Cadrul Heath – Jarrow – Morton - Heath–Jarrow–Morton framework

Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) cadru este un cadru general pentru a modela evoluția ratei dobânzii curbe - instantanee curbele ratei forward , în special , (spre deosebire de simple , ratele forward ). Când se presupune că volatilitatea și deriva ratei directe instantanee sunt deterministe , acest lucru este cunoscut sub numele de modelul Gaussian Heath – Jarrow – Morton (HJM) al ratelor forward. Pentru modelarea directă a ratei directe simple, modelul Brace – Gatarek – Musiela reprezintă un exemplu.

Cadrul HJM își are originea în activitatea lui David Heath , Robert A. Jarrow și Andrew Morton de la sfârșitul anilor 1980, în special prețurile obligațiunilor și structura termenului ratelor dobânzii: o nouă metodologie (1987) - document de lucru, Universitatea Cornell și Bond prețurile și structura termenului ratelor dobânzii: o nouă metodologie (1989) - document de lucru (ediție revizuită), Universitatea Cornell. Cu toate acestea, are criticii săi, cu Paul Wilmott descriindu-l ca fiind „... de fapt doar un covor mare pentru care [greșelile] să fie măturate”.

Cadru

Cheia acestor tehnici este recunoașterea faptului că derivațiile evoluției fără arbitraj ale anumitor variabile pot fi exprimate ca funcții ale volatilității lor și corelații între ele. Cu alte cuvinte, nu este necesară estimarea derivei.

Modelele dezvoltate în conformitate cu cadrul HJM sunt diferite de așa-numitele modele cu rată scurtă în sensul că modelele de tip HJM surprind întreaga dinamică a întregii curbe a ratei înainte , în timp ce modelele cu rată scurtă surprind doar dinamica unui punct pe curbă (rata scurtă).

Cu toate acestea, modelele dezvoltate conform cadrului general HJM sunt adesea non- markoviene și pot avea chiar dimensiuni infinite. O serie de cercetători au adus mari contribuții la rezolvarea acestei probleme. Acestea arată că, dacă structura de volatilitate a ratelor forward îndeplinește anumite condiții, atunci un model HJM poate fi exprimat în întregime printr-un sistem Markovian de stare finită, ceea ce îl face fezabil din punct de vedere computerizat. Exemplele includ un model cu un singur factor, cu două stări (O. Cheyette, "Dinamica structurii termenului și evaluarea ipotecii", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken și L. Sankarasubramanian în "Structuri de volatilitate ale ratelor forward și dinamica of Term Structure ", Mathematical Finance , 5, No. 1, ianuarie 1995), și mai târziu versiuni cu mai mulți factori.

Formularea matematică

Clasa de modele dezvoltată de Heath, Jarrow și Morton (1992) se bazează pe modelarea ratelor forward, dar nu surprinde toate complexitățile unei structuri de termeni în evoluție.

Modelul începe prin introducerea cursului forward instantanee , care este definită ca rata de amestecare continuă disponibile la ora văzută din timp . Relația dintre prețurile obligațiunilor și rata forward este, de asemenea, furnizată în felul următor: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, T)}$${\ displaystyle \ textstyle t \ leq T}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

${\ displaystyle P (t, T) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} f (t, s) ds}}$

Iată prețul unei obligațiuni cu cupon zero care plătește 1 USD la scadență . Contul pieței monetare fără risc este, de asemenea, definit ca ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle T \ geq t}$

${\ displaystyle \ beta (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} f (u, u) du}}$

Această ultimă ecuație ne permite să definim rata scurtă fără risc. Cadrul HJM presupune că dinamica unei măsuri de stabilire a prețurilor neutre în raport cu riscul este următoarea: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, t) \ triangleq r (t)}$${\ displaystyle \ textstyle f (t, s)}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle df (t, s) = \ mu (t, s) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) dW_ {t}}$

În cazul în care este un -dimensional proces Wiener și , sunt procese adaptate . Acum, pe baza acestor dinamici pentru , vom încerca să găsim dinamica și să găsim condițiile care trebuie îndeplinite în conformitate cu regulile de stabilire a prețurilor neutre din punct de vedere al riscului. Să definim următorul proces: ${\ displaystyle \ textstyle W_ {t}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ mu (u, s)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (u, s)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}} _ {u}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle P (t, s)}$

