Ecuație liniară - Linear equation

Două grafice de ecuații liniare în două variabile

În matematică , o ecuație liniară este o ecuație care poate fi pusă sub formă

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} + b = 0,}

în cazul în care sunt variabile (sau necunoscute ), și sunt coeficienții , care sunt adesea numere reale . Coeficienții pot fi considerați ca parametri ai ecuației și pot fi expresii arbitrare , cu condiția să nu conțină niciuna dintre variabile. Pentru a produce o ecuație semnificativă, coeficienții sunt necesari pentru a nu fi toți zero. ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle b, a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

Alternativ, o ecuație liniară poate fi obținută prin echivalarea la zero a unui polinom liniar pe un câmp , din care sunt luați coeficienții.

Cele Soluțiile unei astfel de ecuații sunt valorile care, atunci când înlocuiește necunoscutele, fac egalitatea adevărată.

În cazul unei singure variabile, există exact o soluție (cu condiția ca ). Adesea, termenul de ecuație liniară se referă implicit la acest caz particular, în care variabila este numită în mod sensibil necunoscută . ${\ displaystyle a_ {1} \ neq 0}$

În cazul a două variabile, fiecare soluție poate fi interpretată ca coordonatele carteziene ale unui punct al planului euclidian . Soluțiile unei ecuații liniare formează o linie în planul euclidian și, invers, fiecare linie poate fi privită ca ansamblul tuturor soluțiilor unei ecuații liniare în două variabile. Aceasta este originea termenului liniar pentru descrierea acestui tip de ecuații. Mai general, soluțiile unei ecuații liniare în $n$ variabile formează un hiperplan (un subespai de dimensiune $n - 1$ ) în spațiul euclidian al dimensiunii $n$ .

Ecuațiile liniare apar frecvent în toate matematicile și aplicațiile lor în fizică și inginerie , în parte deoarece sistemele neliniare sunt adesea bine aproximate prin ecuații liniare.

Acest articol ia în considerare cazul unei ecuații unice cu coeficienți din câmpul numerelor reale , pentru care se studiază soluțiile reale. Tot conținutul său se aplică soluțiilor complexe și, mai general, ecuațiilor liniare cu coeficienți și soluții în orice domeniu . Pentru cazul mai multor ecuații liniare simultane, a se vedea sistemul de ecuații liniare .

O variabilă

Frecvent termenul de ecuație liniară se referă implicit la cazul unei singure variabile.

În acest caz, ecuația poate fi pusă sub formă

{\ displaystyle ax + b = 0,}

și are o soluție unică

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {a}}}

în cazul general în care $a \neq 0$ . În acest caz, numele necunoscut este dat în mod sensibil variabilei $x$ .

Dacă $a = 0$ , există două cazuri. Fie $b$ este egal cu 0 și fiecare număr este o soluție. În caz contrar, $b \neq 0$ și nu există nicio soluție. În acest din urmă caz, se spune că ecuația este inconsistentă .

Două variabile

În cazul a două variabile, orice ecuație liniară poate fi pusă sub formă

{\ displaystyle ax + by + c = 0,}

unde variabilele sunt $x$ și $y$ , iar coeficienții sunt $a$ , $b$ și $c$ .

O ecuație echivalentă (adică o ecuație cu exact aceleași soluții) este

{\ displaystyle Ax + By = C,}

cu $A = a, B = b$ și $C = - c$

Aceste variante echivalente primesc uneori nume generice, cum ar fi forma generală sau forma standard .

Există alte forme pentru o ecuație liniară (a se vedea mai jos), care pot fi transformate în formă standard cu manipulări algebrice simple, cum ar fi adăugarea aceleiași cantități la ambii membri ai ecuației sau înmulțirea ambilor membri cu aceeași constantă diferită de zero.

