Martingale (sistem de pariuri) - Martingale (betting system)
O martingală este o clasă de strategii de pariere care au apărut și au fost populare în Franța secolului al XVIII-lea . Cea mai simplă dintre aceste strategii a fost concepută pentru un joc în care jucătorul câștigă miza dacă o monedă vine în cap și pierde dacă vine cu coada. Strategia a făcut ca jucătorul să dubleze pariul după fiecare pierdere, astfel încât prima victorie să recupereze toate pierderile anterioare plus să câștige un profit egal cu miza inițială. Astfel strategia este o instanțiere a paradoxului de la Sankt Petersburg .
Din moment ce un parior va aproape sigur în cele din urmă capete de flip , strategia de pariuri Martingale este sigur de a face bani pentru gambler cu condiția ca acestea să aibă bogăție infinită și nu există nici o limită privind banii câștigați într - un singur pariu. Cu toate acestea, niciun jucător nu are o bogăție infinită, iar creșterea exponențială a pariurilor poate falimenta jucătorii nefericiți care au ales să folosească martingala, provocând o pierdere catastrofală. În ciuda faptului că jucătorul câștigă de obicei o mică recompensă netă, parând astfel să aibă o strategie solidă, valoarea așteptată a jucătorului rămâne zero, deoarece probabilitatea mică ca jucătorul să sufere o pierdere catastrofală se echilibrează exact cu câștigul așteptat. Într-un cazinou, valoarea așteptată este negativă, datorită avantajului casei. În plus, deoarece probabilitatea unui șir de pierderi consecutive apare mai des decât sugerează intuiția obișnuită, strategiile de martingale pot falimenta rapid un jucător.
Strategia martingalei a fost aplicată și ruletei , deoarece probabilitatea de a lovi roșu sau negru este aproape de 50%.
Analiza intuitivă
Motivul fundamental pentru care toate sistemele de pariere de tip martingale eșuează este acela că nicio cantitate de informații despre rezultatele pariurilor anterioare nu poate fi utilizată pentru a prezice rezultatele unui pariu viitor cu o precizie mai bună decât șansa. În terminologia matematică, aceasta corespunde presupunerii că rezultatele câștigului-pierdere ale fiecărui pariu sunt variabile aleatorii independente și distribuite identic , o ipoteză valabilă în multe situații realiste. Din această ipoteză rezultă că valoarea așteptată a unei serii de pariuri este egală cu suma, peste toate pariurile care ar putea apărea în serie, a valorii așteptate a unui pariu potențial de ori probabilitatea ca jucătorul să facă pariul respectiv. În majoritatea jocurilor de cazino, valoarea așteptată a oricărui pariu individual este negativă, deci și suma multor numere negative va fi întotdeauna negativă.
Strategia martingale eșuează chiar și cu un timp de oprire nelimitat, atâta timp cât există o limită a câștigurilor sau a pariurilor (lucru valabil și în practică). Doar cu bogăția, pariurile și timpul nelimitat se poate argumenta că martingala devine o strategie câștigătoare .
Analiza matematică
Imposibilitatea de a câștiga pe termen lung, având în vedere o limită a dimensiunii pariurilor sau o limită a mărimii propriului bankroll sau a liniei de credit, este dovedită de teorema opririi opționale .
Cu toate acestea, fără aceste limite, strategia de pariere martingale este sigură că va aduce bani jucătorului, deoarece șansa ca cel puțin o monedă să se întoarcă se apropie de una pe măsură ce numărul de monede se apropie de infinit.
Analiza matematică a unei singure runde
Să fie definită o rundă ca o succesiune de pierderi consecutive urmate fie de o victorie, fie de falimentul jucătorului. După o victorie, jucătorul „resetează” și se consideră că a început o nouă rundă. O secvență continuă de pariuri martingale poate fi astfel împărțită într-o secvență de runde independente. Urmează o analiză a valorii așteptate a unei runde.
