Unimodalitate - Unimodality

În matematică , unimodalitatea înseamnă a poseda un mod unic . Mai general, unimodalitatea înseamnă că există o singură valoare maximă, cumva definită, a unui obiect matematic .

Distribuția probabilității unimodale

Figura 1. Funcția densității probabilității distribuțiilor normale, un exemplu de distribuție unimodală.

Figura 2. O distribuție bimodală simplă.

Figura 3. O distribuție bimodală. Rețineți că numai cel mai mare vârf ar corespunde unui mod în sensul strict al definiției modului

În statistici , o distribuție de probabilitate unimodală sau distribuție unimodală este o distribuție de probabilitate care are un singur vârf. Termenul „mod” în acest context se referă la orice vârf al distribuției, nu doar la definiția strictă a modului care este obișnuită în statistici.

Dacă există un singur mod, funcția de distribuție se numește „unimodală”. Dacă are mai multe moduri, este „bimodal” (2), „trimodal” (3) etc. sau, în general, „multimodal”. Figura 1 ilustrează distribuții normale , care sunt unimodale. Alte exemple de distribuții unimodale includ distribuția Cauchy , Student t -Distribuitor , distribuție chi-pătrat și de distribuție exponențială . Printre distribuțiile discrete, distribuția binomială și distribuția Poisson pot fi văzute ca unimodale, deși pentru unii parametri pot avea două valori adiacente cu aceeași probabilitate.

Figura 2 și Figura 3 ilustrează distribuțiile bimodale.

Alte definiții

Există și alte definiții ale unimodalității în funcțiile de distribuție.

În distribuțiile continue, unimodalitatea poate fi definită prin comportamentul funcției de distribuție cumulativă (cdf). Dacă cdf este convex pentru x  <  m și concav pentru x  >  m , atunci distribuția este unimodală, m fiind modul. Rețineți că, în conformitate cu această definiție, distribuția uniformă este unimodală, precum și orice altă distribuție în care se realizează distribuția maximă pentru un interval de valori, de exemplu distribuția trapezoidală. De obicei, această definiție permite o discontinuitate la modul; de obicei, într-o distribuție continuă, probabilitatea oricărei valori este zero, în timp ce această definiție permite o probabilitate diferită de zero, sau un "atom de probabilitate", la modul.

Criteriile pentru unimodalitate pot fi definite și prin funcția caracteristică a distribuției sau prin transformarea sa Laplace – Stieltjes .

O altă modalitate de a defini o distribuție discretă unimodală este prin apariția modificărilor semnelor în secvența diferențelor de probabilități. O distribuție discretă , cu o funcție de masă de probabilitate , se numește unimodală dacă secvența are exact o singură modificare semn (atunci când zerouri nu contează). ${\ displaystyle \ {p_ {n}: n = \ dots, -1,0,1, \ dots \}}$${\ displaystyle \ dots, p _ {- 2} -p _ {- 1}, p _ {- 1} -p_ {0}, p_ {0} -p_ {1}, p_ {1} -p_ {2}, \ puncte}$

Utilizări și rezultate

Un motiv pentru importanța unimodalității distribuției este că permite câteva rezultate importante. Mai jos sunt date mai multe inegalități care sunt valabile numai pentru distribuții unimodale. Astfel, este important să se evalueze dacă un anumit set de date provine sau nu dintr-o distribuție unimodală. Mai multe teste pentru unimodalitate sunt date în articolul privind distribuția multimodală .

Inegalități

Inegalitatea lui Gauss

Un prim rezultat important este inegalitatea lui Gauss . Inegalitatea lui Gauss oferă o limită superioară asupra probabilității ca o valoare să fie mai mult decât orice distanță dată de modul său. Această inegalitate depinde de unimodalitate.

