Suprafață parametrică - Parametric surface

O suprafață parametrică este o suprafață din spațiul euclidian care este definită de o ecuație parametrică cu doi parametri . Reprezentarea parametrică este un mod foarte general de a specifica o suprafață, precum și reprezentarea implicită . Suprafețele care apar în două dintre teoremele principale ale calculului vectorial , teorema lui Stokes și teorema divergenței , sunt frecvent date într-o formă parametrică. Curbura și lungimea arcului de curbe pe suprafață, aria suprafeței , invarianti geometrice diferențiale , cum ar fi primul și al doilea fundamentale forme, gaussian , medii și principale curburile toate pot fi calculate dintr - un anumit parametrizare. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

Exemple

Torus , creat cu ecuații: x = r sin v ; y = (R + r cos v ) sin u ; z = (R + r cos v ) cos u .

Suprafață parametrică care formează un nod trefoil , detalii despre ecuație în codul sursă atașat.

• Cel mai simplu tip de suprafețe parametrice este dat de graficele funcțiilor a două variabile:

  ${\ displaystyle z = f (x, y), \ quad \ mathbf {r} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$

• O suprafață rațională este o suprafață care admite parametrizări printr-o funcție rațională . O suprafață rațională este o suprafață algebrică . Având în vedere o suprafață algebrică, este de obicei mai ușor să se decidă dacă este rațională decât să se calculeze parametrizarea sa rațională, dacă există.
• Suprafețele revoluției oferă o altă clasă importantă de suprafețe care pot fi ușor parametrizate. Dacă graficul z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b este rotit în jurul axei z, atunci suprafața rezultată are o parametrizare

  ${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, \ phi) = (u \ cos \ phi, u \ sin \ phi, f (u)), \ quad a \ leq u \ leq b, 0 \ leq \ phi < 2 \ pi.}$

  De asemenea, poate fi parametrizat

  ${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = \ left (u {\ frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u {\ frac {2v} {1 + v ^ {2}}}, f (u) \ right), \ quad a \ leq u \ leq b,}$

  arătând că, dacă funcția f este rațională, atunci suprafața este rațională.

• Cilindrul circular drept cu raza R aproximativ x- axă are următoarea reprezentare parametrică:

  ${\ displaystyle \ mathbf {r} (x, \ phi) = (x, R \ cos \ phi, R \ sin \ phi).}$

• Folosind coordonatele sferice , sfera unitară poate fi parametrizată cu

  ${\ displaystyle \ mathbf {r} (\ theta, \ phi) = (\ cos \ theta \ sin \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ phi), \ quad 0 \ leq \ theta <2 \ pi, 0 \ leq \ phi \ leq \ pi.}$

  Această parametrizare se descompune la polul nord și sud, unde unghiul de azimut θ nu este determinat în mod unic. Sfera este o suprafață rațională.

Aceeași suprafață admite multe parametrizări diferite. De exemplu, coordonatul z -plan poate fi parametrizat ca

${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}$

pentru orice constantă a , b , c , d astfel încât ad - bc ≠ 0 , adică matricea este inversabilă . ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$

Geometrie diferențială locală

Forma locală a unei suprafețe parametrice poate fi analizată luând în considerare extinderea Taylor a funcției care o parametrizează. Lungimea arcului unei curbe pe suprafață și suprafața poate fi găsită folosind integrarea .

Notaţie

Fie ca suprafața parametrică să fie dată de ecuație

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$

unde este o funcție vectorială a parametrilor ( u , v ) și parametrii variază într-un anumit domeniu D în planul uv parametric . Primele derivate partiale cu privire la parametrii de obicei sunt notate și și în mod similar pentru derivații mai mari,${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ textstyle \ mathbf {r} _ {u}: = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial u}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {v},}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {uu}, \ mathbf {r} _ {uv}, \ mathbf {r} _ {vv}.}$

În calculul vectorial , parametrii sunt des indicați ( s , t ), iar derivatele parțiale sunt scrise folosind notația ∂ :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial s}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial t}}, {\ frac {\ partial ^ {2 } \ mathbf {r}} {\ partial s ^ {2}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ partial s \ partial t}}, {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ partial t ^ {2}}}.}$

