Lista numerelor prime și perfecte Mersenne - List of Mersenne primes and perfect numbers

Vizualizarea lui 6 ca număr perfect

Grafic logaritmic al numărului de cifre ale celui mai mare prim cunoscut în funcție de an, aproape toate fiind numere prime Mersenne

Primele Mersenne și numerele perfecte sunt două tipuri de numere naturale profund interconectate în teoria numerelor . Primele Mersenne, numite după călugărul Marin Mersenne , sunt numere prime care pot fi exprimate ca 2 ^p − 1 pentru un număr întreg pozitiv p . De exemplu, 3 este un prim Mersenne, deoarece este un număr prim și este exprimabil ca 2 ² − 1 . Numerele p corespunzătoare numerelor prime Mersenne trebuie să fie ele însele prime, deși nu toate numerele prime p conduc la numere prime Mersenne — de exemplu, 2 ¹¹− 1 = 2047 = 23 × 89 . Între timp, numerele perfecte sunt numere naturale care sunt egale cu suma divizorilor lor proprii pozitivi , care sunt divizori excluzând numărul însuși. Deci, 6 este un număr perfect deoarece divizorii proprii ai lui 6 sunt 1, 2 și 3 și 1 + 2 + 3 = 6 .

Există o corespondență unu-la-unu între numerele prime Mersenne și numerele perfecte pare. Acest lucru se datorează teoremei Euclid–Euler , parțial demonstrată de Euclid și completată de Leonhard Euler : numerele pare sunt perfecte dacă și numai dacă pot fi exprimate sub forma 2 ^{p − 1} × (2 ^p − 1) , unde 2 ^p − 1 este un prim de Mersenne. Cu alte cuvinte, toate numerele care se potrivesc acelei expresii sunt perfecte, în timp ce toate numerele chiar perfecte se potrivesc acelei forme. De exemplu, în cazul lui p = 2 , 2 ² − 1 = 3 este prim, iar 2 ^{2 − 1} × (2 ² − 1) = 2 × 3 = 6 este perfect.

În prezent, este o problemă deschisă dacă există un număr infinit de numere prime Mersenne și chiar numere perfecte. Frecvența primelor Mersenne este subiectul conjecturii Lenstra–Pomerance–Wagstaff , care afirmă că numărul așteptat de numere prime Mersenne mai mici decât unele date x este ( e ^γ / log 2) × log log x , unde e este numărul lui Euler , γ este constanta lui Euler , iar log este logaritmul natural . De asemenea, nu se știe dacă există numere perfecte impare; au fost dovedite diferite condiții privind posibilele numere perfecte impare, inclusiv o limită inferioară de 10 ¹⁵⁰⁰ .

Următoarea este o listă a tuturor numerelor prime și perfecte Mersenne cunoscute în prezent, împreună cu exponenții lor corespunzători p . Începând cu 2022, există 51 de numere prime Mersenne cunoscute (și, prin urmare, numere perfecte), dintre care cele mai mari 17 au fost descoperite de proiectul de calcul distribuit Great Internet Mersenne Prime Search sau GIMPS. Noi numere prime Mersenne sunt găsite folosind testul Lucas-Lehmer (LLT), un test de primalitate pentru numere prime Mersenne care este eficient pentru calculatoarele binare.

Clasamentele afișate se numără printre indicii cunoscuți în prezent începând cu 2022; deși este puțin probabil, rangurile se pot schimba dacă sunt descoperite altele mai mici. Conform GIMPS, toate posibilitățile mai mici decât al 48-lea exponent de lucru p = 57.885.161 au fost verificate și verificate începând cu octombrie 2021. Anul descoperirii și descoperitorul sunt ale primului Mersenne, deoarece numărul perfect urmează imediat teorema Euclid-Euler. Descoperitorii desemnați ca „GIMPS / nume ” se referă la descoperiri GIMPS cu hardware-ul folosit de acea persoană. Intrările ulterioare sunt extrem de lungi, așa că sunt afișate doar primele și ultimele 6 cifre ale fiecărui număr.

Note

Referințe

linkuri externe

• Secvența OEIS A000043 (exponenți corespunzători p )
• Secvența OEIS A000396 (numerele perfecte)
• Secvența OEIS A000668 (prime Mersenne)
• Lista pe GIMPS, cu valorile complete ale numerelor mari
• Un raport tehnic despre istoria numerelor Mersenne, de Guy Haworth