Model cu rată scurtă - Short-rate model

Un model cu rată scurtă , în contextul instrumentelor derivate pe rata dobânzii , este un model matematic care descrie evoluția viitoare a ratelor dobânzii prin descrierea evoluției viitoare a ratei scurte , de obicei scrisă . ${\ displaystyle r_ {t} \,}$

Rata scurtă

În cadrul unui model de rată scurtă, variabila stării stochastice este considerată a fi rata instantanee spot . Rata scurtă , deci, este rata dobânzii ( continuu compusă , anualizată) la care o entitate poate împrumuta bani pentru o perioadă de timp infinit de scurtă din timp . Specificarea ratei scurte curente nu specifică întreaga curbă a randamentului . Cu toate acestea, nici un -arbitraj argumente arată că, în anumite condiții tehnice destul de relaxat, dacă vom modela evoluția ca un proces stocastic în cadrul unei măsuri neutre la risc , atunci prețul la momentul unei obligațiuni cu cupon zero maturare la timp , cu un câștig din 1 este dat de ${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle P (t, T) = \ operatorname {E} ^ {Q} \ left [\ left. \ exp {\ left (- \ int _ {t} ^ {T} r_ {s} \, ds \ right)} \ right | {\ mathcal {F}} _ {t} \ right],}$

unde este filtrarea naturală pentru proces. Ratele dobânzii implicate de obligațiunile cu cupon zero formează o curbă a randamentului sau, mai exact, o curbă zero. Astfel, specificarea unui model pentru rata scurtă specifică prețurile viitoare ale obligațiunilor. Aceasta înseamnă că ratele de transmitere instantanee sunt, de asemenea, specificate prin formula obișnuită ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle f (t, T) = - {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ ln (P (t, T)).}$

Modele speciale cu rată scurtă

De-a lungul acestei secțiuni reprezintă un standard de mișcare browniană sub un neutru la risc măsură de probabilitate și sa diferențială . În cazul în care modelul este lognormal , se presupune că o variabilă urmează un proces Ornstein-Uhlenbeck și se presupune că urmează . ${\ displaystyle W_ {t} \,}$${\ displaystyle dW_ {t} \,}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle r_ {t} = \ exp {X_ {t}} \,}$

Modele cu rată scurtă cu un singur factor

Urmează modelele cu un singur factor, în care un singur factor stocastic - rata scurtă - determină evoluția viitoare a tuturor ratelor dobânzii. În afară de Rendleman – Bartter și Ho – Lee, care nu surprind inversarea medie a ratelor dobânzii, aceste modele pot fi considerate ca fiind cazuri specifice ale proceselor Ornstein – Uhlenbeck. Modelele Vasicek, Rendleman – Bartter și CIR au doar un număr finit de parametri liberi și, prin urmare, nu este posibil să se specifice aceste valori ale parametrilor în așa fel încât modelul să coincidă cu prețurile de piață observate („calibrare”). Această problemă este depășită permițând parametrilor să varieze deterministic în timp. În acest fel, Ho-Lee și modelele ulterioare pot fi calibrate pe date de piață, ceea ce înseamnă că acestea pot returna exact prețul obligațiunilor care cuprind curba randamentului. Implementarea se face de obicei printr-un arbore ( binomial ) cu rată scurtă sau prin simulare; a se vedea modelul Lattice (finanțare) § Instrumentele derivate ale ratei dobânzii și metodele Monte Carlo pentru stabilirea prețurilor opțiunilor .