Planul tangent și vectorul normal

Parametrizarea este regulată pentru valorile date ale parametrilor dacă vectorii

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u}, \ mathbf {r} _ {v}}$

sunt liniar independente. Planul tangent la un punct regulat este planul afinar din R ³ întins pe acești vectori și care trece prin punctul r ( u , v ) de pe suprafața determinată de parametri. Orice vector tangent poate fi descompus în mod unic într-o combinație liniară de și Produsul încrucișat al acestor vectori este un vector normal la planul tangent . Împărțirea acestui vector la lungimea sa produce un vector normal unitar la suprafața parametrizată la un punct regulat: ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {v}.}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}} {\ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right |}}.}$

În general, există două opțiuni ale vectorului normal al unei suprafețe într-un punct dat, dar pentru o suprafață parametrizată regulat, formula precedentă alege în mod constant una dintre ele și determină astfel o orientare a suprafeței. Unele dintre invariantele geometrice diferențiale ale unei suprafețe din R ³ sunt definite de suprafața însăși și sunt independente de orientare, în timp ce altele schimbă semnul dacă orientarea este inversată.

Suprafață

Suprafața poate fi calculată prin integrarea lungimii vectorului normal de la suprafață peste regiunea corespunzătoare D în parametric uv planul: ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}}$

${\ displaystyle A (D) = \ iint _ {D} \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | du \, dv.}$

Deși această formulă oferă o expresie închisă pentru aria de suprafață, pentru toate suprafețele, cu excepția celor foarte speciale, rezultă o integrală dublă complicată , care este de obicei evaluată folosind un sistem de algebră computerizată sau aproximată numeric. Din fericire, multe suprafețe comune formează excepții, iar zonele lor sunt cunoscute în mod explicit. Acest lucru este valabil pentru un cilindru circular , sferă , con , tor și alte câteva suprafețe de revoluție .

Aceasta poate fi exprimată și ca o integrală de suprafață peste câmpul scalar 1:

${\ displaystyle \ int _ {S} 1 \, dS.}$

Prima formă fundamentală

Prima formă fundamentală este o formă pătratică

${\ displaystyle \ mathrm {I} = E \, du ^ {2} +2 \, F \, du \, dv + G \, dv ^ {2}}$

pe planul tangent la suprafață care este utilizat pentru a calcula distanțele și unghiurile. Pentru o suprafață parametrizată, coeficienții săi pot fi calculați după cum urmează: ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$

${\ displaystyle E = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {u}, \ quad F = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {v} , \ quad G = \ mathbf {r} _ {v} \ cdot \ mathbf {r} _ {v}.}$

Lungimea arcului curbelor parametrizate de pe suprafața S , unghiul dintre curbele de pe S și aria suprafeței admit toate expresii în termenii primei forme fundamentale.

Dacă ( u ( t ),  v ( t )), a ≤ t ≤ b reprezintă o curbă parametrizată pe această suprafață, atunci lungimea arcului poate fi calculată ca integrală:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \, u '(t) ^ {2} + 2F \, u' (t) v '(t) + G \, v' ( t) ^ {2}}} \, dt.}$

Prima formă fundamentală poate fi privită ca o familie de forme biliniare simetrice definite pozitive pe planul tangent la fiecare punct al suprafeței, în funcție de punct. Această perspectivă ne ajută să calculăm unghiul dintre două curbe pe S care se intersectează într-un punct dat. Acest unghi este egal cu unghiul dintre vectorii tangenți la curbe. Prima formă fundamentală evaluată pe această pereche de vectori este produsul lor punct , iar unghiul poate fi găsit din formula standard

${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left | \ mathbf {a} \ right | \ left | \ mathbf {b} \ right |}} }$

exprimând cosinusul unghiului prin produsul punct.

Suprafața poate fi exprimată în termenii primei forme fundamentale după cum urmează:

${\ displaystyle A (D) = \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}$

După identitatea lui Lagrange , expresia de sub rădăcina pătrată este precisă , deci este strict pozitivă în punctele regulate. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | ^ {2}}$

A doua formă fundamentală

A doua formă fundamentală

${\ displaystyle \ mathrm {I \! I} = L \, \ mathrm {d} u ^ {2} + 2M \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v + N \, \ mathrm { d} v ^ {2}}$

este o formă pătratică pe planul tangent la suprafață care, împreună cu prima formă fundamentală, determină curburile curbelor de pe suprafață. În cazul special când ( u , v ) = ( x , y ) și planul tangent la suprafață la punctul dat este orizontal, a doua formă fundamentală este în esență partea pătratică a expansiunii Taylor a lui z în funcție de x și y .

