Aproximare WKB - WKB approximation

În fizica matematică , aproximarea WKB sau metoda WKB este o metodă pentru găsirea soluțiilor aproximative la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți variabili spațial. Se folosește în mod obișnuit pentru un calcul semiclasic în mecanica cuantică în care funcția de undă este reformată ca o funcție exponențială, extinsă semiclasic și apoi se consideră că amplitudinea sau faza se schimbă încet.

Numele este un inițialism pentru Wentzel – Kramers – Brillouin . Este, de asemenea, cunoscut sub numele de metoda LG sau Liouville – Green . Alte combinații de litere deseori folosite includ JWKB și WKBJ , unde „J” înseamnă Jeffreys.

Scurt istoric

Această metodă poartă numele fizicienilor Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers și Léon Brillouin , care au dezvoltat-o ​​cu toții în 1926. În 1923, matematicianul Harold Jeffreys a dezvoltat o metodă generală de aproximare a soluțiilor la ecuațiile diferențiale liniare, de ordinul doi, o clasă care include ecuația Schrödinger . Ecuația Schrödinger în sine nu a fost dezvoltată decât doi ani mai târziu, iar Wentzel, Kramers și Brillouin nu erau conștienți de această lucrare anterioară, așa că Jeffreys este adesea neglijat de credit. Textele timpurii din mecanica cuantică conțin orice număr de combinații ale inițialelor lor, inclusiv WBK, BWK, WKBJ, JWKB și BWKJ. O discuție autoritară și un sondaj critic au fost date de Robert B. Dingle.

Aparițiile anterioare ale metodelor esențial echivalente sunt: Francesco Carlini în 1817, Joseph Liouville în 1837, George Green în 1837, Lord Rayleigh în 1912 și Richard Gans în 1915. Liouville și Green se poate spune că au fondat metoda în 1837 și este denumită în mod obișnuit și metoda Liouville – Green sau LG.

Contribuția importantă a lui Jeffreys, Wentzel, Kramers și Brillouin la metodă a fost includerea tratamentului punctelor de cotitură , conectând soluțiile evanescente și oscilatorii de ambele părți ale punctului de cotitură. De exemplu, acest lucru se poate întâmpla în ecuația Schrödinger, din cauza unui deal cu energie potențială .

Metoda WKB

În general, teoria WKB este o metodă pentru aproximarea soluției unei ecuații diferențiale a cărei derivată cea mai mare este înmulțită cu un parametru mic ε . Metoda de aproximare este următoarea.

Pentru o ecuație diferențială

${\ displaystyle \ varepsilon {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + a (x) {\ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1} }} + \ cdots + k (x) {\ frac {dy} {dx}} + m (x) y = 0,}$

presupuneți o soluție sub forma unei expansiuni asimptotice a seriei

${\ displaystyle y (x) \ sim \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x )\dreapta]}$

în limita δ → 0 . Scalarea asimptotică a lui δ în termeni de ε va fi determinată de ecuație - vezi exemplul de mai jos.

Înlocuirea ansatzului de mai sus în ecuația diferențială și anularea termenilor exponențiali permite rezolvarea unui număr arbitrar de termeni S _n (x) în expansiune.

Teoria WKB este un caz special de analiză la scară multiplă .

Un exemplu

Acest exemplu provine din textul lui Carl M. Bender și Steven Orszag . Luați în considerare ecuația diferențială liniară omogenă de ordinul doi

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

unde . Înlocuind ${\ displaystyle Q (x) \ neq 0}$

${\ displaystyle y (x) = \ exp \ left [{\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} (x) \dreapta]}$

rezultă ecuația

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n} '\ right) ^ {2} + {\ frac {1} {\ delta}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ delta ^ {n} S_ {n}' '\ right ] = Q (x).}$

La ordinea de conducere (presupunând că, pentru moment, seria va fi asimptotic consecventă), cele de mai sus pot fi aproximate ca

