Finanțe matematice - Mathematical finance

Finanța matematică , cunoscută și sub denumirea de finanțare cantitativă și matematică financiară , este un domeniu al matematicii aplicate , preocupat de modelarea matematică a piețelor financiare . Vezi Analist cantitativ .

În general, există două ramuri separate ale finanțelor care necesită tehnici cantitative avansate: prețurile instrumentelor derivate pe de o parte și gestionarea riscurilor și a portofoliului pe de altă parte. Finanțele matematice se suprapun puternic cu domeniile finanțelor computaționale și ingineriei financiare . Acesta din urmă se concentrează pe aplicații și modelare, adesea prin ajutorul modelelor stocastice de active , în timp ce primul se concentrează, pe lângă analize, pe construirea instrumentelor de implementare pentru modele. De asemenea, este legată investiția cantitativă , care se bazează pe modele statistice și numerice (și în ultimul timp învățarea automată ), spre deosebire de analiza fundamentală tradițională atunci când gestionează portofolii ; vezi și tranzacționarea algoritmică .

Matematicianul francez Louis Bachelier este considerat autorul primei lucrări științifice despre finanțe matematice, publicată în 1900. Dar finanțele matematice au apărut ca disciplină în anii 1970, în urma lucrărilor lui Fischer Black , Myron Scholes și Robert Merton privind teoria prețurilor opțiunilor. Investițiile matematice provin din cercetările matematicianului Edward Thorp, care a folosit metode statistice pentru a inventa mai întâi numărarea cardurilor în blackjack și apoi a aplicat principiile sale investițiilor sistematice moderne.

Subiectul are o relație strânsă cu disciplina economiei financiare , care este preocupată de o mare parte din teoria de bază care este implicată în matematica financiară. În general, finanțarea matematică va obține și extinde modelele matematice sau numerice fără a stabili neapărat o legătură cu teoria financiară, luând drept intrare prețurile de piață observate. Este necesară consistența matematică, nu compatibilitatea cu teoria economică. Astfel, de exemplu, în timp ce un economist financiar ar putea studia motivele structurale pentru care o companie poate avea un anumit preț al acțiunii , un matematician financiar poate lua prețul acțiunii ca dat și poate încerca să utilizeze calculul stocastic pentru a obține valoarea corespunzătoare a instrumentelor derivate ale stocul . A se vedea: Evaluarea opțiunilor ; Modelare financiară ; Prețul activelor . Teorema fundamentală a tarifării arbitraj liber este una dintre teoremele cheie în finanțe matematică, în timp ce Black-Scholes ecuația și formula sunt printre cele mai importante rezultate.

Astăzi, multe universități oferă programe de diplomă și cercetare în finanțe matematice.

Istorie: Q versus P

Există două ramuri separate ale finanțelor care necesită tehnici cantitative avansate: stabilirea prețurilor instrumentelor derivate și gestionarea riscurilor și a portofoliului. Una dintre diferențele principale este că utilizează probabilități diferite, cum ar fi probabilitatea de risc neutru (sau probabilitatea de stabilire a prețurilor de arbitraj), notată cu „Q”, și probabilitatea reală (sau actuarială), notată cu „P”.

Prețul instrumentelor derivate: lumea Q

Lumea Q

Poartă	„extrapolează prezentul”
Mediu inconjurator	probabilitate neutră a riscului ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
Procese	martingale în timp continuu
Dimensiune	scăzut
Instrumente	Calcul itō, PDE
Provocări	calibrare
Afaceri	partea de vânzare

Scopul prețului instrumentelor derivate este de a determina prețul corect al unui anumit titlu în termeni de titluri mai lichide al căror preț este determinat de legea cererii și ofertei . Înțelesul „echitabil” depinde, desigur, de dacă se ia în considerare cumpărarea sau vânzarea garanției. Exemple de titluri de preț sunt opțiunile simple vanilie și exotice , obligațiunile convertibile etc.

Odată ce a fost stabilit un preț corect, comerciantul de vânzare poate face o piață cu titlul. Prin urmare, prețul instrumentelor derivate este un exercițiu complex de „extrapolare” pentru a defini valoarea actuală de piață a unui titlu, care este apoi utilizată de comunitatea de vânzare. Prețul cantitativ al derivaților a fost inițiat de Louis Bachelier în Teoria speculației ("Théorie de la spéculation", publicat în 1900), cu introducerea celui mai de bază și cel mai influent proces, mișcarea browniană și aplicațiile sale la prețul opțiunilor . Mișcarea browniană este derivată folosind ecuația lui Langevin și mersul discret aleatoriu . Bachelier a modelat seria temporală a modificărilor logaritmului prețurilor acțiunilor ca o mers aleatoriu în care modificările pe termen scurt au avut o varianță finită . Acest lucru face ca modificările pe termen lung să urmeze o distribuție gaussiană .

Teoria a rămas latentă până când Fischer Black și Myron Scholes , împreună cu contribuțiile fundamentale ale lui Robert C. Merton , au aplicat al doilea proces cel mai influent, mișcarea browniană geometrică , la stabilirea prețurilor opțiunilor . Pentru aceasta, M. Scholes și R. Merton au primit Premiul Nobel pentru Științe Economice din 1997 . Black a fost neeligibil pentru premiu din cauza morții sale în 1995.

Următorul pas important a fost teorema fundamentală a stabilirii prețurilor activelor de Harrison și Pliska (1981), conform căreia prețul actual normalizat corespunzător P ₀ al unei garanții este liber de arbitraj și, prin urmare, cu adevărat corect numai dacă există un proces stochastic P _t cu valoare constantă așteptată care descrie evoluția sa viitoare:

${\ displaystyle P_ {0} = \ mathbf {E} _ {0} (P_ {t})}$

( 1 )

Un proces care satisface ( 1 ) este numit „ martingale ”. O martingală nu recompensează riscul. Astfel, probabilitatea procesului normalizat al prețului de securitate este numită „neutră din punct de vedere al riscului” și este de obicei denotată de litera fontului „ ”. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Relația ( 1 ) trebuie să se mențină pentru toate timpurile t: prin urmare, procesele utilizate pentru stabilirea prețurilor derivatelor sunt stabilite în mod natural în timp continuu.

Cei expertii care operează în lumea Q a derivatelor de tarifare sunt specialiști cu cunoștințe profunde a produselor specifice pe care le model.

Valorile mobiliare au prețuri individuale și, prin urmare, problemele din lumea Q sunt de natură redusă. Calibrarea este una dintre principalele provocări ale lumii Q: odată ce un proces parametric în timp continuu a fost calibrat la un set de valori mobiliare tranzacționate printr-o relație precum ( 1 ), o relație similară este utilizată pentru a defini prețul noilor instrumente derivate.

Principalele instrumente cantitative necesare pentru gestionarea proceselor Q în timp continuu sunt calculul stocastic Itô , simularea și ecuațiile diferențiale parțiale (PDE).

Gestionarea riscurilor și a portofoliului: lumea P.

Lumea P.

Poartă	„modelează viitorul”
Mediu inconjurator	probabilitatea lumii reale ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$
Procese	serii discrete în timp
Dimensiune	mare
Instrumente	statistici multivariate
Provocări	estimare
Afaceri	partea de cumpărare

Gestionarea riscurilor și a portofoliului vizează modelarea distribuției probabilității derivate din punct de vedere statistic a prețurilor de piață ale tuturor titlurilor la un orizont de investiții dat.
Această distribuție de probabilitate „reală” a prețurilor de piață este de obicei denotată de litera fontului tablă „ ”, spre deosebire de „probabilitatea” „ neutră a riscului” „utilizată în stabilirea prețurilor instrumentelor derivate. Pe baza distribuției P, comunitatea de cumpărare ia decizii cu privire la ce valori mobiliare să cumpere pentru a îmbunătăți profilul de profit și pierdere potențial al pozițiilor lor considerate ca un portofoliu. Din ce în ce mai mult, elementele acestui proces sunt automatizate; vezi Schița finanțelor § Investiții cantitative pentru o listă de articole relevante. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Pentru munca lor de pionierat, Markowitz și Sharpe , împreună cu Merton Miller , au împărțit Premiul Nobel pentru științe economice din 1990 , pentru prima dată acordat vreodată pentru o muncă în domeniul finanțelor.

