Net (poliedru) - Net (polyhedron)
În geometrie , o rețea a unui poliedru este un aranjament de poligoane îmbinate la margine care nu se suprapun în plan, care poate fi pliat (de-a lungul marginilor) pentru a deveni fețele poliedrului. Plasele poliedrice sunt un ajutor util pentru studierea poliedrelor și a geometriei solide în general, deoarece permit construirea modelelor fizice ale poliedrelor din materiale precum cartonul subțire.
Un exemplu timpuriu de plase poliedrice apare în lucrările lui Albrecht Dürer , a cărui carte din 1525 Un curs în arta măsurării cu busolă și conducător ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) a inclus plase pentru solidele platonice și mai multe dintre solidele arhimediene. . Aceste construcții au fost numite pentru prima dată plase în 1543 de Augustin Hirschvogel .
Existența și unicitatea
Multe plase diferite pot exista pentru un poliedru dat, în funcție de alegerile dintre care margini sunt unite și care sunt separate. Marginile care sunt tăiate dintr-un poliedru convex pentru a forma o plasă trebuie să formeze un copac care acoperă poliedrul, dar tăierea unor copaci care se întind pot face ca poliedrul să se suprapună pe sine atunci când este desfăcut, mai degrabă decât să formeze o plasă. Dimpotrivă, o plasă dată se poate plia în mai mult de un poliedru convex diferit, în funcție de unghiurile la care marginile sale sunt pliate și alegerea marginilor de lipit împreună. Dacă o plasă este dată împreună cu un model pentru lipirea marginilor sale, astfel încât fiecare vârf al formei rezultate să aibă un defect unghiular pozitiv și astfel încât suma acestor defecte să fie exact 4 π , atunci există neapărat exact un poliedru care poate fi împăturită din ea; aceasta este teorema unicității lui Alexandrov . Cu toate acestea, poliedrul format în acest mod poate avea fețe diferite față de cele specificate ca parte a rețelei: unele dintre poligoanele rețelei pot avea pliuri peste ele, iar unele dintre marginile dintre poligoanele rețelei pot rămâne desfăcute. În plus, aceeași plasă poate avea mai multe modele de lipire valide, ceea ce duce la poliedre diferite îndoite.
Fiecare poliedru convex are o desfășurare simplă a muchiei?
În 1975, GC Shephard a întrebat dacă fiecare poliedru convex are cel puțin o plasă sau o simplă desfășurare a muchiei. Această întrebare, cunoscută și sub denumirea de conjectura lui Dürer sau problema desfășurării lui Dürer, rămâne fără răspuns. Există poliedre neconvexe care nu au plase și este posibil să se subdivizeze fețele fiecărui poliedru convex (de exemplu de-a lungul unui locus tăiat ) astfel încât mulțimea fețelor subdivizate să aibă o plasă. În 2014, Mohammad Ghomi a arătat că fiecare poliedru convex admite o plasă după o transformare afină . Mai mult, în 2019, Barvinok și Ghomi au arătat că o generalizare a conjecturii lui Dürer eșuează pentru pseudo margini , adică o rețea de geodezice care conectează vârfurile poliedrului și formează un grafic cu fețe convexe.
O întrebare deschisă legată întreabă dacă fiecare net al unui poliedru convex are o înflorit , o mișcare continuă , non-self-intersectându din apartamentul său de la starea sa pliată care păstrează fiecare apartament cu fața în întreaga mișcare.
Cea mai scurtă cale
Cea mai scurtă cale peste suprafața dintre două puncte de pe suprafața unui poliedru corespunde unei linii drepte pe o plasă adecvată pentru subsetul fețelor atinse de cale. Plasa trebuie să fie astfel încât linia dreaptă să fie pe deplin înăuntrul ei și poate fi necesar să luați în considerare mai multe plase pentru a vedea care oferă cea mai scurtă cale. De exemplu, în cazul unui cub , dacă punctele sunt pe fețele adiacente, un candidat pentru cea mai scurtă cale este calea care traversează marginea comună; cea mai scurtă cale de acest fel se găsește folosind o plasă unde cele două fețe sunt, de asemenea, adiacente. Alți candidați pentru cea mai scurtă cale sunt prin suprafața unei a treia fețe adiacente ambelor (dintre care există două), iar plasele corespunzătoare pot fi folosite pentru a găsi cea mai scurtă cale din fiecare categorie.
Problema păianjenului și a muștei este un puzzle matematic recreativ care implică găsirea celei mai scurte căi între două puncte pe un cuboid.
Plase de politop cu dimensiuni superioare
O netă a unei 4-polytope , patru-dimensional polytope , este compus din poliedrice celule care sunt conectate prin fețele lor și toate ocupă același spațiu tridimensional, la fel ca și fețele poligonale unei plase de pescuit a unui poliedru sunt conectate prin lor muchiile și toate ocupă același plan. Plasa teseractului, hipercubul cu patru dimensiuni , este utilizată în mod vizibil într-o pictură de Salvador Dalí , Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954). Aceeași plasă de tip tesseract este esențială pentru intriga nuvelei „- Și a construit o casă strâmbă” de Robert A. Heinlein .
Numărul de plase distincte combinatorial de hipercuburi -dimensionale poate fi găsit prin reprezentarea acestor plase ca un copac pe noduri care descrie modelul prin care perechile de fețe ale hipercubului sunt lipite împreună pentru a forma o plasă, împreună cu o potrivire perfectă pe graficul complementului a arborelui care descrie perechile de fețe care sunt opuse una pe cealaltă pe hipercubul pliat. Folosind această reprezentare, numărul diferitelor desfășurări pentru hipercuburi de dimensiunile 2, 3, 4, ..., au fost numărate ca
