Curba planului quartic - Quartic plane curve

O curbă plană quartică este o curbă algebrică plană de gradul al patrulea . Poate fi definit printr-o ecuație quartică bivariantă:

{\ displaystyle Ax ^ {4} + By ^ {4} + Cx ^ {3} y + Dx ^ {2} y ^ {2} + Exy ^ {3} + Fx ^ {3} + Gy ^ {3} + Hx ^ {2} y + Ixy ^ {2} + Jx ^ {2} + Ky ^ {2} + Lxy + Mx + Ny + P = 0,}

cu cel puțin unul dintre A, B, C, D, E care nu este egal cu zero. Această ecuație are 15 constante. Cu toate acestea, poate fi înmulțită cu orice constantă diferită de zero fără a schimba curba; astfel prin alegerea unei constante adecvate de multiplicare, oricare dintre coeficienți poate fi setat la 1, lăsând doar 14 constante. Prin urmare, spațiul curbelor quartice poate fi identificat cu spațiul proiectiv real . De asemenea, rezultă, din teorema lui Cramer asupra curbelor algebrice , că există exact o curbă quartică care trece printr-un set de 14 puncte distincte în poziție generală , deoarece un quartic are 14 grade de libertate . ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {14}}$

O curbă quartică poate avea maximum:

Patru componente conectate
Douăzeci și opt de bi-tangente
Trei puncte duble obișnuite .

Se poate lua în considerare, de asemenea, curbele quartice peste alte câmpuri (sau chiar inele ), de exemplu numerele complexe . În acest fel, se obține suprafețe Riemann , care sunt obiecte unidimensionale peste C , dar sunt bidimensionala peste R . Un exemplu este quarticul Klein . În plus, se pot privi curbele în planul proiectiv , date de polinoame omogene.

Exemple

Diverse combinații de coeficienți în ecuația de mai sus dau naștere la diverse familii importante de curbe, așa cum sunt enumerate mai jos.

Curba Ampersand
Curba bobului
Curba bicuspidă
Curba arcului
Curba cruciformă cu parametrii (b, a) fiind (1,1) în roșu; (2,2) în verde; (3,3) în albastru.
Curba cruciformă cu parametrii (b, a) fiind (1,1) în roșu; (2,1) în verde; (3,1) în albastru.
Secțiunea spirală
Trifoi cu trei frunze în coordonate carteziene
Trifoi cu trei frunze în coordonate polare

Curba Ampersand

Curba ampersand este o curbă plană quartic dată de ecuația:

{\ displaystyle \ (y ^ {2} -x ^ {2}) (x-1) (2x-3) = 4 (x ^ {2} + y ^ {2} -2x) ^ {2}.}

Are genul zero, cu trei puncte duble obișnuite, toate în planul real.

Curba bobului

Curba de fasole este o curbă plană quartic cu ecuația:

{\ displaystyle x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} = x (x ^ {2} + y ^ {2}). \,}

Curba bobului are genul zero. Are o singularitate la origine, un punct triplu obișnuit.

Curba bicuspidă

Bicuspid este o curbă plană quartic cu ecuația

{\ displaystyle (x ^ {2} -a ^ {2}) (xa) ^ {2} + (y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 0 \,}

unde a determină mărimea curbei. Bicuspidul are ca singularități doar cele două cuspizi și, prin urmare, este o curbă a genului unu.

Curba arcului

Curba arc este o curbă plană quartic cu ecuația:

{\ displaystyle x ^ {4} = x ^ {2} yy ^ {3}. \,}

Curba arcului are un singur punct triplu la x = 0, y = 0 și, în consecință, este o curbă rațională, cu genul zero.

Curba cruciformă

Curba cruciform sau curba transversală este o curbă plană quartic dată de ecuația

{\ displaystyle x ^ {2} y ^ {2} -b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2} y ^ {2} = 0 \,}

unde a și b sunt doi parametri care determină forma curbei. Curba cruciformă este legată printr-o transformare pătratică standard, x ↦ 1 / x , y ↦ 1 / y cu elipsa a ²x ² + b ²y ² = 1 și, prin urmare, este o curbă algebrică plană rațională din genul zero. Curba cruciformă are trei puncte duble în planul proiectiv real , la x = 0 și y = 0, x = 0 și z = 0 și y = 0 și z = 0.

