Volatilitate locală - Local volatility

Un model local de volatilitate , în finanțe matematice și inginerie financiară , este unul care tratează volatilitatea ca o funcție atât a nivelului activului actual, cât și a timpului . Ca atare, un model de volatilitate locală este o generalizare a modelului Black-Scholes , unde volatilitatea este o constantă (adică o funcție trivială a și ). ${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S_ {t}}$${\ displaystyle t}$

Formulare

În finanțele matematice , activul S _t care stă la baza unui derivat financiar , se presupune de obicei că urmează o ecuație diferențială stocastică a formei

${\ displaystyle dS_ {t} = (r_ {t} -d_ {t}) S_ {t} \, dt + \ sigma _ {t} S_ {t} \, dW_ {t}}$,

unde este rata instantanee fără risc , oferind o direcție locală medie dinamicii și este un proces Wiener , reprezentând fluxul de întâmplare în dinamică. Amplitudinea acestei întâmplări este măsurată de volatilitatea instantanee . În cel mai simplu model, adică modelul Black – Scholes, se presupune că este constant; în realitate, volatilitatea realizată a unui subiacent variază de fapt cu timpul. ${\ displaystyle r_ {t}}$${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$

Când o astfel de volatilitate are o aleatorie proprie - adesea descrisă printr-o ecuație diferită condusă de un alt W - modelul de mai sus se numește model de volatilitate stocastică . Și când o astfel de volatilitate este doar o funcție a nivelului activului curent S _t și a timpului t , avem un model de volatilitate locală. Modelul de volatilitate locală este o simplificare utilă a modelului de volatilitate stocastică .

„Volatilitatea locală” este astfel un termen utilizat în finanțarea cantitativă pentru a indica setul de coeficienți de difuzie , care sunt în concordanță cu prețurile de piață pentru toate opțiunile pe un anumit suport. Acest model este utilizat pentru a calcula evaluările exotice ale opțiunilor care sunt în concordanță cu prețurile observate ale opțiunilor de vanilie . ${\ displaystyle \ sigma _ {t} = \ sigma (S_ {t}, t)}$

Dezvoltare

Conceptul de volatilitate locală a fost dezvoltat atunci când Bruno Dupire și Emanuel Derman și Iraj Kani au observat că există un proces unic de difuzare, în concordanță cu densitățile neutre din punct de vedere al riscului derivate din prețurile de piață ale opțiunilor europene.

Derman și Kani au descris și implementat o funcție de volatilitate locală pentru a modela volatilitatea instantanee. Aceștia au folosit această funcție la fiecare nod dintr-un model de tarifare a opțiunilor binomiale . Arborele a produs cu succes evaluări ale opțiunilor în concordanță cu toate prețurile de pe piață la greve și expirări. Modelul Derman-Kani a fost astfel formulat cu pași discreți de timp și prețul acțiunilor. (Derman și Kani au produs ceea ce se numește un „ arbore binomial implicit ”; cu Neil Chriss au extins acest lucru la un arbore trinomial implicit . Procesul de montare a arborelui binomial implicit a fost instabil din punct de vedere numeric.)

Ecuațiile cheie în timp continuu utilizate în modelele locale de volatilitate au fost dezvoltate de Bruno Dupire în 1994. Stările ecuației lui Dupire

${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial T}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (K, T; S_ {0}) K ^ {2} { \ frac {\ partial ^ {2} C} {\ partial K ^ {2}}} - (rd) K {\ frac {\ partial C} {\ partial K}} - dC}$

Pentru a calcula derivatele parțiale, există puține parametrizări cunoscute ale suprafeței de volatilitate implicite pe baza modelului Heston: Schönbucher, SVI și gSVI. Alte tehnici includ amestec de distribuție lognormală și colocare stocastică.

