Placare pătrată Tetrakis - Tetrakis square tiling
| Tetrakis faianță pătrată | |
|---|---|
 | |
| Tip | Gresie semiregulară dublă |
| Fețe | 45-45-90 triunghi |
| Diagrama Coxeter |
  
|
| Grup de simetrie | p4m, [4,4], * 442 |
| Grup de rotație | p4, [4,4] + , (442) |
| Poliedru dual | Gresie pătrată trunchiată |
| Configurarea feței | V4.8.8  |
| Proprietăți | față-tranzitivă |
În geometrie , faianța pătrată tetrakis este o faianță a planului euclidian . Este o placă pătrată cu fiecare pătrat împărțit în patru triunghiuri dreptunghiulare isoscele din punctul central, formând un aranjament infinit de linii . De asemenea, se poate forma prin împărțirea fiecărui pătrat al unei rețele în două triunghiuri cu o diagonală, cu diagonalele alternând în direcție sau prin suprapunerea a două rețele pătrate, una rotită cu 45 de grade față de cealaltă și scalată cu un factor de √2 .
Conway îl numește kisquadrille , reprezentat de o operație kis care adaugă un punct central și triunghiuri pentru a înlocui fețele unei plăci pătrate (quadrille). Se mai numește rețeaua Union Jack datorită asemănării cu steagul britanic al triunghiurilor din jurul vârfurilor sale de gradul 8.
Este etichetat V4.8.8 deoarece fiecare față triunghi isoscel are două tipuri de vârfuri: unul cu 4 triunghiuri și două cu 8 triunghiuri.
Ca o placă uniformă dublă
Este dubla teselare a plăcii pătrate trunchiate care are un pătrat și doi octogoni la fiecare vârf.
Aplicații
O porțiune de 5 × 9 din faianța pătrată tetrakis este utilizată pentru a forma tabla pentru jocul de masă malgaș Fanorona . În acest joc, piesele sunt plasate pe vârfurile plăcilor și se deplasează de-a lungul marginilor, captând piese de cealaltă culoare până când o parte a capturat toate piesele celeilalte părți. În acest joc, vârfurile gradului 4 și gradul 8 ale plăcilor sunt numite respectiv intersecții slabe și intersecții puternice, distincție care joacă un rol important în strategia jocului. O tablă similară este folosită și pentru jocul brazilian Adugo și pentru jocul Hare and Hounds .
Plăcile pătrate tetrakis au fost utilizate pentru un set de timbre poștale comemorative emise de Serviciul Poștal al Statelor Unite în 1997, cu un model alternativ de două timbre diferite. Comparativ cu modelul mai simplu pentru ștampilele triunghiulare în care toate perforațiile diagonale sunt paralele între ele, modelul tetrakis are avantajul că, atunci când este pliat de-a lungul oricărei perforații, celelalte perforații se aliniază între ele, făcând posibilă plierea repetată.
Această faianță constituie, de asemenea, baza pentru modelele utilizate în mod obișnuit de "rotiță", "moară de vânt" și "feluri de mâncare sparte" în matlasare .
Simetrie
Tipul de simetrie este:
- cu colorarea: cmm; o celulă primitivă este de 8 triunghiuri, un domeniu fundamental 2 triunghiuri (1/2 pentru fiecare culoare)
- cu triunghiurile întunecate în negru și cele deschise în alb: p4g; o celulă primitivă este de 8 triunghiuri, un domeniu fundamental 1 triunghi (1/2 fiecare pentru alb și negru)
- cu marginile în negru și interioarele în alb: p4m; o celulă primitivă este 2 triunghiuri, un domeniu fundamental 1/2
Marginile plăcilor pătrate tetrakis formează un aranjament simplicial de linii , o proprietate pe care o împarte cu plăcuțele triunghiulare și plăcile kisrhombille .
Aceste linii formează axele de simetrie ale unui grup de reflecție ( grupul de tapet [4,4], (* 442) sau p4m), care are drept domenii fundamentale triunghiurile plăcilor . Acest grup este izomorf pentru, dar nu este același cu, grupul de automorfisme ale plăcilor, care are axe suplimentare de simetrie care împart în bisect triunghiuri și care are ca domenii fundamentale jumătăți de triunghiuri.
Există multe subgrupuri mici de indici de p4m, [4,4] simetrie (* 442 notație orbifold ), care pot fi văzute în raport cu diagrama Coxeter , cu noduri colorate pentru a corespunde liniilor de reflecție și puncte de girare etichetate numeric. Simetria de rotație este prezentată prin zone colorate alb și albastru alternativ, cu un singur domeniu fundamental pentru fiecare subgrup care este umplut în galben. Reflecțiile de alunecare sunt date cu linii punctate.
Subgrupurile pot fi exprimate ca diagrame Coxeter , împreună cu diagrame de domeniu fundamentale.
| Subgrupuri index mici de p4m, [4,4], (* 442) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| index | 1 | 2 | 4 | ||||||||
| Diagrama
fundamentală a domeniului |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Notare Coxeter Diagrama Coxeter |
[ 1 , 4, 1 , 4, 1 ] = [4,4]   
|
[1 + , 4,4]  =  
|
[4,4,1 + ] = 
|
[4,1 + , 4] =   
|
[1 + , 4,4,1 + ] =   
|
[4 + , 4 + ] = [(4,4 + , 2 + )]  
|
|||||
| Orbifold | * 442 | * 2222 | 22 × | ||||||||
| Subgrupuri semidirecte | |||||||||||
| index | 2 | 4 | |||||||||
| Diagramă |
|
|
|
|
|
||||||
| Coxeter | [4,4 + ]
|
[4 + , 4]
|
[(4,4,2 + )]  
|
[1 + , 4,1 + , 4] = [(2 + , 4,4)] = =
|
[4,1 + , 4,1 + ] = [(4,4,2 + )] = =
|
||||||
| Orbifold | 4 * 2 | 2 * 22 | |||||||||
| Subgrupuri directe | |||||||||||
| Index | 2 | 4 | 8 | ||||||||
| Diagramă |
|
|
|
|
|
||||||
| Coxeter | [4,4] +
|
[1 + , 4,4 + ] = [4,4 + ] + =
|
[4 + , 4,1 + ] = [4 + , 4] + =
|
[(4,1 + , 4,2 + )] = [(4,4,2 + )] +  =
|
[1 + , 4,1 + , 4,1 + ] = [(4 + , 4 + , 2 + )] = [4 + , 4 + ] + =
|
||||||
| Orbifold | 442 | 2222 | |||||||||
Vezi si
Note
Referințe
- Grünbaum, Branko & Shephard, GC (1987). Placaje și modele . New York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1 . (Capitolul 2.1: Tiglă regulată și uniformă , p. 58-65)
- Williams, Robert (1979). Fundația geometrică a structurii naturale: o carte sursă de proiectare . Dover Publications, Inc. p. 40. ISBN 0-486-23729-X .
- Keith Critchlow, Ordinea în spațiu: o carte sursă de design , 1970, p. 77-76, modelul 8