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} + {\ frac {2 \ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} 'S_ {1}' + {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta}} S_ {0} '' = Q (x).}$

În limita δ → 0 , soldul dominant este dat de

${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon ^ {2}} {\ delta ^ {2}}} S_ {0} '^ {2} \ sim Q (x).}$

Deci δ este proporțional cu ε . Stabilirea lor egală și compararea puterilor produce

${\ displaystyle \ epsilon ^ {0}: \ quad S_ {0} '^ {2} = Q (x),}$

care poate fi recunoscută ca ecuația Eikonal , cu soluție

${\ displaystyle S_ {0} (x) = \ pm \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt.}$

Luând în considerare puterile de ordinul întâi ale ε corecții

${\ displaystyle \ epsilon ^ {1}: \ quad 2S_ {0} 'S_ {1}' + S_ {0} '' = 0.}$

Aceasta are soluția

${\ displaystyle S_ {1} (x) = - {\ frac {1} {4}} \ ln Q (x) + k_ {1},}$

unde k ₁ este o constantă arbitrară.

Acum avem o pereche de aproximări la sistem (o pereche, deoarece S ₀ poate lua două semne); aproximarea WKB de ordinul întâi va fi o combinație liniară a celor două:

${\ displaystyle y (x) \ approx c_ {1} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [{\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right] + c_ {2} Q ^ {- {\ frac {1} {4}}} (x) \ exp \ left [- {\ frac {1} {\ epsilon}} \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ sqrt {Q (t)}} \, dt \ right].}$

Termenii de ordin superior pot fi obținuți examinând ecuații pentru puteri mai mari de δ . Explicit,

${\ displaystyle 2S_ {0} 'S_ {n}' + S '' _ {n-1} + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} S '_ {j} S' _ {nj} = 0}$

pentru n ≥ 2.

Precizia seriei asimptotice

Seria asimptotică pentru y ( x ) este de obicei o serie divergentă , al cărei termen general δ ⁿ S _n (x) începe să crească după o anumită valoare n  =  n _max . Prin urmare, cea mai mică eroare realizată prin metoda WKB este în cel mai bun caz de ordinul ultimului termen inclus.

Pentru ecuație

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = Q (x) y,}$

cu Q (x) <0 o funcție analitică, valoarea și magnitudinea ultimului termen pot fi estimate astfel: ${\ displaystyle n _ {\ max}}$

${\ displaystyle n _ {\ max} \ approx 2 \ epsilon ^ {- 1} \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x _ {\ ast}} {\ sqrt {-Q (z)}} \ , dz \ dreapta |,}$

${\ displaystyle \ delta ^ {n _ {\ max}} S_ {n _ {\ max}} (x_ {0}) \ approx {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {n _ {\ max}}}} \ exp [-n _ {\ max}],}$

unde este punctul în care trebuie evaluat și este punctul (complex) de cotitură unde , cel mai aproape de . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle y (x_ {0})}$${\ displaystyle x _ {\ ast}}$${\ displaystyle Q (x _ {\ ast}) = 0}$${\ displaystyle x = x_ {0}}$

Numărul n _max poate fi interpretat ca numărul de oscilații între și cel mai apropiat punct de cotitură. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Dacă este o funcție care se schimbă încet, ${\ displaystyle \ epsilon ^ {- 1} Q (x)}$

${\ displaystyle \ epsilon \ left | {\ frac {dQ} {dx}} \ right | \ ll Q ^ {2},}$

numărul n _max va fi mare, iar eroarea minimă a seriei asimptotice va fi exponențial mică.