Derivare

Având în vedere prețul activului reglementat de SDE neutru din punct de vedere al riscului ${\ displaystyle S_ {t}}$

${\ displaystyle dS_ {t} = (rd) S_ {t} dt + \ sigma (t, S_ {t}) S_ {t} dW_ {t}}$

Probabilitatea de tranziție condiționată să satisfacă ecuația Kolmogorov directă (cunoscută și sub numele de ecuația Fokker-Planck ) ${\ displaystyle p (t, S_ {t})}$${\ displaystyle S_ {0}}$

${\ displaystyle p_ {t} = - [(rd) s \, p] _ {s} + {\ frac {1} {2}} [(\ sigma s) ^ {2} p] _ {ss}}$

Datorită teoremei prețurilor Martingale , prețul unei opțiuni de achiziție cu scadență și greutate este ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ begin {align} C & = e ^ {- rT} \ mathbb {E} ^ {Q} [(S_ {T} -K) ^ {+}] \\ & = e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} (sK) \, p \, ds \\ & = e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} s \, p \, ds-K \, e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} p \, ds \ end {align}}}$

Diferențierea prețului unei opțiuni de apel în raport cu ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle C_ {K} = - e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} pds}$

și înlocuirea în formula pentru prețul unei opțiuni de apel și rearanjarea termenilor

${\ displaystyle e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} s \, p \, ds = CK \, C_ {K}}$

Diferențierea prețului unei opțiuni de apel față de două ori ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle C_ {KK} = e ^ {- rT} p}$

Diferențierea prețului unei opțiuni de cumpărare în raport cu randamentele ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle C_ {T} = - r \, C + e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} (sK) p_ {T} ds}$

folosind ecuația Forward Kolmogorov

${\ displaystyle C_ {T} = - r \, Ce ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} (sK) [(rd) s \, p] _ {s} \, ds + {\ frac {1} {2}} e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} (sK) [(\ sigma s) ^ {2} \, p] _ {ss} \, ds}$

integrând pe părți prima integrală o dată și a doua integrală de două ori

${\ displaystyle C_ {T} = - r \, C + (rd) e ^ {- rT} \ int _ {K} ^ {\ infty} s \, p \, ds + {\ frac {1} {2}} e ^ {- rT} (\ sigma K) ^ {2} \, p}$

folosind formulele derivate diferențierea prețului unei opțiuni de apel în raport cu ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ begin {align} C_ {T} & = - r \, C + (rd) (CK \, C_ {K}) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} K ^ {2} C_ {KK} \\ & = - (rd) K \, C_ {K} -d \, C + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} K ^ {2} C_ {KK} \ end {align}}}$

Utilizare

Modelele de volatilitate locală sunt utile în orice piață de opțiuni în care volatilitatea suportului este predominant o funcție a nivelului instrumentelor derivate subiacente, de rată a dobânzii, de exemplu. Volatilitățile locale invariante în timp sunt presupuse a fi incompatibile cu dinamica indicelui de capital propriu implicat, dar vezi Crepey, S (2004). „Risc Vega de acoperire a deltei”. Finanțe cantitative . 4 (5): 559-579. doi : 10.1080 / 14697680400000038 ., care susține că astfel de modele oferă cea mai bună acoperire medie pentru opțiunile de indice de capitaluri proprii. Modelele de volatilitate locală sunt totuși utile în formularea modelelor de volatilitate stocastică .

Modelele de volatilitate locală au o serie de caracteristici atractive. Deoarece singura sursă de întâmplare este prețul acțiunilor, modelele locale de volatilitate sunt ușor de calibrat. Sunt dezvoltate numeroase metode de calibrare pentru a face față proceselor McKean-Vlasov, inclusiv cea mai utilizată abordare a particulelor și a binelor. De asemenea, acestea conduc la piețe complete în care acoperirea se poate baza numai pe activul suport. Abordarea generală non-parametrică a lui Dupire este totuși problematică, deoarece trebuie să pre-interpolați arbitrar suprafața de volatilitate implicită de intrare înainte de a aplica metoda. Au fost propuse abordări parametrice alternative, în special modelele dinamice de volatilitate locală cu amestec foarte tratabil de Damiano Brigo și Fabio Mercurio .

Deoarece în modelele de volatilitate locală volatilitatea este o funcție deterministă a prețului aleatoriu al acțiunilor, modelele de volatilitate locală nu sunt foarte bine utilizate pentru a prețui opțiunile de clic sau opțiunile de pornire înainte , ale căror valori depind în mod specific de natura aleatorie a volatilității în sine.

Referințe

1. Carol Alexander (2004). „Difuzie normală a amestecului cu volatilitate incertă: modelarea efectelor de zâmbet pe termen scurt și lung”. Journal of Banking & Finance . 28 (12).