1. Modelul lui Merton (1973) explică rata scurtă ca : unde este o mișcare browniană unidimensională sub măsura martingalei spot . ${\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} + la + \ sigma W_ {t} ^ {*}}$${\ displaystyle W_ {t} ^ {*}}$
2. Modelul Vasicek (1977) modelează rata scurtă ca ; este adesea scris . ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alpha r_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
3. Modelul Rendleman-Bartter (1980) explică rata scurtă . ${\ displaystyle dr_ {t} = \ theta r_ {t} \, dt + \ sigma r_ {t} \, dW_ {t}}$
4. Modelul Cox – Ingersoll – Ross (1985) presupune că este adesea scris . De se opune unei factorului ( în general) , posibilitatea de a ratelor dobânzilor negative. ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alpha r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}}}$
5. Modelul Ho-Lee (1986) modele rata de scurt . ${\ displaystyle dr_ {t} = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
6. Modelul Hull – White (1990) - numit și modelul Vasicek extins - prezintă . În multe prezentări, unul sau mai mulți parametri și nu sunt dependenți de timp. Modelul poate fi aplicat și ca lognormal. Implementarea bazată pe rețele este de obicei trinomială . ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta _ {t} - \ alpha r_ {t}) \, dt + \ sigma _ {t} \, dW_ {t}}$${\ displaystyle \ theta, \ alpha}$${\ displaystyle \ sigma}$
7. Modelul Black – Derman – Toy (1990) are o volatilitate a ratei scurte dependente de timp și altele; modelul este lognormal. ${\ displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t} + {\ frac {\ sigma '_ {t}} {\ sigma _ {t}}} \ ln (r)] dt + \ sigma _ { t} \, dW_ {t}}$${\ displaystyle d \ ln (r) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
8. Modelul Black – Karasinski (1991), care este lognormal, are . Modelul poate fi văzut ca aplicația lognormală a lui Hull-White; implementarea sa bazată pe rețele este în mod similar trinomială (binom care necesită pași de timp variați). ${\ displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t} - \ phi _ {t} \ ln (r)] \, dt + \ sigma _ {t} \, dW_ {t}}$
9. Modelul Kalotay – Williams – Fabozzi (1993) are rata scurtă ca un analog lognormal cu modelul Ho – Lee și un caz special al modelului Black – Derman – Toy. Această abordare este efectiv similară cu „modelul original Salomon Brothers ” (1987), de asemenea o variantă lognormală pe Ho-Lee. ${\ displaystyle d \ ln (r_ {t}) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

Modele cu rată scurtă multi-factor

În afară de modelele cu un singur factor de mai sus, există și modele cu factori multipli ai ratei scurte, printre care cele mai cunoscute sunt modelul cu doi factori Longstaff și Schwartz și modelul cu trei factori Chen (numit și „media stocastică și modelul de volatilitate stocastică” ). Rețineți că, în scopul gestionării riscurilor, „pentru a crea simulări realiste ale ratei dobânzii ”, aceste modele cu mai mulți factori cu rate scurte sunt uneori preferate față de modelele cu un singur factor, deoarece produc scenarii care sunt, în general, mai bune „în concordanță cu realitatea reală mișcările curbei randamentului ".

• Modelul Longstaff – Schwartz (1992) presupune că dinamica ratei scurte este dată de

${\ displaystyle {\ begin {align} dX_ {t} & = (a_ {t} -bX_ {t}) \, dt + {\ sqrt {X_ {t}}} \, c_ {t} \, dW_ {1t }, \\ [3pt] dY_ {t} & = (d_ {t} -eY_ {t}) \, dt + {\ sqrt {Y_ {t}}} \, f_ {t} \, dW_ {2t}, \ end {align}}}$

unde rata scurtă este definită ca

${\ displaystyle dr_ {t} = (\ mu X + \ theta Y) \, dt + \ sigma _ {t} {\ sqrt {Y}} \, dW_ {3t}.}$

• Modelul Chen (1996), care are o medie stocastică și o volatilitate a ratei scurte, este dat de

${\ displaystyle {\ begin {align} dr_ {t} & = (\ theta _ {t} - \ alpha _ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma _ {t } \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ alpha _ {t} & = (\ zeta _ {t} - \ alpha _ {t}) \, dt + {\ sqrt {\ alpha _ {t} }} \, \ sigma _ {t} \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ sigma _ {t} & = (\ beta _ {t} - \ sigma _ {t}) \, dt + { \ sqrt {\ sigma _ {t}}} \, \ eta _ {t} \, dW_ {t}. \ end {align}}}$

