Reducere (matematică) - Reduction (mathematics)

În matematică , reducerea se referă la rescrierea unei expresii într-o formă mai simplă. De exemplu, procesul de rescriere a unei fracții într-una cu cel mai mic numitor de numere întregi posibil (păstrând totuși numeratorul un număr întreg) se numește „ reducerea unei fracții ”. Rescrierea unei expresii de radical (sau „rădăcină”) cu cel mai mic număr întreg posibil sub simbolul radical se numește „reducerea unui radical”. Minimizarea numărului de radicali care apar sub alți radicali într-o expresie se numește denestarea radicalilor .

Algebră

În algebra liniară , reducerea se referă la aplicarea regulilor simple unei serii de ecuații sau matrici pentru a le schimba într-o formă mai simplă. În cazul matricilor, procesul implică manipularea fie a rândurilor, fie a coloanelor matricei și, prin urmare, este denumită de obicei reducere de rând sau , respectiv, reducere de coloană . Adesea, scopul reducerii este de a transforma o matrice în „ forma eșalon redusă în rând ” sau „forma eșalon rând”; acesta este scopul eliminării gaussiene .

Calcul

În calcul , reducerea se referă la utilizarea tehnicii de integrare pe părți pentru a evalua integralele prin reducerea lor la forme mai simple.

Reducere statică (Guyan)

În analiza dinamică, reducerea statică se referă la reducerea numărului de grade de libertate. Reducerea statică poate fi utilizată și în analiza elementelor finite pentru a se referi la simplificarea unei probleme algebrice liniare. Deoarece o reducere statică necesită mai mulți pași de inversare, este o operațiune cu matrice costisitoare și este predispusă la unele erori în soluție. Luați în considerare următorul sistem de ecuații liniare într-o problemă FEA:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {11} & K_ {12} \\ K_ {21} & K_ {22} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} F_ {1} \\ F_ {2} \ end {bmatrix}}}$

unde K și F sunt cunoscute și K , x și F sunt împărțite în submatrice așa cum se arată mai sus. Dacă F ₂ conține doar zerouri și se dorește doar x ₁ , K poate fi redus pentru a produce următorul sistem de ecuații

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {11, {\ text {limited}}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} F_ {1} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle K_ {11, {\ text {redus}}}}$ se obține scriind setul de ecuații după cum urmează:

${\ displaystyle K_ {11} x_ {1} + K_ {12} x_ {2} = F_ {1}}$

( 1 )

${\ displaystyle K_ {21} x_ {1} + K_ {22} x_ {2} = 0}$

( 2 )

Ecuația ( 2 ) poate fi rezolvată pentru (presupunând inversabilitate a ): ${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle K_ {22}}$

${\ displaystyle -K_ {22} ^ {- 1} K_ {21} x_ {1} = x_ {2}.}$

Și înlocuirea cu ( 1 ) dă

${\ displaystyle K_ {11} x_ {1} -K_ {12} K_ {22} ^ {- 1} K_ {21} x_ {1} = F_ {1}.}$

Prin urmare

${\ displaystyle K_ {11, {\ text {limited}}} = K_ {11} -K_ {12} K_ {22} ^ {- 1} K_ {21}.}$

În mod similar, orice rând sau coloană i a lui F cu o valoare zero poate fi eliminată dacă nu se dorește valoarea corespunzătoare a lui x _i . Un K redus poate fi redus din nou. Ca o notă, deoarece fiecare reducere necesită o inversare și fiecare inversare este o operație cu cost de calcul O ( n ³ ) , majoritatea matricilor mari sunt pre-procesate pentru a reduce timpul de calcul.

Istorie

În secolul al 9 - lea, persană matematician Al-Khwarizmi lui Al-Jabr introdus conceptele fundamentale de «reducere» și «echilibrare», referindu -se la transpunerea termenilor scade la cealaltă parte a unei ecuații și anularea ca termeni pe opus laturile ecuației. Aceasta este operațiunea pe care Al-Khwarizmi a descris-o inițial ca al-jabr . Numele „ algebră ” provine de la „ al-jabr ” din titlul cărții sale.

Referințe