Funcție liniară

Dacă $b \neq 0$ , ecuația

{\ displaystyle ax + by + c = 0}

este o ecuație liniară în variabila unică $y$ pentru fiecare valoare a lui $x$ . Prin urmare, are o soluție unică pentru $y$ , care este dată de

{\ displaystyle y = - {\ frac {a} {b}} x - {\ frac {c} {b}}.}

Aceasta definește o funcție . Graficul acestei funcții este o linie cu pantă și $y$ -intercept Funcțiile al căror grafic este o linie sunt , în general , numite liniar funcții în contextul calculului . Cu toate acestea, în algebra liniară , o funcție liniară este o funcție care mapează o sumă la suma imaginilor sumandilor. Deci, pentru această definiție, funcția de mai sus este liniară numai când $c$ $= 0$ , adică atunci când linia trece prin origine. Pentru a evita confuzia, funcțiile al căror grafic este o linie arbitrară sunt deseori numite funcții afine . ${\ displaystyle - {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {c} {b}}.}$

Interpretarea geometrică

Linia verticală a ecuației

x = a

Linia orizontală a ecuației

y = b

Fiecare soluție $(x, y)$ a unei ecuații liniare

{\ displaystyle ax + by + c = 0}

pot fi privite ca coordonatele carteziene ale unui punct din planul euclidian . Cu această interpretare, toate soluțiile ecuației formează o linie , cu condiția ca $a$ și $b$ să nu fie ambele zero. În schimb, fiecare linie este ansamblul tuturor soluțiilor unei ecuații liniare.

Expresia „ecuație liniară” își are originea în această corespondență între linii și ecuații: o ecuație liniară în două variabile este o ecuație ale cărei soluții formează o linie.

Dacă $b \neq 0$ , linia este graficul funcției lui $x$ care a fost definit în secțiunea precedentă. Dacă $b = 0$ , linia este o linie verticală (adică o linie paralelă cu axa- $y$ ) a ecuației care nu este graficul unei funcții a lui $x$ . ${\ displaystyle x = - {\ frac {c} {a}},}$

În mod similar, dacă $a \neq 0$ , linia este graficul unei funcții a lui $y$ și, dacă $a = 0$ , unul are o linie de ecuație orizontală ${\ displaystyle y = - {\ frac {c} {b}}.}$

Ecuația unei linii

Există diferite moduri de a defini o linie. În subsecțiunile următoare, o ecuație liniară a liniei este dată în fiecare caz.

Formă panta – interceptare

O linie non-verticală poate fi definită prin inclinarea $m$ , iar ei $y$ -intercept $y 0$ ( $y$ coordonatei intersecția cu $y$ -axis). În acest caz se poate scrie ecuația sa liniară

{\ displaystyle y = mx + y_ {0}.}

Dacă, în plus, linia nu este orizontală, poate fi definită prin panta și $x$ -interceptul său $x 0$ . În acest caz, ecuația sa poate fi scrisă

{\ displaystyle y = m (x-x_ {0}),}

sau, echivalent,

{\ displaystyle y = mx-mx_ {0}.}

Aceste forme se bazează pe obiceiul de a considera o linie non verticală ca graficul unei funcții . Pentru o linie dată de o ecuație

{\ displaystyle ax + by + c = 0,}

aceste forme pot fi ușor deduse din relații

{\ displaystyle {\ begin {align} m & = - {\ frac {a} {b}}, \\ x_ {0} & = - {\ frac {c} {a}}, \\ y_ {0} & = - {\ frac {c} {b}}. \ end {align}}}

Forma punct-panta

O linie non-verticală poate fi definită prin panta sa $m$ și coordonatele oricărui punct al liniei. În acest caz, o ecuație liniară a liniei este ${\ displaystyle x_ {1}, y_ {1}}$

{\ displaystyle y = y_ {1} + m (x-x_ {1}),}

sau

{\ displaystyle y = mx + y_ {1} -mx_ {1}.}

Această ecuație poate fi, de asemenea, scrisă

{\ displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1})}

pentru a sublinia că panta unei linii poate fi calculată din coordonatele oricăror două puncte.

Formular de interceptare

O linie care nu este paralelă cu o axă și nu trece prin origine taie axele în două puncte diferite. Valorile de interceptare $x 0$ și $y 0$ din aceste două puncte sunt diferite de zero, iar o ecuație a liniei este

{\ displaystyle {\ frac {x} {x_ {0}}} + {\ frac {y} {y_ {0}}} = 1.}

(Este ușor să verificați dacă linia definită de această ecuație are $x 0$ și $y 0$ ca valori de interceptare).

Formă în două puncte

Având în vedere două puncte diferite $(x 1, y 1)$ și $(x 2, y 2)$ , există exact o linie care trece prin ele. Există mai multe moduri de a scrie o ecuație liniară a acestei linii.