Fie q probabilitatea de a pierde (de ex. Pentru ruleta americană dublă zero, este 20/38 pentru un pariu pe negru sau roșu). Fie B suma de pariu inițial. Fie n numărul finit de pariuri pe care jucătorul își poate permite să le piardă.
Probabilitatea ca jucătorul să piardă toate n pariurile este q n . Când toate pariurile pierd, pierderea totală este
Probabilitatea ca jucătorul să nu piardă toate n pariurile este de 1 - q n . În toate celelalte cazuri, jucătorul câștigă pariul inițial ( B. ) Astfel, profitul așteptat pe rundă este
Ori de câte ori q > 1/2, expresia 1 - (2 q ) n <0 pentru toate n > 0. Astfel, pentru toate jocurile în care un jucător are mai multe șanse să piardă decât să câștige un pariu dat, se așteaptă ca jucătorul să piardă bani, în medie, la fiecare rundă. Creșterea dimensiunii pariului pentru fiecare rundă pentru sistemul martingale servește doar la creșterea pierderii medii.
Să presupunem că un jucător are un bankroll de 63 de unități. Jucătorul ar putea paria 1 unitate la prima rotire. La fiecare pierdere, pariul este dublat. Astfel, luând k ca număr de pierderi consecutive precedente, jucătorul va paria întotdeauna 2 k unități.
Cu o victorie la orice rotire dată, jucătorul va câștiga 1 unitate peste suma totală pariată până la acel moment. Odată ce această victorie este atinsă, jucătorul repornește sistemul cu un pariu de 1 unitate.
Cu pierderi la toate primele șase rotiri, jucătorul pierde în total 63 de unități. Acest lucru epuizează bankroll-ul și martingala nu poate fi continuată.
În acest exemplu, probabilitatea de a pierde întregul bankroll și de a nu putea continua martingala este egală cu probabilitatea de 6 pierderi consecutive: (10/19) 6 = 2,1256%. Probabilitatea de a câștiga este egală cu 1 minus probabilitatea de a pierde de 6 ori: 1 - (10/19) 6 = 97,8744%.
Suma așteptată câștigată este (1 × 0,978744) = 0,978744.
Suma așteptată pierdută este (63 × 0,021256) = 1,339118.
Astfel, valoarea totală așteptată pentru fiecare aplicație a sistemului de pariuri este (0,978744 - 1,339118) = −0,360374.
Într-o circumstanță unică, această strategie poate avea sens. Să presupunem că jucătorul posedă exact 63 de unități, dar are nevoie disperată de un total de 64. Presupunând q > 1/2 (este un cazinou real) și poate plasa pariuri doar la cote egale, cea mai bună strategie a sa este jocul îndrăzneț : la fiecare rotire, el ar trebui să parieze cea mai mică sumă astfel încât, dacă câștigă, își atinge ținta imediat, iar dacă nu are suficient pentru asta, ar trebui să parieze pur și simplu totul. În cele din urmă, fie se aruncă, fie își atinge ținta. Această strategie îi oferă o probabilitate de 97,8744% de a atinge obiectivul de a câștiga o unitate față de o șansă de 2,1256% de a pierde toate cele 63 de unități, iar aceasta este cea mai bună probabilitate posibilă în această circumstanță. Cu toate acestea, jocul îndrăzneț nu este întotdeauna strategia optimă pentru a avea cea mai mare șansă posibilă de a mări un capital inițial la o anumită sumă dorită. Dacă jucătorul poate paria în mod arbitrar sume mici la cote arbitrare lungi (dar totuși cu aceeași pierdere așteptată de 10/19 din miza la fiecare pariu) și poate plasa un singur pariu la fiecare rotire, atunci există strategii cu peste 98% șansa de a-și atinge scopul, iar aceștia folosesc un joc foarte timid, cu excepția cazului în care jucătorul este aproape să-și piardă tot capitalul, caz în care trece la un joc extrem de îndrăzneț.
Analiza matematică alternativă
Analiza anterioară calculează valoarea așteptată , dar putem pune o altă întrebare: care este șansa ca cineva să poată juca un joc de cazinou folosind strategia martingale și să evite șirul de pierderi suficient de mult pentru a dubla banii.
