Mandelbulb - Mandelbulb

Mandelbulb este un tri-dimensională de fractal , construit pentru prima dată în 1997 de către Jules Ruis și în 2009 , dezvoltat în continuare de Daniel Alb și Paul Nylander folosind coordonate sferice .

Un canonic 3-dimensional set Mandelbrot nu există, deoarece nu există nici un analog 3-dimensională a spațiului 2-dimensional al numerelor complexe. Este posibil să construim seturi Mandelbrot în 4 dimensiuni folosind cuaternioane și numere bicomplexe .

Formula lui Ruis pentru „a n- a putere” a vectorului din ℝ ³ este de a vedea la http://www.fractal.org/Formula-Mandelbulb.pdf${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ langle x, y, z \ rangle}$

Termenul de exponențiere poate fi definit prin: {x, y, z} ^ n = (r ^ n) {cos (n * φ) * cos (n * θ), sin (n * φ) * cos (n * θ ), sin (n * θ)} unde r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) și r1 = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)

După cum definim θ ca unghiul în spațiul z-r1 și φ ca unghiul în spațiul xy, atunci θ = atan2 (z / r1) deci θ = atan2 (z / sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)) și φ = atan2 (y / x)

Termenul de adunare în z -> z ^ n + c este similar cu adunarea complexă standard și este pur și simplu definit prin: (x, y, z} + {a, b, c) = {x + a, y + b, z + c} Restul algoritmului este similar cu Mandelbrot 2D!

Rezumat Formula 3D Mandelbulb, Juliusbulb și Juliabulb

r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = atan2 (z / sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)

φ = atan2 (y / x)

newx = (r ^ n) * cos (n * φ) * cos (n * θ)

newy = (r ^ n) * sin (n * φ) * cos (n * θ)

newz = (r ^ n) * sin (n * θ)

unde n este ordinea lui Mandelbulb 3D, Juliusbulb / Juliabulb.

Formula cvadratică

Alte formule provin din identități care parametrizează suma pătratelor pentru a da o putere a sumei pătratelor, cum ar fi

${\ displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} + (2xz) ^ {2} + (2xy) ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2},}$

la care ne putem gândi ca o modalitate de a păstra un triplet de numere astfel încât modulul să fie pătrat. Deci, aceasta oferă, de exemplu,

${\ displaystyle x \ to x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} + x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ to 2xz + y_ {0},}$

${\ displaystyle z \ to 2xy + z_ {0}}$

sau diverse alte permutări. Această formulă „pătratică” poate fi aplicată de mai multe ori pentru a obține multe formule de putere-2.

Formula cubică

Alte formule provin din identități care parametrizează suma pătratelor pentru a da o putere a sumei pătratelor, cum ar fi

${\ displaystyle (x ^ {3} -3xy ^ {2} -3xz ^ {2}) ^ {2} + (y ^ {3} -3yx ^ {2} + yz ^ {2}) ^ {2} + (z ^ {3} -3zx ^ {2} + zy ^ {2}) ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3},}$

la care ne putem gândi ca o modalitate de a cubica un triplet de numere, astfel încât modulul să fie cubizat. Deci, aceasta oferă, de exemplu,

${\ displaystyle x \ to x ^ {3} -3x (y ^ {2} + z ^ {2}) + x_ {0}}$

${\ displaystyle y \ to -y ^ {3} + 3yx ^ {2} -yz ^ {2} + y_ {0}}$

${\ displaystyle z \ to z ^ {3} -3zx ^ {2} + zy ^ {2} + z_ {0}}$

sau alte permutări.

Aceasta se reduce la fractalul complex atunci când z  = 0 și când y  = 0. ${\ displaystyle w \ to w ^ {3} + w_ {0}}$${\ displaystyle w \ to {\ overline {w}} ^ {3} + w_ {0}}$

Există mai multe moduri de a combina două astfel de transformări „cubice” pentru a obține o transformare power-9, care are o structură puțin mai mare.

Formula quintică

O altă modalitate de a crea bulbi Mandel cu simetrie cubică este luând formula de iterație complexă pentru un număr întreg m și adăugând termeni pentru ao face simetrică în 3 dimensiuni, dar păstrând secțiunile transversale pentru a fi aceeași fractală bidimensională. (Cele 4 provin din faptul că .) De exemplu, să luăm cazul . În două dimensiuni, unde , acesta este ${\ displaystyle z \ to z ^ {4m + 1} + z_ {0}}$${\ displaystyle i ^ {4} = 1}$${\ displaystyle z \ to z ^ {5} + z_ {0}}$${\ displaystyle z = x + iy}$

${\ displaystyle x \ to x ^ {5} -10x ^ {3} y ^ {2} + 5xy ^ {4} + x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ to y ^ {5} -10y ^ {3} x ^ {2} + 5yx ^ {4} + y_ {0}.}$

