armonică dintre patru puncte este o proiectivitate non-singulară.

Algebra aruncărilor a fost descrisă ca „aritmetică proiectivă” în The Four Pillars of Geometry (2005). Într-o secțiune numită „Aritmetică proiectivă”, spune el

Dificultatea reală este că construcția lui a + b , de exemplu, este diferită de construcția lui b + a , deci este o „coincidență” dacă a + b = b + a . În mod similar, este o „coincidență” dacă ab = ba , a oricărei alte legi a algebrei. Din fericire, putem arăta că coincidențele necesare apar de fapt, deoarece sunt implicate de anumite coincidențe geometrice, și anume teoremele lui Pappus și Desargues.

Dacă cineva interpretează opera lui von Staudt ca pe o construcție a numerelor reale , atunci aceasta este incompletă. Una dintre proprietățile necesare este că o secvență mărginită are un punct cluster . După cum a observat Hans Freudenthal :

Pentru a putea considera abordarea lui von Staudt ca o fundamentare riguroasă a geometriei proiective, trebuie doar să adăugăm în mod explicit axiomele topologice care sunt folosite tacit de von Staudt. ... cum se poate formula topologia spațiului proiectiv fără sprijinul unei metrice? Von Staudt era încă departe de a ridica această întrebare, care un sfert de secol mai târziu avea să devină urgentă. ... Felix Klein a observat decalajul în abordarea lui von Staudt; era conștient de necesitatea formulării topologiei spațiului proiectiv independent de spațiul euclidian .... italienii au fost primii care au găsit soluții cu adevărat satisfăcătoare pentru problema unei fundații pur proiective a geometriei proiective, pe care von Staudt încercase să o rezolve. .

Unul dintre matematicienii italieni a fost Giovanni Vailati, care a studiat proprietatea ordinii circulare a liniei proiective reale. Știința acestui ordin necesită o relație cuaternară numită relație de separare . Folosind această relație, conceptele de secvență și limită monotonă pot fi abordate, într-o „linie” ciclică. Presupunând că fiecare secvență monotonă are o limită, linia devine un spațiu complet . Aceste evoluții au fost inspirate de deducțiile lui von Staudt ale axiomelor de câmp ca inițiativă în derivarea proprietăților lui ℝ din axiomele din geometria proiectivă.

Lucrări

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Nürnberg
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.

Următoarele legături sunt către monografiile matematice istorice ale Universității Cornell :

• 1847: Geometrie der Lage . Nürnberg.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Nürnberg.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Nürnberg.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Nürnberg.

Vezi si

• Curba W

Referințe

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Karl George Christian von Staudt” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews
• Veblen, Oswald; Young, JWA (1938). Geometrie proiectivă . Boston: ISBN Ginn & Co. 978-1-4181-8285-4.
• John Wesley Young (1930) Projective Geometry , Capitolul 8: Algebra punctelor și introducerea metodelor analitice, Open Court for Mathematical Association of America .