Singularitate (matematică) - Singularity (mathematics)

În matematică , o singularitate este un punct în care un anumit obiect matematic nu este definit sau un punct în care obiectul matematic încetează să se comporte bine într-un anumit mod, cum ar fi lipsa diferențialității sau analiticității .

De exemplu, funcția reală

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

are o singularitate la , unde valoarea numerică a funcției se apropie, astfel încât funcția să nu fie definită. Valoarea absolută Funcția are de asemenea o singularitate la $x$ $= 0$ , deoarece nu este diferențiabilă acolo. ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle g (x) = | x |}$

Curba algebrică definită de în sistemul de coordonate are o singularitate (numită cuspida ) la . Pentru singularități în geometria algebrică , vezi punctul singular al unei varietăți algebrice . Pentru singularități în geometria diferențială , a se vedea teoria singularității . ${\ displaystyle \ left \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

Analiză reală

În analiza reală , singularitățile sunt fie discontinuități , fie discontinuități ale derivatei (uneori și discontinuități ale derivatelor de ordin superior). Există patru tipuri de discontinuități: tipul I , care are două subtipuri, și tipul II , care poate fi, de asemenea, împărțit în două subtipuri (deși, de obicei, nu este).

Pentru a descrie modul în care sunt utilizate aceste două tipuri de limite, să presupunem că este o funcție a unui argument real , și pentru orice valoare a argumentului său, să zicem , atunci stîngaci limită , iar limita de dreptaci , sunt definit de: ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$

{\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

, constrâns de și

{\ displaystyle x <c}

{\ displaystyle f (c ^ {+}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

, constrâns de .

{\ displaystyle x> c}

Valoarea este valoarea spre care tinde funcția pe măsură ce valoarea se apropie de jos , iar valoarea este valoarea către care tinde funcția pe măsură ce valoarea se apropie de sus , indiferent de valoarea reală pe care o are funcția în punctul în care . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x = c}$

Există unele funcții pentru care aceste limite nu există deloc. De exemplu, funcția

{\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}

nu tinde spre nimic ca abordări . Limitele în acest caz nu sunt infinite, ci mai degrabă nedefinite : nu există nicio valoare care să se stabilească pe. Împrumutând din analize complexe, aceasta este uneori numită o singularitate esențială . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c = 0}$ ${\ displaystyle g (x)}$

Cazurile posibile la o valoare dată pentru argument sunt următoarele. ${\ displaystyle c}$

Un punct de continuitate este o valoare pentru care , așa cum se așteaptă o funcție lină. Toate valorile trebuie să fie finite. Dacă nu este un punct de continuitate, atunci apare o discontinuitate la . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$
O discontinuitate de tip I apare atunci când ambele și există și sunt finite, dar se aplică cel puțin una dintre următoarele trei condiții: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ;
- ${\ displaystyle f (x)}$ nu este definit pentru cazul ; sau ${\ displaystyle x = c}$
- ${\ displaystyle f (c)}$ are o valoare definită, care, totuși, nu se potrivește cu valoarea celor două limite.
Discontinuitățile de tip I pot fi distinse în continuare ca fiind unul dintre următoarele subtipuri:
- O discontinuitate de salt apare atunci când , indiferent dacă este definită, și indiferent de valoarea acesteia dacă este definită. ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
- O discontinuitate amovibilă apare atunci când , de asemenea, indiferent dacă este definită și indiferent de valoarea acesteia dacă este definită (dar care nu se potrivește cu cea a celor două limite). ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
O discontinuitate de tip II apare atunci când oricare sau nu există (posibil ambele). Acesta are două subtipuri, care de obicei nu sunt considerate separat: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- O discontinuitate infinită este cazul special când limita mâinii stângi sau a mâinii drepte nu există, în special pentru că este infinită, iar cealaltă limită este, de asemenea, infinită, sau este un număr finit bine definit. Cu alte cuvinte, funcția are o discontinuitate infinită atunci când graficul său are o asimptotă verticală .
- O singularitate esențială este un termen împrumutat din analiza complexă (vezi mai jos). Acesta este cazul când una sau cealaltă limitează sau nu există, dar nu pentru că este o discontinuitate infinită . Singularitățile esențiale nu abordează nicio limită, chiar dacă răspunsurile valide sunt extinse pentru a include . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

În analiza reală, o singularitate sau discontinuitate este o proprietate a unei funcții. Orice singularități care pot exista în derivata unei funcții sunt considerate ca aparținând derivatei, nu funcției originale.

Coordonează singularitățile

O singularitate de coordonate apare atunci când apare o singularitate sau discontinuitate aparentă într-un cadru de coordonate, care poate fi eliminat alegând un cadru diferit. Un exemplu în acest sens este singularitatea aparentă la latitudinea de 90 de grade în coordonate sferice . Un obiect care se deplasează spre nord (de exemplu, de-a lungul liniei 0 grade longitudine) pe suprafața unei sfere va experimenta brusc o schimbare instantanee de longitudine la pol (în cazul exemplului, sărind de la 0 longitudine la 180 de grade longitudine) . Această discontinuitate este însă evidentă; este un artefact al sistemului de coordonate ales, care este singular la poli. Un alt sistem de coordonate ar elimina discontinuitatea aparentă (de exemplu, prin înlocuirea reprezentării latitudine / longitudine cu o reprezentare $n$ -vector ).

Analiza complexă

În analiza complexă , există mai multe clase de singularități. Acestea includ singularitățile izolate, singularitățile neizolate și punctele ramificate.

