Diviziune lungă polinomială - Polynomial long division

În algebră , diviziunea lungă polinomială este un algoritm pentru împărțirea unui polinom cu un alt polinom de același grad sau inferior , o versiune generalizată a tehnicii aritmetice familiare numită diviziune lungă . Se poate face cu ușurință manual, deoarece separă o problemă de divizare altfel complexă în altele mai mici. Uneori, utilizarea unei versiuni abreviate denumită diviziune sintetică este mai rapidă, cu mai puține scrieri și mai puține calcule. O altă metodă prescurtată este diviziunea scurtă polinomială (metoda lui Blomqvist).

Diviziunea lungă polinomială este un algoritm care implementează diviziunea euclidiană a polinoamelor , care pornind de la două polinoame A ( dividendul ) și B ( divizorul ) produce, dacă B nu este zero, un coeficient Q și un rest R astfel

A = BQ + R ,

și fie R = 0 sau gradul de R este mai mic decât gradul de B . Aceste condiții definesc în mod unic Q și R , ceea ce înseamnă că Q și R nu depind de metoda utilizată pentru a le calcula.

Rezultatul R = 0 apare dacă și numai dacă polinomul A are B ca factor . Astfel, diviziunea lungă este un mijloc pentru a testa dacă un polinom are alt factor ca factor și, dacă are, pentru a-l lua în calcul. De exemplu, dacă se cunoaște o rădăcină r a lui A , aceasta poate fi descompusă împărțind A la ( x  -  r ).

Exemplu

Diviziune lungă polinomială

Găsiți câtul și restul împărțirii dividendului , de împărțitor . ${\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} -4,}$${\ displaystyle x-3,}$

Dividendul este rescris mai întâi astfel:

${\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4.}$

Coeficientul și restul pot fi apoi determinate după cum urmează:

1. Împărțiți primul termen al dividendului la cel mai mare termen al divizorului (adică cel cu cea mai mare putere de x , care în acest caz este x ). Așezați rezultatul deasupra barei ( x ³ ÷ x = x ² ).

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ color {White} x-3 \) \ x ^ {3} -2} x ^ {2} \\ x-3 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \ end {array}}}$

2. Înmulțiți divizorul cu rezultatul tocmai obținut (primul termen al eventualului coeficient). Scrieți rezultatul sub primii doi termeni ai dividendului ( x ² · ( x - 3) = x ³ - 3 x ² ).

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ color {White} x-3 \) \ x ^ {3} -2} x ^ {2} \\ x-3 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \\ {\ color {White} x-3 \) \} x ^ {3} -3x ^ {2} \ end {array}}}$

3. Scădeți produsul tocmai obținut din termenii corespunzători ai dividendului inițial (având grijă ca scăderea a ceva care are semnul minus echivalează cu adăugarea ceva care are semnul plus) și scrieți rezultatul dedesubt ( ( x ³ - 2 x ² ) - ( x ³ - 3 x ² ) = −2 x ² + 3 x ² = x ² ). Apoi, „reduceți” următorul termen din dividend.

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ color {White} x-3 \) \ x ^ {3} -2} x ^ {2} \\ x-3 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \\ {\ color {White} x-3 \) \} {\ underline {x ^ {3} -3x ^ {2}}} \\ {\ color {White} x-3 \) \ 0x ^ {3}} + {\ color {White}} x ^ {2} + 0x \ end {array}}}$

4. Repetați cei trei pași anteriori, cu excepția faptului că de această dată folosiți cei doi termeni care tocmai au fost scrise drept dividend.

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {r} x ^ {2} + {\ color {White} 1} x {\ color {White} {} + 3} \\ x-3 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -2x ^ {2} + 0x-4}} \\ {\ underline {x ^ {3} -3x ^ {2} {\ color {White} {} + 0x-4}}} \ \ + x ^ {2} + 0x {\ color {White} {} - 4} \\ {\ underline {+ x ^ {2} -3x {\ color {White} {} - 4}}} \\ + 3x-4 \\\ end {array}}}$

5. Repetați pasul 4. De data aceasta, nu este nimic de „tras în jos”.

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {r} x ^ {2} + {\ color {White} 1} x + 3 \\ x-3 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -2x ^ { 2} + 0x-4}} \\ {\ underline {x ^ {3} -3x ^ {2} {\ color {White} {} + 0x-4}}} \\ + x ^ {2} + 0x {\ color {White} {} - 4} \\ {\ underline {+ x ^ {2} -3x {\ color {White} {} - 4}}} \\ + 3x-4 \\ {\ underline { + 3x-9}} \\ + 5 \ end {array}}}$

Polinomul de deasupra barei este coeficientul q ( x ), iar numărul rămas (5) este restul r ( x ).