Alte modele ale ratei dobânzii

Celălalt cadru major pentru modelarea ratei dobânzii este cadrul Heath – Jarrow – Morton (HJM). Spre deosebire de modelele cu rată scurtă descrise mai sus, această clasă de modele este în general non-markoviană. Acest lucru face ca modelele generale HJM să nu poată fi soluționate din punct de vedere computeristic în majoritatea scopurilor. Marele avantaj al modelelor HJM este că oferă o descriere analitică a întregii curbe a randamentului, mai degrabă decât doar rata scurtă. În anumite scopuri (de exemplu, evaluarea valorilor mobiliare garantate cu ipotecă), aceasta poate fi o simplificare importantă. Modelele Cox – Ingersoll – Ross și Hull – White într-una sau mai multe dimensiuni pot fi ambele exprimate direct în cadrul HJM. Alte modele cu rată scurtă nu au nicio reprezentare simplă dublă HJM.

Cadrul HJM cu multiple surse de aleatoriu, inclusiv la fel ca modelul Brace – Gatarek – Musiela și modelele de piață , este adesea preferat pentru modelele de dimensiuni superioare.

Modelele bazate pe rata umbră a lui Fischer Black sunt utilizate atunci când ratele dobânzii se apropie de limita inferioară zero .

Vezi si

• Atribuirea venitului fix

Referințe

Lecturi suplimentare

• Martin Baxter și Andrew Rennie (1996). Calcul financiar . Cambridge University Press . ISBN   978-0-521-55289-9 .
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modele ale ratei dobânzii - Teorie și practică cu zâmbet, inflație și credit (ediția a II-a ediția 2006). Springer Verlag. ISBN   978-3-540-22149-4 .
• Gerald Buetow și James Sochacki (2001). Modele de structură pe termen folosind arbori binomiali . Fundația de cercetare a AIMR ( CFA Institute ). ISBN   978-0-943205-53-3 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modele de dobândă - o introducere . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-11894-9 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modele de dobândă ; intrare în Enciclopedia științei actuariale . John Wiley și Sons . 2004. ISBN   978-0-470-84676-6 .
• KC Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaff și Anthony Sanders (1992). O comparație empirică a modelelor alternative ale ratei dobânzii pe termen scurt (PDF) . Journal of Finance , Vol. XLVII, nr. 3 iulie 1992. CS1 maint: mai multe nume: lista autorilor ( link )
• Lin Chen (1996). Dinamica ratei dobânzii, prețurile instrumentelor derivate și gestionarea riscurilor . Springer . ISBN   978-3-540-60814-1 .
• Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant și Denis Talay (1999). Modelarea structurii termenului ratelor dobânzii: o prezentare generală . The Journal of Risk, 1 (3): 37-62, 1999.
• Lane Hughston (2003). Trecutul, prezentul și viitorul modelării structurii termenului ; intrare în Peter Field (2003). Managementul modern al riscurilor . Cărți de risc. ISBN   9781906348304 .
• Jessica James și Nick Webber (2000). Modelarea ratei dobânzii . Wiley Finance . ISBN   978-0-471-97523-6 .
• Robert Jarrow (2002). Modelarea valorilor mobiliare cu venituri fixe și a opțiunilor ratei dobânzii (ediția a II-a) . Stanford Economics and Finance. ISBN   978-0-8047-4438-6 .
• Robert Jarrow (2009). „Structura termenului ratelor dobânzii” . Revizuirea anuală a economiei financiare . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146 / annurev.financial.050808.114513 .
• FC Park (2004). „Implementarea modelelor de dobândă: un ghid practic” (PDF) . Publicație de cercetare CMPR . Arhivat din original (PDF) la 16.08.2010.
• Riccardo Rebonato (2002). Prețul modern al instrumentelor derivate la dobândă . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-08973-7 .
• Riccardo Rebonato (2003). „Modele de structură pe termen: o recenzie” (PDF) . Document de lucru al Centrului de cercetare cantitativă Royal Bank of Scotland .