Dacă $x 1 \neq x 2$ , panta liniei este Astfel, o formă punct-panta este ${\ displaystyle {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}$

{\ displaystyle y-y_ {1} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} (x-x_ {1}).}

Prin eliminarea numitorilor , se obține ecuația

{\ displaystyle (x_ {2} -x_ {1}) (y-y_ {1}) - (y_ {2} -y_ {1}) (x-x_ {1}) = 0,}

ceea ce este valabil și atunci când $x 1 = x 2$ (pentru a verifica acest lucru, este suficient să se verifice dacă cele două puncte date satisfac ecuația).

Această formă nu este simetrică în cele două puncte date, dar o formă simetrică poate fi obținută prin regruparea termenilor constanți:

{\ displaystyle (y_ {1} -y_ {2}) x + (x_ {2} -x_ {1}) y + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}) = 0}

(schimbarea celor două puncte schimbă semnul din partea stângă a ecuației).

Forma determinantă

Forma în două puncte a ecuației unei linii poate fi exprimată pur și simplu în termeni de determinant . Există două moduri comune pentru asta.

Ecuația este rezultatul extinderii determinantului în ecuație ${\ displaystyle (x_ {2} -x_ {1}) (y-y_ {1}) - (y_ {2} -y_ {1}) (x-x_ {1}) = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} \ end {vmatrix}} = 0. }

Ecuația poate fi obținută prin extinderea determinantului din ecuație față de primul său rând ${\ displaystyle (y_ {1} -y_ {2}) x + (x_ {2} -x_ {1}) y + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}) = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \ end {vmatrix}} = 0.}

Pe lângă faptul că este foarte simplă și mnemonică, această formă are avantajul de a fi un caz special al ecuației mai generale a unui hiperplan care trece prin $n$ puncte într-un spațiu de dimensiune $n - 1$ . Aceste ecuații se bazează pe condiția dependenței liniare a punctelor într-un spațiu proiectiv .

Mai mult de două variabile

O ecuație liniară cu mai mult de două variabile poate fi întotdeauna presupusă a avea forma

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} + b = 0.}

Coeficientul $b$ , des denotat $a 0$ se numește termen constant , uneori termen absolut ,. În funcție de context, termenul coeficientul poate fi rezervat pentru $un i$ cu $i > 0$ .

Când se tratează variabile, este obișnuit să se utilizeze și în loc de variabile indexate. ${\ displaystyle n = 3}$ ${\ displaystyle x, \; y}$ ${\ displaystyle z}$

O soluție a unei astfel de ecuații este o $n-$ tuple astfel încât înlocuirea fiecărui element al tuplului cu variabila corespunzătoare transformă ecuația într-o adevărată egalitate.

Pentru ca o ecuație să fie semnificativă, coeficientul a cel puțin unei variabile trebuie să fie diferit de zero. De fapt, dacă fiecare variabilă are un coeficient zero, atunci, așa cum sa menționat pentru o variabilă, ecuația este fie inconsistentă (pentru $b \neq 0$ ), deoarece nu are nicio soluție, fie toate $n$ -tuplurile sunt soluții.

Cele $n$ -tuples care sunt soluții ale unei ecuații liniare în $n$ variabile sunt coordonatele carteziene ale punctelor unui $(n - 1)$ -dimensional hiperplan într - un $n$ -dimensional spațiu Euclidian (sau spațiul afin dacă coeficienții sunt numere complexe sau aparțin la orice domeniu). În cazul a trei variabile, acest hiperplan este un plan .

Dacă o ecuație liniară este dată cu $un j \neq 0$ , atunci ecuația poate fi rezolvată pentru $x j$ , rezultând

{\ displaystyle x_ {j} = - {\ frac {b} {a_ {j}}} - \ sum _ {i \ in \ {1, \ ldots, n \}, i \ neq j} {\ frac { a_ {i}} {a_ {j}}} x_ {i}.}

Dacă coeficienții sunt numere reale , acesta definește o funcție cu valoare reală a $n$ variabile reale .

Vezi si

Note

Referințe

Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (ediția a XI-a), Upper Saddle River, NJ: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometrie analitică (ediție revizuită), DC Heath

linkuri externe

„Ecuație liniară” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects