Măsură avansată - Pushforward measure

În teoria măsurătorilor , o disciplină din cadrul matematicii, o măsură pushforward (de asemenea împingere înainte , împingere înainte sau măsură imagine ) este obținută prin transferarea („împingerea înainte”) a unei măsuri dintr-un spațiu măsurabil în altul folosind o funcție măsurabilă .

Definiție

Având în vedere spații măsurabile și , o mapare măsurabilă și o măsură , forforward of este definit ca fiind măsura dată de ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ colon X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ to [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f _ {*} (\ mu) \ colon \ Sigma _ {2} \ to [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle (f _ {*} (\ mu)) (B) = \ mu \ left (f ^ {- 1} (B) \ right)}$ pentru ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {2}.}$

Această definiție se aplică mutatis mutandis pentru o măsură semnată sau complexă . Măsura pushforward este de asemenea notat ca , , sau . ${\ displaystyle \ mu \ circ f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ sharp} \ mu}$${\ displaystyle f \ sharp \ mu}$${\ displaystyle f \ # \ mu}$

Proprietate principală: formula schimbării variabilelor

Teorema: O funcție măsurabilă g pe X ₂ este integrabilă față de măsura de avansare f _∗ ( μ ) dacă și numai dacă compoziția este integrabilă față de măsura μ . În acest caz, integralele coincid, adică ${\ displaystyle g \ circ f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} g \, d (f _ {*} \ mu) = \ int _ {X_ {1}} g \ circ f \, d \ mu.}$

Rețineți că în formula anterioară . ${\ displaystyle X_ {1} = f ^ {- 1} (X_ {2})}$

Exemple și aplicații

• Un „natural masura Lebesgue “ pe cercul unitate S ¹ (aici gândit ca un subset al planului complex C ) poate fi definit folosind o construcție push înainte și Lebesgue măsura λ pe linia reală R . Fie λ, de asemenea, denotă restricția măsurii Lebesgue la intervalul [0, 2 π ) și fie f  : [0, 2 π ) →  S ¹ bijecția naturală definită de f ( t ) = exp ( i   t ). „Măsura Lebesgue” naturală pe S ¹ este apoi măsura împingere înainte f _∗ ( λ ). Măsura f _∗ ( λ ) s-ar putea numi și „ măsură a lungimii arcului ” sau „măsură a unghiului”, deoarece măsura f _∗ ( λ ) a unui arc în S ¹ este exact lungimea acestuia (sau, echivalent, unghiul care se subtinde în centrul cercului.)
• Exemplul anterior se extinde frumos pentru a da o „măsură Lebesgue” naturală pe torul n- dimensional T ⁿ . Exemplul anterior este un caz special, deoarece S ¹  =  T ¹ . Această măsură Lebesgue pe T ⁿ este, până la normalizare, măsura Haar pentru grupul Lie compact , conectat T ⁿ .
• Măsurile Gaussiene pe spații vectoriale cu dimensiuni infinite sunt definite utilizând măsura Gaussiană standard și pe linia reală: o măsură Borel γ pe un spațiu Banach X separabil se numește Gaussian dacă împingerea înainte a lui γ de orice non-zero liniar funcțional în spațiul dublu continuu pentru X este o măsură Gaussian pe R .
• Luați în considerare o funcție măsurabilă f  : X → X și compoziția lui f cu ea însăși de n ori:

${\ displaystyle f ^ {(n)} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {n \ mathrm {\, times}}: X \ to X.}$

Această funcție iterată formează un sistem dinamic . Este adesea de interes în studiul unor astfel de sisteme să se găsească o măsură μ pe X pe care harta f o lasă neschimbată, așa-numita măsură invariantă , adică una pentru care f _∗ ( μ ) =  μ .

• Se poate lua în considerare și măsuri cvasi-invariante pentru un astfel de sistem dinamic: o măsură pe se numește cvasi-invariantă în cazul în care împingerea înainte de by este doar echivalentă cu măsura inițială μ , nu neapărat egală cu aceasta. O pereche de măsuri pe același spațiu sunt echivalente dacă și numai dacă , așa este cvasi-invariant sub if ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu, \ nu}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ if \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ if f _ {*} \ mu (A) = \ mu {\ big (} f ^ {- 1} (A) {\ big )} = 0}$

• Multe distribuții naturale de probabilitate, cum ar fi distribuția chi , pot fi obținute prin această construcție.

• Variabilele aleatoare sunt măsuri pushforward. Acestea mapează un spațiu de probabilitate într-un spațiu codomain și înzestrează acel spațiu cu o măsură de probabilitate definită de pushforward. Mai mult, deoarece variabilele aleatoare sunt funcții (și deci funcții totale), imaginea inversă a întregului codomain este întregul domeniu, iar măsurarea întregului domeniu este 1, deci măsurarea întregului codomain este 1. Acest lucru înseamnă că variabilele pot fi compuse ad infimum și vor rămâne întotdeauna ca variabile aleatorii și înzestrează spațiile codomain cu măsuri de probabilitate.

O generalizare

În general, orice funcție măsurabilă poate fi împinsă înainte, împingerea înainte devine apoi un operator liniar , cunoscut sub numele de operator de transfer sau operator Frobenius – Perron . În spațiile finite, acest operator îndeplinește de obicei cerințele teoremei Frobenius – Perron , iar valoarea proprie maximă a operatorului corespunde măsurii invariante.

Adiacentul la împingere înainte este retragerea ; ca operator pe spații de funcții pe spații măsurabile, este operatorul de compoziție sau operatorul Koopman .

Vezi si

• Sistem dinamic de conservare a măsurilor

Note

Referințe

• Bogachev, Vladimir I. (2007), The Measure Theory , Berlin: Springer Verlag , ISBN   9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Subiecte în analiza reală și funcțională