La fel ca înainte, acest lucru depinde de probabilitatea de a pierde 6 rotiri la ruletă la rând, presupunând că mizăm pe roșu / negru sau par / impar. Mulți jucători cred că șansele de a pierde 6 la rând sunt îndepărtate și că, odată cu respectarea de către pacient a strategiei, își vor crește încetul cu încetul.
În realitate, șansele unei serii de 6 pierderi la rând sunt mult mai mari decât cred mulți oameni intuitiv. Studiile psihologice au arătat că, din moment ce oamenii știu că șansele de a pierde de 6 ori la rând din 6 jocuri sunt mici, presupun în mod incorect că într-un șir mai lung de jocuri, șansele sunt, de asemenea, foarte mici. De fapt, în timp ce șansa de a pierde de 6 ori la rând în 6 jocuri este relativ mică de 1,5%, probabil de a pierde de 6 ori la rând (adică a întâmpina o serie de 6 pierderi) la un moment dat în timpul unui șir de 200 de jocuri este de aproximativ 95%. Chiar dacă jucătorul poate tolera pariurile de ~ 1.000 de ori pariul inițial, o serie de 10 pierderi la rând are o șansă de ~ 17% să apară într-un șir de 200 de jocuri. O astfel de serie de pierderi ar șterge probabil pariorul, deoarece 10 pierderi consecutive folosind strategia martingale înseamnă o pierdere de 1.023 ori pariul inițial.
Aceste probabilități riscante neintuitiv ridică cerința de bankroll pentru pariurile martingale pe termen lung „sigure” la numere infesibil de mari. Pentru a avea o șansă de sub 10% să nu reușească să supraviețuiască unei serii de pierderi lungi în timpul a 5.000 de jocuri, pariorul trebuie să aibă suficient pentru a dubla pariurile pentru 16 pierderi (o șansă de ~ 7% să apară în timpul a 5.000 de jocuri). Aceasta înseamnă că pariorul trebuie să aibă peste 131.000 (2 ^ 16-1 pentru cele 16 pierderi și 2 ^ 16 pentru pariul câștigător final de 17 ori) de dimensiunea pariului inițial. Astfel, un jucător care face pariuri de 10 USD ar dori să aibă peste 1,3 milioane de dolari în bancroll (și să aibă în continuare o șansă de ~ 7% de a pierde totul în timpul a 5.000 de jocuri).
Când oamenii sunt rugați să inventeze date care să reprezinte 200 de aruncări de monede, adesea nu adaugă dungi mai mari de 5, deoarece consideră că aceste dungi sunt foarte puțin probabil. Această credință intuitivă este uneori denumită euristică de reprezentativitate .
Anti-martingale
Într-un stil clasic de pariere la martingale, jucătorii cresc pariurile după fiecare pierdere, în speranța că o eventuală victorie va recupera toate pierderile anterioare. Abordarea anti-martingală, cunoscută și sub numele de martingala inversă, mărește în schimb pariurile după victorii, reducându-le în același timp după o pierdere. Percepția este că jucătorul va beneficia de o serie câștigătoare sau de o „mână fierbinte”, reducând în același timp pierderile în timp ce este „rece” sau altfel va avea o serie de pierderi. Deoarece pariurile individuale sunt independente una de cealaltă (și de așteptările jucătorului), conceptul „câștigului” câștigător este doar un exemplu de eroare a jucătorului , iar strategia anti-martingale nu reușește să câștige bani. Dacă, pe de altă parte, randamentele stocului din viața reală sunt corelate în serie (de exemplu, din cauza ciclurilor economice și a reacției întârziate la știrile participanților mai mari pe piață), „dungile” de câștiguri sau pierderi se întâmplă mai des și sunt mai lungi decât cele sub proces pur aleatoriu, strategia anti-martingale s-ar putea aplica teoretic și poate fi utilizată în sistemele de tranzacționare (ca tendință de urmărire sau „dublare”).