Aplicarea la ecuația Schrödinger

Aproximarea WKB la potențialul indicat. Liniile verticale arată punctele de cotitură

Densitatea probabilității pentru funcția de undă aproximativă. Liniile verticale arată punctele de cotitură

Exemplul de mai sus poate fi aplicat în mod specific ecuației Schrödinger unidimensionale, independente de timp ,

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) + V (x) \ Psi ( x) = E \ Psi (x),}$

care poate fi rescris ca

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ dreapta) \ Psi (x).}$

Aproximare departe de punctele de cotitură

Funcția de undă poate fi rescrisă ca exponențială a unei alte funcții Φ (strâns legată de acțiune ), care ar putea fi complexă,

${\ displaystyle \ Psi (x) = e ^ {\ Phi (x)},}$

astfel încât

${\ displaystyle \ Phi '' (x) + \ left [\ Phi '(x) \ right] ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ dreapta),}$

unde Φ 'indică derivata lui Φ față de x . Această derivată Φ 'poate fi separată în părți reale și imaginare prin introducerea funcțiilor reale A și B ,

${\ displaystyle \ Phi '(x) = A (x) + iB (x).}$

Amplitudinea funcției de undă este atunci

${\ displaystyle \ exp \ left [\ int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x ') \, dx' \ right],}$

în timp ce faza este

${\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} B (x ') \, dx'.}$

Părțile reale și imaginare ale ecuației Schrödinger devin apoi

${\ displaystyle A '(x) + A (x) ^ {2} -B (x) ^ {2} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) - E \ dreapta),}$

${\ displaystyle B '(x) + 2A (x) B (x) = 0.}$

Apoi, se utilizează aproximarea semiclasică. Aceasta înseamnă că fiecare funcție este extinsă ca o serie de putere în ħ . Din ecuațiile de mai sus, se poate vedea că seria de putere trebuie să înceapă cu cel puțin un ordin de 1 / ħ pentru a satisface partea reală a ecuației. Pentru a atinge o limită clasică bună, este necesar să începeți cu o putere cât mai mare a constantei lui Planck ħ :

${\ displaystyle A (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} A_ {n} (x),}$

${\ displaystyle B (x) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} B_ {n} (x).}$

În ordinea zero în această expansiune, condițiile de pe A și B pot fi scrise,

${\ displaystyle A_ {0} (x) ^ {2} -B_ {0} (x) ^ {2} = 2m \ left (V (x) -E \ right),}$

${\ displaystyle A_ {0} (x) B_ {0} (x) = 0 \ ;.}$

Primele derivate A '(x) și B' (x) au fost aruncate, deoarece includ factori de ordinul 1 / ħ , mai mari decât dominantul ħ ⁻² .

Apoi, dacă amplitudinea variază suficient de lent în comparație cu faza ( ), rezultă că ${\ displaystyle A_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle B_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}},}$

ceea ce este valabil numai atunci când energia totală este mai mare decât energia potențială, așa cum se întâmplă întotdeauna în mișcarea clasică .

După aceeași procedură la următoarea comandă de extindere, rezultă că

Pe de altă parte, dacă este faza care variază lent (în comparație cu amplitudinea), ( ) atunci ${\ displaystyle B_ {0} (x) = 0}$

${\ displaystyle A_ {0} (x) = \ pm {\ sqrt {2m \ left (V (x) -E \ right)}},}$

care este valabil numai atunci când energia potențială este mai mare decât energia totală (regimul în care are loc tunelarea cuantică ).

Găsirea ordinii următoare a randamentelor de expansiune, ca în exemplul secțiunii anterioare,

În regiunea permisă clasic, și anume regiunea în care integrandul din exponent este imaginar și funcția undelor aproximative este oscilatorie. În regiunea clasic interzisă , soluțiile sunt în creștere sau în descompunere. Este evident în numitor că ambele soluții aproximative devin singulare în apropierea punctelor de cotitură clasice , unde E = V (x) și nu pot fi valabile. (Punctele de cotitură sunt punctele în care particula clasică își schimbă direcția.) ${\ displaystyle V (x) <E}$${\ displaystyle V (x)> E}$