Pentru o suprafață parametrică generală, definiția este mai complicată, dar a doua formă fundamentală depinde doar de derivatele parțiale de ordinul unu și doi. Coeficienții săi sunt definiți ca fiind proiecțiile celei de-a doua derivate parțiale a pe vectorul normal al unității definit prin parametrizare: ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

${\ displaystyle L = \ mathbf {r} _ {uu} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ quad M = \ mathbf {r} _ {uv} \ cdot {\ hat {\ mathbf { n}}}, \ quad N = \ mathbf {r} _ {vv} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}.}$

La fel ca prima formă fundamentală, a doua formă fundamentală poate fi privită ca o familie de forme biliniare simetrice pe planul tangent la fiecare punct al suprafeței, în funcție de punct.

Curbură

Prima și a doua formă fundamentală a unei suprafețe determină importantele sale invarianți diferențiali-geometrici : curbura Gaussiană , curbura medie și curburile principale .

Principalele curburi sunt invarianții perechii formate din a doua și prima formă fundamentală. Acestea sunt rădăcinile κ ₁ , κ ₂ ale ecuației pătratice

${\ displaystyle \ det (\ mathrm {II} - \ kappa \ mathrm {I}) = 0, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} L- \ kappa E & M- \ kappa F \\ M- \ kappa F & N- \ kappa G \ end {bmatrix}} = 0.}$

Gaussian curbură K = κ ₁ κ ₂ și medie curbură H = ( κ ₁ + κ ₂ ) / 2 poate fi calculat după cum urmează:

${\ displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}, \ quad H = {\ frac {EN-2FM + GL} {2 (EG-F ^ { 2})}}.}$

Până la un semn, aceste cantități sunt independente de parametrizarea utilizată și, prin urmare, formează instrumente importante pentru analiza geometriei suprafeței. Mai precis, curburile principale și curbura medie schimbă semnul dacă orientarea suprafeței este inversă, iar curbura Gauss este complet independentă de parametrizare.

Semnul curburii Gaussiene într-un punct determină forma suprafeței în apropierea acelui punct: pentru K > 0 suprafața este local convexă și punctul se numește eliptic , în timp ce pentru K <0 suprafața este în formă de șa și punctul se numește hiperbolic . Punctele în care curbura Gaussiană este zero sunt numite parabolice . În general, punctele parabolice formează o curbă la suprafață numită linie parabolică . Prima formă fundamentală este definitivă pozitivă , de aceea determinantul său EG - F ² este pozitiv peste tot. Prin urmare, semnul lui K coincide cu semnul lui LN - M ² , determinantul celui de-al doilea fundamental.

Coeficienții primei forme fundamentale prezentate mai sus pot fi organizați într-o matrice simetrică:

${\ displaystyle F_ {1} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}.}$

Și același lucru pentru coeficienții celei de-a doua forme fundamentale , de asemenea, prezentate mai sus:

${\ displaystyle F_ {2} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}.}$

Definirea acum matrice , principale curburile k au ₁ și k au ₂ sunt valorile proprii ale A . ${\ displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}$

Acum, dacă v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) este vectorul propriu al lui A corespunzător curburii principale κ ₁ , vectorul unitar în direcția lui se numește vectorul principal corespunzător curburii principale κ ₁ . ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {1} = v_ {11} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {12} \ mathbf {r} _ {v}}$

În consecință, dacă v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) este vectorul propriu al lui A corespunzător curburii principale κ ₂ , vectorul unitar în direcția lui se numește vectorul principal corespunzător curburii principale κ ₂ . ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {2} = v_ {21} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {22} \ mathbf {r} _ {v}}$

Vezi si

• Spline (matematică)
• Suprafața normală

Referințe

linkuri externe

• Aplicațiile Java demonstrează parametrizarea unei suprafețe elicoidale
• m-ART (3d) - Aplicație iPad / iPhone pentru a genera și vizualiza suprafețe parametrice.