${\ displaystyle {x ^ {3} -2x ^ {2} -4} = (x-3) \, \ underbrace {(x ^ {2} + x + 3)} _ {q (x)} + \ underbrace {5} _ {r (x)}}$

Diviziune lung algoritm pentru aritmetică este foarte similar cu algoritmul de mai sus, în care variabila x se înlocuiește cu numărul specific 10.

Diviziune scurtă polinomială

Metoda lui Blomqvist este o versiune prescurtată a diviziunii lungi de mai sus. Această metodă tipar și hârtie folosește același algoritm ca diviziunea polinomială lungă, dar calculul mental este utilizat pentru a determina resturile. Acest lucru necesită mai puține scrieri și, prin urmare, poate fi o metodă mai rapidă odată stăpânită.

Împărțirea este scrisă la început într-un mod similar ca multiplicare lungă cu dividendul în partea de sus și divizorul de sub acesta. Cocientul trebuie să fie scris sub bara de la stânga la dreapta.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ qquad \ qquad x ^ {3} -2x ^ {2} + {0x} -4 \\ {\ underline {\ div \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad x- 3}} \ end {matrix}}}$

Împarte primul termen al dividendului la cel mai mare termen al divizorului ( x ³ ÷ x = x ² ). Plasați rezultatul sub bară. x ³ a fost împărțit fără a rămâne rest și, prin urmare, poate fi marcat ca folosit cu o bară inversă. Rezultatul x ² este apoi înmulțit cu al doilea termen în divizorul −3 = −3 x ² . Determinați restul parțial scăzând −2 x ² - (−3 x ² ) = x ² . Marcați −2 x ² ca folosit și așezați restul nou x ² deasupra acestuia.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ qquad x ^ {2} \\\ qquad \ quad {\ bcancel {x}} ^ {3} + {\ bcancel {-2}} x ^ {2} + {0x } -4 \\ {\ underline {\ div \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad x-3}} \\ x ^ {2} \ qquad \ qquad \ end {matrix}}}$

Împarte termenul cel mai mare al restului la cel mai mare termen al divizorului ( x ² ÷ x = x ). Plasați rezultatul (+ x) sub bară. x ² a fost împărțit fără a rămâne rest și, prin urmare, poate fi marcat ca folosit. Rezultatul x este apoi înmulțit cu al doilea termen în divizorul −3 = −3 x . Determinați restul parțial scăzând 0 x - (−3 x ) = 3 x . Bifați 0x ca folosit și așezați restul de 3 ori deasupra acestuia.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ qquad \ qquad \ quad {\ bcancel {x}} ^ {2} \ quad 3x \\\ qquad \ quad {\ bcancel {x}} ^ {3} + {\ bcancel {-2}} x ^ {2} + {\ bcancel {0x}} - 4 \\ {\ underline {\ div \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad x-3}} \\ x ^ {2} + x \ qquad \ end {matrix}}}$

Împarte termenul cel mai mare al restului la cel mai mare termen al divizorului (3x ÷ x = 3). Plasați rezultatul (+3) sub bară. 3x a fost împărțit fără a rămâne rest și, prin urmare, poate fi marcat ca folosit. Rezultatul 3 este apoi înmulțit cu al doilea termen în divizorul −3 = −9. Determinați restul parțial scăzând −4 - (−9) = 5. Marcați −4 ca fiind folosit și plasați noul rest 5 deasupra acestuia.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ quad \ qquad \ qquad \ qquad {\ bcancel {x}} ^ {2} \ quad {\ bcancel {3x}} \ quad 5 \\\ qquad \ quad {\ bcancel { x}} ^ {3} + {\ bcancel {-2}} x ^ {2} + {\ bcancel {0x}} {\ bcancel {-4}} \\ {\ underline {\ div \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad x-3}} \\ x ^ {2} + x + 3 \ qquad \ end {matrix}}}$

Polinomul de sub bară este coeficientul q ( x ), iar numărul rămas (5) este restul r ( x ).

Pseudo cod

Algoritmul poate fi reprezentat în pseudocod după cum urmează, unde +, - și × reprezintă aritmetica polinomială și / reprezintă împărțirea simplă a doi termeni:

function n / d is
    require d ≠ 0
    q ← 0
    r ← n             // At each step n = d × q + r

    while r ≠ 0 and degree(r) ≥ degree(d) do
        t ← lead(r) / lead(d)       // Divide the leading terms
        q ← q + t
        r ← r − t × d

    return (q, r)

Rețineți că acest lucru funcționează la fel de bine atunci când gradul ( n ) <gradul ( d ); în acest caz, rezultatul este doar banalul (0, n ).