${\ displaystyle Y_ {t} \ triangleq \ log P (t, s) = - \ int _ {t} ^ {s} f (t, u) du}$

Dinamica lui poate fi obținută prin regula lui Leibniz : ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} & = f (t, t) dt- \ int _ {t} ^ {s} df (t, u) du \\ & = r_ {t} dt- \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) dtdu- \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t} du \ end { aliniat}}}$

Dacă definim , și să presupunem că condițiile pentru Teorema lui Fubini sunt îndeplinite în formula pentru dinamica , obținem: ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) du}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) du}$${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

${\ displaystyle dY_ {t} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}$

După lema lui Itō , dinamica este atunci: ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$

${\ displaystyle {\ frac {dP (t, s)} {P (t, s)}} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {* T} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}$

Însă trebuie să fie o martingală în cadrul măsurii de stabilire a prețurilor , așa că avem nevoie de asta . Diferențiat acest lucru în ceea ce privește obținem: ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (t, s)} {\ beta (t)}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {* T}}$${\ displaystyle \ textstyle s}$

${\ displaystyle \ mu (t, u) = {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) \ int _ {t} ^ {u} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {T } ds}$

Ceea ce ne spune în cele din urmă că dinamica trebuie să aibă următoarea formă: ${\ displaystyle \ textstyle f}$

${\ displaystyle df (t, u) = \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) \ int _ {t} ^ {u} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {T} ds \ right) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t}}$

Ceea ce ne permite să prețuim obligațiunile și instrumentele derivate ale ratei dobânzii pe baza alegerii noastre . ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

Vezi si

• Modelul Black – Derman – Toy
• Modelul Brace – Gatarek – Musiela
• Modelul Chen
• Model Cheyette
• Modelul Ho – Lee
• Model Hull – White

Referințe

Note

Surse

• Heath, D., Jarrow, R. și Morton, A. (1990). Prețurile obligațiunilor și structura pe termen a ratelor dobânzii: o aproximare discretă în timp . Jurnalul de analiză financiară și cantitativă , 25: 419-440.
• Heath, D., Jarrow, R. și Morton, A. (1991). Evaluarea creanțelor contingente cu o evoluție aleatorie a ratelor dobânzii . Revizuirea piețelor futures , 9: 54-76.
• Heath, D., Jarrow, R. și Morton, A. (1992). Prețurile obligațiunilor și structura pe termen a ratelor dobânzii: o nouă metodologie de evaluare a creanțelor contingente . Econometrica , 60 (1): 77-105. doi : 10.2307 / 2951677
• Robert Jarrow (2002). Modelarea valorilor mobiliare cu venituri fixe și a opțiunilor ratei dobânzii (ediția a doua). Stanford Economics and Finance. ISBN   0-8047-4438-6

Lecturi suplimentare

• Copaci non-stufoși pentru modelele Gaussian HJM și Lognormal Forward , Prof. Alan Brace, Universitatea de Tehnologie din Sydney
• Modelul structurii termenului Heath-Jarrow-Morton , Prof. Don Chance EJ Ourso College of Business , Louisiana State University
• Recombinarea copacilor pentru modele unidimensionale de rată înainte , Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu - National-Louis University și Jaroslaw Kolakowski
• Implementarea structurii termenului fără arbitraj a modelelor ratei dobânzii în timp discret când ratele dobânzii sunt distribuite în mod normal , Dwight M Grant și Gautam Vora. Jurnalul veniturilor fixe martie 1999, vol. 8, nr. 4: pp. 85-98
• Modelul Heath – Jarrow – Morton și aplicația sa , Vladimir I Pozdynyakov, Universitatea din Pennsylvania
• Un studiu empiric al proprietăților de convergență ale arborelui ratei forward HJM nerecombinante în derivate ale ratei dobânzii de stabilire a prețurilor , AR Radhakrishnan New York University
• Modelarea ratelor dobânzii cu Heath, Jarrow și Morton. Dr. Donald van Deventer, Kamakura Corporation :
  • Cu un singur factor și volatilitate dependentă de maturitate
  • Cu un singur factor și rata și volatilitatea dependentă de maturitate
  • Cu doi factori și volatilitate dependentă de rata și maturitate
  • Cu trei factori și volatilitate dependentă de rata și maturitate