Comportament în apropierea punctelor de cotitură

Acum luăm în considerare comportamentul funcției de undă în apropierea punctelor de cotitură. Pentru aceasta, avem nevoie de o altă metodă. Aproape de primele puncte de cotitură, x ₁ , termenul poate fi extins într-o serie de puteri, ${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ left (V (x) -E \ right) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) + U_ {2} \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} + \ cdots \ ;.}$

La prima comandă, se găsește

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) = U_ {1} \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot \ Psi (x).}$

Această ecuație diferențială este cunoscută sub numele de ecuație Airy , iar soluția poate fi scrisă în termeni de funcții Airy ,

${\ displaystyle \ Psi (x) = C_ {A} {\ textrm {Ai}} \ left ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ right ) + C_ {B} {\ textrm {Bi}} \ left ({\ sqrt [{3}] {U_ {1}}} \ cdot (x-x_ {1}) \ right).}$

Deși pentru orice valoare fixă ​​a , funcția de undă este mărginită în apropierea punctelor de cotitură, funcția de undă va fi atinsă acolo, așa cum se poate vedea în imaginile de mai sus. Pe măsură ce devine mai mică, înălțimea funcției de undă la punctele de cotitură crește. ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ hbar}$

Condițiile de potrivire

Rămâne acum să construim o soluție globală (aproximativă) la ecuația Schrödinger. Pentru ca funcția de undă să fie integrabilă pătrat, trebuie să luăm doar soluția exponențială în descompunere în cele două regiuni clasic interzise. Acestea trebuie apoi să se „conecteze” corect prin punctele de cotitură la regiunea permisă în mod clasic. Pentru majoritatea valorilor E , această procedură de potrivire nu va funcționa: Funcția obținută prin conectarea soluției aproape de regiunea permisă clasic nu va fi de acord cu funcția obținută prin conectarea soluției aproape de regiunea permisă clasic. Cerința ca cele două funcții să fie de acord impune o condiție energiei E , care va oferi o aproximare la nivelurile de energie cuantice exacte. ${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Având în vedere cei doi coeficienți pe o parte a punctului de cotitură clasic, cei 2 coeficienți de pe cealaltă parte a punctului de cotitură clasic pot fi determinați utilizând funcția Airy pentru a le conecta. Astfel, se poate găsi o relație între și . Această relație este obținută folosind asimptotice cunoscute ale funcției Airy. Relația poate fi găsită după cum urmează (adesea denumită „formule de conexiune”): ${\ displaystyle C_ {0}, \ theta}$${\ displaystyle C _ {+}, C _ {-}}$

${\ displaystyle C _ {+} = + {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ cos {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)},}$

${\ displaystyle C _ {-} = - {\ frac {1} {2}} C_ {0} \ sin {\ left (\ theta - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}}$

Acum pot fi construite soluțiile globale (aproximative). La fel se poate face și în celelalte puncte de cotitură; presupunem că există doar altul, x ₂ . Totuși, expresia de acolo va apărea diferită de cea determinată mai sus la x ₁ printr-o diferență în argumentul acestor funcții trigonometrice.

Condiția de potrivire, necesară pentru a obține o soluție aproximată cu o singură valoare, pătrat-integrabilă, ia următoarea formă:

${\ displaystyle \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} {\ sqrt {2m \ left (EV (x) \ right)}} \, dx = (n + 1/2) \ pi \ hbar,}$

unde sunt punctele de cotitură ale potențialului discutat, unde integrandul dispare. Aici n este un număr întreg negativ. Această condiție poate fi, de asemenea, rescrisă pentru a spune asta ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$

Aria închisă de curba de energie clasică este .${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar (n + 1/2)}$

Oricum, condiția energiei este o versiune a condiției de cuantificare Bohr – Sommerfeld , cu o „ corecție Maslov ” egală cu 1/2.