Acest lucru poate fi apoi extins la trei dimensiuni pentru a da

${\ displaystyle x \ to x ^ {5} -10x ^ {3} (y ^ {2} + Ayz + z ^ {2}) + 5x (y ^ {4} + By ^ {3} z + Cy ^ {2} z ^ {2} + Byz ^ {3} + z ^ {4}) + Dx ^ {2} yz (y + z) + x_ {0},}$

${\ displaystyle y \ to y ^ {5} -10y ^ {3} (z ^ {2} + Axz + x ^ {2}) + 5y (z ^ {4} + Bz ^ {3} x + Cz ^ {2} x ^ {2} + Bzx ^ {3} + x ^ {4}) + Dy ^ {2} zx (z + x) + y_ {0},}$

${\ displaystyle z \ to z ^ {5} -10z ^ {3} (x ^ {2} + Axy + y ^ {2}) + 5z (x ^ {4} + Bx ^ {3} y + Cx ^ {2} y ^ {2} + Bxy ^ {3} + y ^ {4}) + Dz ^ {2} xy (x + y) + z_ {0}}$

pentru constantele arbitrare A , B , C și D , care dau diferite bulbi Mandel (de obicei setate la 0). Cazul oferă un Mandelbulb cel mai asemănător cu primul exemplu, unde n  = 9. Un rezultat mai plăcut pentru a cincea putere se obține bazându-l pe formula . ${\ displaystyle z \ to z ^ {9}}$${\ displaystyle z \ to -z ^ {5} + z_ {0}}$

Formula puterii nouă

Această fractală are secțiuni transversale ale fractalului de putere Mandelbrot-9. Are 32 de becuri mici care răsar din sfera principală. Este definit de exemplu,

${\ displaystyle x \ to x ^ {9} -36x ^ {7} (y ^ {2} + z ^ {2}) + 126x ^ ​​{5} (y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} -84x ^ {3} (y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3} + 9x (y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {4} + x_ {0} ,}$

${\ displaystyle y \ to y ^ {9} -36y ^ {7} (z ^ {2} + x ^ {2}) + 126y ^ {5} (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2} -84y ^ {3} (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3} + 9y (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {4} + y_ {0} ,}$

${\ displaystyle z \ to z ^ {9} -36z ^ {7} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 126z ^ {5} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -84z ^ {3} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {3} + 9z (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {4} + z_ {0} .}$

Aceste formule pot fi scrise într-un mod mai scurt:

${\ displaystyle x \ to {\ frac {1} {2}} \ left (x + i {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ right) ^ {9} + {\ frac {1} {2}} \ left (xi {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ right) ^ {9} + x_ {0}}$

și echivalent pentru celelalte coordonate.

Formula sferică

O formulă sferică perfectă poate fi definită ca o formulă

${\ displaystyle (x, y, z) \ to {\ big (} f (x, y, z) + x_ {0}, g (x, y, z) + y_ {0}, h (x, y , z) + z_ {0} {\ big)},}$

Unde

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {n} = f (x, y, z) ^ {2} + g (x, y, z) ^ { 2} + h (x, y, z) ^ {2},}$

unde f , g și h sunt n trinomiale raționale de putere a n -a și n este un număr întreg. Fractalul cub de mai sus este un exemplu.

Utilizări în mass-media

• În filmul animat de computer Big Hero 6 din 2014 , punctul culminant are loc în mijlocul unei găuri de vierme , care este reprezentată de interiorul stilizat al unui Mandelbulb.
• În filmul de groază științifico-fantastic Annihilation din 2018 , o ființă extraterestră apare sub forma unui Mandelbulb parțial.
• În webcomicul Unsounded , tărâmul spiritual al lui kerht este reprezentat de un bulb de aur stilizat.

Vezi si

• Mandelbox
• Lista fractalelor după dimensiunea Hausdorff

Referințe

6. http://www.fractal.org Navigatorul Fractal de Jules Ruis

linkuri externe

• pentru prima utilizare a formulei Mandelbulb pe site-ul www.fractal.org Jules Ruis
• Mandelbulb: Unraveling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, pe site-ul lui Daniel White
• Mai multe variante ale Mandelbulb, pe site-ul lui Paul Nylander
• Un randator open source fractal care poate fi folosit pentru a crea imagini cu Mandelbulb
• Formula pentru Mandelbulb / Juliabulb / Juliusbulb de Jules Ruis
• Mandelbulb / Juliabulb / Juliusbulb cu exemple de obiecte 3D reale
• Video: Vizualizare a Mandelbulb
• Firul de discuție din Fractalforums.com care a dus la Mandelbulb
• Videoclip zboară printr-o lume animată Mandelbulb