Inegalitatea Vysochanskiï – Petunin

O a doua este inegalitatea Vysochanskiï – Petunin , un rafinament al inegalității Chebyshev . Inegalitatea Chebyshev garantează că, în orice distribuție de probabilitate, „aproape toate” valorile sunt „apropiate” de valoarea medie. Inegalitatea Vysochanskiï – Petunin rafinează acest lucru la valori chiar mai apropiate, cu condiția ca funcția de distribuție să fie continuă și unimodală. Alte rezultate au fost prezentate de Sellke și Sellke.

Mod, mediană și medie

Gauss a arătat, de asemenea, în 1823 că pentru o distribuție unimodală

${\ displaystyle \ sigma \ leq \ omega \ leq 2 \ sigma}$

și

${\ displaystyle | \ nu - \ mu | \ leq {\ sqrt {\ frac {3} {4}}} \ omega,}$

unde mediana este ν , media este μ și ω este deviația pătrată medie a rădăcinii de la mod.

Se poate arăta pentru o distribuție unimodală că mediana ν și media μ se află în (3/5) ^1/2 ≈ 0,7746 abateri standard unele de altele. În simboluri,

${\ displaystyle {\ frac {| \ nu - \ mu |} {\ sigma}} \ leq {\ sqrt {\ frac {3} {5}}}}$

unde | . | este valoarea absolută .

În 2020, Bernard, Kazzi și Vanduffel au generalizat inegalitatea anterioară prin determinarea distanței maxime între media cuantică simetrică și media, ${\ displaystyle {\ frac {q _ {\ alpha} + q _ {(1- \ alpha)}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ left | {\ frac {q _ {\ alpha} + q _ {(1- \ alpha)}} {2}} - \ mu \ right |} {\ sigma}} \ leq \ left \ {{\ begin {array} {cl} {\ frac {{\ sqrt [{}] {{\ frac {4} {9 (1- \ alpha)}} - 1}} {\ text {}} + {\ text {}} {\ sqrt [{}] {\ frac {1- \ alpha} {1/3 + \ alpha}}}} {2}} și {\ text {for}} \ alpha \ in \ left [{\ frac {5} {6}}, 1 \ right) \!, \\ {\ frac {{\ sqrt [{}] {\ frac {3 \ alpha} {4-3 \ alpha}}} {\ text {}} + {\ text {}} {\ sqrt [{}] {\ frac {1- \ alpha} {1/3 + \ alpha}}}} {2}} și {\ text {pentru }} \ alpha \ in \ left ({\ frac {1} {6}}, {\ frac {5} {6}} \ right) \!, \\ {\ frac {{\ sqrt [{}] { \ frac {3 \ alpha} {4-3 \ alpha}}} {\ text {}} + {\ text {}} {\ sqrt [{}] {{\ frac {4} {9 \ alpha}} - 1}}} {2}} & {\ text {for}} \ alpha \ in \ left (0, {\ frac {1} {6}} \ right] \!. \ End {array}} \ right. }$

Este demn de remarcat faptul că distanța maximă este minimizată la (adică, atunci când media cuantică simetrică este egală cu ), ceea ce motivează într-adevăr alegerea comună a medianei ca estimator robust pentru medie. Mai mult, când , legătura este egală cu , care este distanța maximă între mediană și media unei distribuții unimodale. ${\ displaystyle \ alpha = 0,5}$${\ displaystyle q_ {0.5} = \ nu}$${\ displaystyle \ alpha = 0,5}$${\ displaystyle {\ sqrt {3/5}}}$

O relație similară se menține între mediană și modul θ  : se află la 3 ^1/2 ≈ 1.732 abateri standard unele de altele:

${\ displaystyle {\ frac {| \ nu - \ theta |} {\ sigma}} \ leq {\ sqrt {3}}.}$

Se poate arăta, de asemenea, că media și modul se află la 3 ^1/2 una de cealaltă:

${\ displaystyle {\ frac {| \ mu - \ theta |} {\ sigma}} \ leq {\ sqrt {3}}.}$

Asimetrie și curtoză

Rohatgi și Szekely au susținut că asimetria și curtoza unei distribuții unimodale sunt legate de inegalitate:

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} - \ kappa \ leq {\ frac {6} {5}} = 1.2}$

unde κ este kurtosis și γ este asimetria. Klaassen, Mokveld și van Es au arătat că acest lucru se aplică numai în anumite setări, cum ar fi setul de distribuții unimodale unde modul și media coincid.