Acest algoritm descrie exact metoda de mai sus pentru hârtie și creion: d este scris în stânga „)”; q se scrie, termen după termen, deasupra liniei orizontale, ultimul termen fiind valoarea lui t ; regiunea de sub linia orizontală este utilizată pentru a calcula și nota valorile succesive ale lui r .

Diviziunea euclidiană

Pentru fiecare pereche de polinoame ( A , B ) astfel încât B ≠ 0, diviziunea polinomială oferă un coeficient Q și un rest R astfel încât

${\ displaystyle A = BQ + R,}$

și fie R = 0, fie grad ( R ) <grad ( B ). Mai mult, ( Q , R ) este perechea unică de polinoame care au această proprietate.

Procesul de obținere a polinoamelor definite în mod unic Q și R de la A și B se numește diviziune euclidiană (uneori transformare de diviziune ). Diviziunea lungă polinomială este astfel un algoritm pentru diviziunea euclidiană.

Aplicații

Factorizarea polinoamelor

Uneori sunt cunoscute una sau mai multe rădăcini ale unui polinom, probabil că au fost găsite folosind teorema rădăcinii raționale . Dacă se cunoaște o rădăcină r a unui polinom P ( x ) de grad n, atunci diviziunea lungă polinomială poate fi utilizată pentru a factoriza P ( x ) în forma ( x - r ) ( Q ( x )) unde Q ( x ) este un polinom de grad n - 1. Q ( x ) este pur și simplu coeficientul obținut din procesul de divizare; deoarece r este cunoscut ca fiind o rădăcină a lui P ( x ), se știe că restul trebuie să fie zero.

La fel, dacă se cunosc mai multe rădăcini, un factor liniar ( x - r ) într-una dintre ele ( r ) poate fi împărțit pentru a obține Q ( x ), iar apoi un termen liniar în altă rădăcină, s , poate fi împărțit din Q ( x ) etc. Alternativ, pot fi împărțiți simultan: de exemplu, factorii liniari x - r și x - s pot fi înmulțiți împreună pentru a obține factorul pătratic x ² - ( r + s ) x + rs , care poate fi apoi împărțit în polinomul original P ( x ) pentru a obține un coeficient de grad n - 2.

În acest fel, uneori se pot obține toate rădăcinile unui polinom de grad mai mare de patru, chiar dacă acest lucru nu este întotdeauna posibil. De exemplu, dacă teorema rădăcinii raționale poate fi utilizată pentru a obține o singură rădăcină (rațională) a unui polinom chintic , poate fi luată în calcul pentru a obține un coeficient quartic (gradul patru); formula explicită pentru rădăcinile unui polinom quartic poate fi apoi utilizată pentru a găsi celelalte patru rădăcini ale chinticului.

Găsirea tangențelor la funcțiile polinomiale

Diviziunea lungă polinomială poate fi utilizată pentru a găsi ecuația liniei care este tangentă la graficul funcției definite de polinomul P ( x ) la un anumit punct x = r . Dacă R ( x ) este restul diviziunii lui P ( x ) cu ( x - r ) ² , atunci ecuația liniei tangente la x = r la graficul funcției y = P ( x ) este y = R ( x ), indiferent dacă r este sau nu o rădăcină a polinomului.

Exemplu

Găsiți ecuația liniei care este tangentă la următoarea curbă la x = 1 :

${\ displaystyle y = x ^ {3} -12x ^ {2} -42.}$

Începeți prin împărțirea polinomului la ( x - 1) ² = x ² - 2 x + 1 :

${\ displaystyle {\ begin {array} {r} x-10 \\ x ^ {2} -2x + 1 \ {\ overline {) \ x ^ {3} -12x ^ {2} + 0x-42}} \\ {\ underline {x ^ {3} - {\ color {White} 0} 2x ^ {2} + {\ color {White} 1} x}} {\ color {White} {} - 42} \\ -10x ^ {2} - {\ color {White} 01} x-42 \\ {\ underline {-10x ^ {2} + 20x-10}} \\ - 21x-32 \ end {array}}}$

Linia tangentă este y = −21 x - 32 .

Verificare redundanță ciclică

O verificare a redundanței ciclice utilizează restul diviziunii polinomiale pentru a detecta erorile din mesajele transmise.

Vezi si

• Teorema restului polinomial
• Diviziunea sintetică , o metodă mai concisă de realizare a diviziunii polinomiale euclidiene
• Regula lui Ruffini
• Domeniul euclidian
• Baza Gröbner
• Cel mai mare divizor comun al a două polinoame

Referințe