Deoarece curba este rațională, ea poate fi parametrizată prin funcții raționale. De exemplu, dacă a = 1 și b = 2, atunci

{\ displaystyle x = - {\ frac {t ^ {2} -2t + 5} {t ^ {2} -2t-3}}, \ quad y = {\ frac {t ^ {2} -2t + 5 } {2t-2}}}

parametrizează punctele de pe curbă în afara cazurilor excepționale în care un numitor este zero.

Ilustrația teoremelor pitagoreice inverse și regulilor pitagoreice

Inversă pitagoreic Teorema se obține din ecuația de mai sus prin substituirea x cu AC , y cu BC , și fiecare a și b cu CD , unde A , B sunt capetele ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC , iar D este piciorul o perpendiculară a căzut de la C , vârful unghiului drept, la hipotenuză:

{\ displaystyle {\ begin {align} AC ^ {2} BC ^ {2} -CD ^ {2} AC ^ {2} -CD ^ {2} BC ^ {2} & = 0 \\ AC ^ {2 } BC ^ {2} & = CD ^ {2} BC ^ {2} + CD ^ {2} AC ^ {2} \\ {\ frac {1} {CD ^ {2}}} & = {\ frac {BC ^ {2}} {AC ^ {2} \ cdot BC ^ {2}}} + {\ frac {AC ^ {2}} {AC ^ {2} \ cdot BC ^ {2}}} \\ \ Prin urmare \; \; {\ frac {1} {CD ^ {2}}} & = {\ frac {1} {AC ^ {2}}} + {\ frac {1} {BC ^ {2}} } \ end {align}}}

Secțiunea spirală

Secțiunile spirale pot fi definite ca curbe quartice bicirculare care sunt simetrice în raport cu axele x și y . Secțiunile spirale sunt incluse în familia secțiunilor torice și includ familia hipopedelor și familia ovalelor Cassini . Numele este din σπειρα care înseamnă torus în greaca veche.

Ecuația carteziană poate fi scrisă ca

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f,}

iar ecuația în coordonate polare ca

{\ displaystyle r ^ {4} = dr ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + er ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + f. \,}

Trifoi cu trei frunze (trifolium)

Trifoi cu trei frunze sau Trifolium este curba plană quartic

{\ displaystyle x ^ {4} + 2x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} -x ^ {3} + 3xy ^ {2} = 0. \,}

Rezolvând pentru y , curba poate fi descrisă prin următoarea funcție:

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {\ frac {-2x ^ {2} -3x \ pm {\ sqrt {16x ^ {3} + 9x ^ {2}}}} {2}}},}

în cazul în care cele două apariții de ± sunt independente unul față de celălalt, renunțând la patru valori distincte ale y pentru fiecare x .

Ecuația parametrică a curbei este

{\ displaystyle x = \ cos (3t) \ cos t, \ quad y = \ cos (3t) \ sin t. \,}

În coordonatele polare ( x = r cos φ, y = r sin φ) ecuația este

{\ displaystyle r = \ cos (3 \ varphi). \,}

Este un caz special de curbă de trandafir cu k = 3. Această curbă are un punct triplu la origine (0, 0) și are trei tangente duble.

Vezi si

Referințe

^ Weisstein, Eric W. „Ampersand Curve” . MathWorld .
^ Cundy, H. Martyn; Rollett, AP (1961) [1952], Modele matematice (ediția a II-a), Clarendon Press, Oxford, p. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167
^ Weisstein, Eric W. „Bean Curve” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. „Curba bicuspidă” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. „Bow” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. „Curba cruciformă” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. "Trifolium" . MathWorld .
^ Gibson, CG, Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction , Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Paginile 12 și 78.

[1] Weisstein, Eric W. „Ampersand Curve” . MathWorld .

[2] Cundy, H. Martyn; Rollett, AP (1961) [1952], Modele matematice (ediția a II-a), Clarendon Press, Oxford, p. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167

[3] Weisstein, Eric W. „Bean Curve” . MathWorld .

[4] Weisstein, Eric W. „Curba bicuspidă” . MathWorld .

[5] Weisstein, Eric W. „Bow” . MathWorld .

[6] Weisstein, Eric W. „Curba cruciformă” . MathWorld .

[7] Weisstein, Eric W. "Trifolium" . MathWorld .

[8] Gibson, CG, Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction , Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Paginile 12 și 78.

Languages

In other projects