Au derivat o inegalitate mai slabă care se aplică tuturor distribuțiilor unimodale:

${\ displaystyle \ gamma ^ {2} - \ kappa \ leq {\ frac {186} {125}} = 1.488}$

Această legătură este ascuțită, deoarece este atinsă de amestecul de greutăți egale al distribuției uniforme pe [0,1] și distribuția discretă la {0}.

Funcția unimodală

Deoarece termenul „modal” se aplică seturilor de date și distribuției de probabilitate, și nu în general funcțiilor , definițiile de mai sus nu se aplică. Definiția „unimodal” a fost extinsă și la funcțiile numerelor reale .

O definiție comună este următoarea: o funcție f ( x ) este o funcție unimodală dacă pentru o anumită valoare m , aceasta crește monoton pentru x  ≤  m și descrește monoton pentru x  ≥  m . În acest caz, valoarea maximă a lui f ( x ) este f ( m ) și nu există alte maxime locale.

Dovedirea unimodalității este adesea grea. O modalitate constă în utilizarea definiției acelei proprietăți, dar se dovedește a fi potrivită doar pentru funcții simple. Există o metodă generală bazată pe derivate , dar nu reușește pentru fiecare funcție în ciuda simplității sale.

Exemple de funcții unimodale includ funcții polinomiale pătratice cu un coeficient pătratic negativ, funcții ale hărții cortului și multe altele.

Cele de mai sus sunt uneori legate de as unimodalitate puternică , din faptul că monotonicitatea implicată esteo monotonie puternică. O funcțief(x) este ofuncție slab unimodalădacă există o valoarempentru care crește slab monoton pentrux ≤ mși scade slab monoton pentrux ≥ m. În acest caz, valoarea maximăf(m) poate fi atinsă pentru un interval continuu de valori dex. Un exemplu de funcție slab unimodală care nu este puternic unimodală este celelalte rânduri dintriunghiul lui Pascal.

În funcție de context, funcția unimodală se poate referi și la o funcție care are doar un minim local, mai degrabă decât maxim. De exemplu, eșantionarea locală unimodală , o metodă de optimizare numerică, este adesea demonstrată cu o astfel de funcție. Se poate spune că o funcție unimodală sub această extensie este o funcție cu un singur extrem local .

O proprietate importantă a funcțiilor unimodale este că extremul poate fi găsit folosind algoritmi de căutare precum căutarea secțiunii aurii , căutarea ternară sau interpolare parabolică succesivă .

Alte extensii

O funcție f ( x ) este „S-unimodală” (adesea denumită „hartă S-unimodală”) dacă derivatul său schwarzian este negativ pentru toți , unde este punctul critic. ${\ displaystyle x \ neq c}$${\ displaystyle c}$

În geometria de calcul, dacă o funcție este unimodală, aceasta permite proiectarea unor algoritmi eficienți pentru găsirea extrema funcției.

O definiție mai generală, aplicabilă unei funcții f ( X ) a unei variabile vectoriale X este aceea că f este unimodală dacă există o mapare diferențială unu la unu X = G ( Z ) astfel încât f ( G ( Z )) este convex. De obicei, s-ar dori ca G ( Z ) să fie continuu diferențiat cu matricea Jacobian nesingulară.

Funcțiile cuasiconvexe și funcțiile cuasiconcave extind conceptul de unimodalitate la funcții ale căror argumente aparțin spațiilor euclidiene cu dimensiuni superioare .

Vezi si

• Distribuție bimodală

Referințe