Activitatea de selecție a portofoliului Markowitz și Sharpe a introdus matematica în gestionarea investițiilor . Cu timpul, matematica a devenit mai sofisticată. Datorită lui Robert Merton și Paul Samuelson, modelele cu o perioadă au fost înlocuite cu timp continuu, modele cu mișcare browniană , iar funcția de utilitate pătratică implicită în optimizarea varianței medii a fost înlocuită cu funcții de utilitate concavă, în creștere mai generale. Mai mult, în ultimii ani accentul s-a deplasat către riscul estimării, adică pericolele presupunerii incorecte că analiza avansată a seriilor temporale poate furniza estimări complet precise ale parametrilor pieței.

S-au depus multe eforturi în studiul piețelor financiare și a modului în care prețurile variază în funcție de timp. Charles Dow , unul dintre fondatorii Dow Jones & Company și The Wall Street Journal , a enunțat un set de idei pe această temă, care acum sunt numite Teoria Dow . Aceasta este baza așa-numitei metode de analiză tehnică a încercării de a prezice schimbările viitoare. Unul dintre principiile „analizei tehnice” este că tendințele pieței oferă o indicație a viitorului, cel puțin pe termen scurt. Afirmațiile analiștilor tehnici sunt contestate de mulți academicieni.

Critică

De-a lungul anilor, au fost dezvoltate modele matematice din ce în ce mai sofisticate și strategii de stabilire a prețurilor derivate, dar credibilitatea lor a fost afectată de criza financiară din 2007-2010 . Practica contemporană a finanțelor matematice a fost supusă criticilor din partea personalităților din domeniu, în special de Paul Wilmott și de Nassim Nicholas Taleb , în cartea sa The Black Swan . Taleb susține că prețurile activelor financiare nu pot fi caracterizate prin modelele simple utilizate în prezent, ceea ce face ca cea mai mare parte a practicii actuale să fie, în cel mai bun caz, irelevante și, în cel mai rău caz, în mod periculos înșelătoare. Wilmott și Emanuel Derman au publicat Manifestul modelatorilor financiari în ianuarie 2009, care abordează unele dintre cele mai serioase preocupări. Organisme precum Institutul pentru o nouă gândire economică încearcă acum să dezvolte noi teorii și metode.

În general, modelarea modificărilor prin distribuții cu varianță finită este, din ce în ce mai mult, considerată a fi inadecvată. În anii 1960 a fost descoperit de Benoit Mandelbrot că modificările prețurilor nu urmează o distribuție gaussiană , ci sunt mai degrabă modelate mai bine de distribuțiile alfa- stabile Lévy . Scara schimbării sau volatilității depinde de lungimea intervalului de timp până la o putere puțin mai mare de 1/2. Schimbările mari în sus sau în jos sunt mai probabil decât ceea ce s-ar calcula folosind o distribuție gaussiană cu o deviație standard estimată . Dar problema este că nu rezolvă problema, deoarece face parametrizarea mult mai dificilă și controlul riscurilor mai puțin fiabil.

Vezi si

Instrumente matematice

Prețul instrumentelor derivate

Modelarea portofoliului

Alte

Note

Lecturi suplimentare

• Nicole El Karoui , „Viitorul matematicii financiare” , ParisTech Review , 6 septembrie 2013
• Harold Markowitz , „Portfolio Selection”, The Journal of Finance , 7, 1952, pp. 77–91
• Attilio Meucci , „„ P versus Q ”: Diferențe și comunități între cele două domenii ale finanțelor cantitative” , GARP Risk Professional , februarie 2011, pp. 41–44
• William F. Sharpe , Investiții , Prentice-Hall, 1985