Este posibil să se arate că, după asamblarea aproximărilor din diferitele regiuni, se obține o bună aproximare la funcția proprie reală. În special, energiile Bohr – Sommerfeld corectate de Maslov sunt bune aproximări la valorile proprii reale ale operatorului Schrödinger. Mai exact, eroarea în energii este mică în comparație cu distanța tipică a nivelurilor de energie cuantică. Astfel, deși „vechea teorie cuantică” a lui Bohr și Sommerfeld a fost în cele din urmă înlocuită de ecuația Schrödinger, rămâne oarecare vestigie a acestei teorii, ca aproximare la valorile proprii ale operatorului Schrödinger adecvat.

Densitatea probabilității

Se poate calcula apoi densitatea de probabilitate asociată cu funcția de undă aproximativă. Probabilitatea ca particula cuantică să fie găsită în regiunea clasic interzisă este mică. Între timp, în regiunea permisă clasic, probabilitatea ca particula cuantică să fie găsită într-un interval dat este aproximativ fracțiunea de timp pe care o petrece particula clasică în acel interval pe o perioadă de mișcare. Deoarece viteza particulei clasice merge la zero la punctele de rotație, aceasta petrece mai mult timp în apropierea punctelor de rotație decât în ​​alte regiuni permise clasic. Această observație explică vârful funcției de undă (și densitatea probabilității acesteia) în apropierea punctelor de cotitură.

Aplicațiile metodei WKB la ecuațiile Schrödinger cu o mare varietate de potențiale și comparația cu metodele de perturbare și integrale de cale sunt tratate în Müller-Kirsten.

Vezi si

Referințe

Referințe moderne

• Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Metode matematice avansate pentru oamenii de știință și ingineri . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.CS1 maint: mai multe nume: lista autorilor ( link )
• Copil, MS (1991). Mecanica semiclasică cu aplicații moleculare . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Introducere în mecanica cuantică (ediția a II-a) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoria cuantică pentru matematicieni , Texte absolvite în matematică, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Mecanica cuantică introductivă (ediția a IV-a) . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asimptotice și funcții speciale . Academic Press. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Teoria cuantică a tunelurilor . World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, JJ (1993). Mecanica cuantică modernă . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Referințe istorice

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla solution del problem di Keplero . Milano.
• Liouville, Joseph (1837). „Sur le développement des fonctions et séries.”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 : 16–35.
• Green, George (1837). „La mișcarea undelor într-un canal variabil de mică adâncime și lățime”. Tranzacțiile Societății Filozofice din Cambridge . 6 : 457–462.
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). „Cu privire la propagarea undelor printr-un mediu stratificat, cu referire specială la problema reflectării” . Proceedings of the Royal Society A . 86 (586): 207-226. Cod Bib : 1912RSPSA..86..207R . doi : 10.1098 / rspa.1912.0014 .
• Gans, Richard (1915). „Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium” . Annalen der Physik . 47 (14): 709-736. Cod Bib : 1915AnP ... 352..709G . doi : 10.1002 / andp.19153521402 .
• Jeffreys, Harold (1924). „Pe anumite soluții aproximative ale ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi”. Proceedings of the London Mathematical Society . 23 : 428–436. doi : 10.1112 / plms / s2-23.1.428 .
• Brillouin, Léon (1926). „La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24-26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). „Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung”. Zeitschrift für Physik . 39 (10-11): 828-840. Cod Bib : 1926ZPhy ... 39..828K . doi : 10.1007 / BF01451751 . S2CID  122955156 .
• Wentzel, Gregor (1926). „Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik”. Zeitschrift für Physik . 38 (6-7): 518-529. Cod Bib : 1926ZPhy ... 38..518W . doi : 10.1007 / BF01397171 . S2CID  120096571 .

linkuri externe

• Fitzpatrick, Richard (2002). „Aproximarea WKB” . (O aplicație a aproximării WKB la împrăștierea undelor radio din ionosferă.)