Singularități izolate

Să presupunem că U este un subset deschis al numerelor complexe C , cu punctul a fiind un element al lui U și că f este o funcție complexă diferențiată definită pe unele vecinătăți din jurul a , excluzând a : U \ { a }, atunci:

Punctul a este o singularitate detașabilă a f dacă există o funcție holomorfă g definită pe toate U astfel încât f ( z ) = g ( z ) pentru toate z din U \ { a }. Funcția g este un înlocuitor continuu pentru funcția f .
Punctul a este un pol sau o singularitate neesențială a lui f dacă există o funcție holomorfă g definită pe U cu g ( a ) diferită de zero și un număr natural n astfel încât f ( z ) = g ( z ) / ( z - a ) ⁿ pentru toate z din U \ { a }. Cel mai mic astfel de număr n se numește ordinul polului . Derivatul la o singularitate neesențială în sine are o singularitate neesențială, cu n mărit cu 1 (cu excepția cazului în care n este 0, astfel încât singularitatea să fie eliminabilă).
Punctul a este o singularitate esențială a lui f dacă nu este nici o singularitate detașabilă, nici un pol. Punctul A este o singularitate esențială dacă și numai dacă seria Laurent are infinit de multe puteri de grad negativ.

Singularități neizolate

În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe ale unei variabile pot prezenta un alt comportament singular. Acestea sunt denumite singularități neizolate, dintre care există două tipuri:

Puncte cluster : puncte limită ale singularităților izolate. Dacă toți sunt poli, în ciuda admiterii extinderilor seriei Laurent pe fiecare dintre ele, atunci nu este posibilă o astfel de extindere la limita sa.
Limite naturale : orice set neizolat (de ex. O curbă) pe care funcțiile nu pot fi continuate analitic în jurul lor (sau în afara lor dacă sunt curbe închise în sfera Riemann ).

Puncte de ramură

Punctele de ramificare sunt în general rezultatul unei funcții cu mai multe valori , cum ar fi sau , care sunt definite într-un anumit domeniu limitat, astfel încât funcția să poată fi realizată cu o singură valoare în cadrul domeniului. Decuparea este o linie sau curbă exclusă din domeniu pentru a introduce o separare tehnică între valorile discontinue ale funcției. Atunci când tăierea este cu adevărat necesară, funcția va avea valori distinct diferite de fiecare parte a tăieturii ramurii. Forma tăieturii de ramură este o chestiune de alegere, chiar dacă trebuie să conecteze două puncte de ramificare diferite (cum ar fi și pentru ) care sunt fixate în loc. ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$

Singularitate în timp finit

Funcția reciprocă , care prezintă o creștere hiperbolică .

O singularitate în timp finit apare atunci când o variabilă de intrare este timpul și o variabilă de ieșire crește spre infinit la un timp finit. Acestea sunt importante în cinematică și PDE ( ecuații diferențiale parțiale ) - infinitele nu apar fizic, dar comportamentul în apropierea singularității este adesea de interes. Din punct de vedere matematic, cele mai simple singularități în timp finit sunt legile puterii pentru diferiți exponenți a căror formă este cea mai simplă creștere hiperbolică , unde exponentul este (negativ) 1: Mai precis, pentru a obține o singularitate în timp pozitiv pe măsură ce timpul avansează ( deci ieșirea crește la infinit), se folosește în schimb (folosind t pentru timp, inversând direcția la, astfel încât timpul să crească la infinit și mutând singularitatea înainte de la 0 la un timp fix ). ${\ displaystyle x ^ {- \ alpha},}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle -t}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$

Un exemplu ar fi mișcarea de săritură a unei bile inelastice pe un plan. Dacă este luată în considerare mișcarea idealizată, în care aceeași fracțiune de energie cinetică se pierde la fiecare săritură, frecvența săriturilor devine infinită, deoarece mingea ajunge să se odihnească într-un timp finit. Alte exemple de singularități în timp finit includ diferitele forme ale paradoxului Painlevé (de exemplu, tendința unei crete de a sări atunci când este trasă pe o tablă) și modul în care rata de precesiune a unei monede răsucite pe o suprafață plană accelerează spre infinit - înainte de oprirea bruscă (așa cum s-a studiat folosind jucăria Euler’s Disk ).

Exemple ipotetice includ „ ecuația Doomsday ” a lui Heinz von Foerster (modelele simpliste produc o populație umană infinită în timp finit).

Geometrie algebrică și algebră comutativă

În geometria algebrică , o singularitate a unui soi algebric este un punct al soiului în care spațiul tangent nu poate fi definit în mod regulat. Cel mai simplu exemplu de singularități sunt curbele care se încrucișează. Dar există și alte tipuri de singularități, cum ar fi cuspizii . De exemplu, ecuația $y 2 - x 3 = 0$ definește o curbă care are o vârf la originea $x = y = 0$ . S-ar putea defini axa $x$ ca tangentă în acest moment, dar această definiție nu poate fi aceeași cu definiția din alte puncte. De fapt, în acest caz, axa $x$ este o „dublă tangentă”.

Pentru soiurile afine și proiective , singularitățile sunt punctele în care matricea iacobiană are un rang mai mic decât în alte puncte ale soiului.

Se poate da o definiție echivalentă în termeni de algebră comutativă , care se extinde la varietăți și scheme abstracte : Un punct este singular dacă inelul local din acest punct nu este un inel local obișnuit .

Languages

In other projects