Apotem - Apothem

Apotema unui hexagon

Grafice ale laturii ,  s  ; apotema ,  a și aria ,  A a poligoanelor regulate de n laturi și circumradius 1, cu baza ,  b a unui dreptunghi cu aceeași zonă - linia verde arată cazul n = 6

Apotemă (uneori prescurtat ca apo ) al unui poligon regulat este un segment de linie de la centru spre punctul median al uneia dintre laturile sale. În mod echivalent, este linia trasă din centrul poligonului care este perpendiculară pe una dintre laturile sale. Cuvântul „apotemă” se poate referi și la lungimea segmentului de linie respectiv. Poligoanele regulate sunt singurele poligoane care au apoteme. Din această cauză, toate apotemele dintr-un poligon vor fi congruente .

Pentru o piramidă regulată , care este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, apotema este înălțimea înclinată a unei fețe laterale; adică cea mai mică distanță de la vârf la bază pe o față dată. Pentru o piramidă regulată trunchiată (o piramidă regulată cu o parte din vârf îndepărtată de un plan paralel cu baza), apotema este înălțimea unei fețe laterale trapezoidale .

Pentru un triunghi echilateral , apotema este echivalentă cu segmentul de linie de la punctul mediu al unei laturi până la centrul triunghiului.

Proprietățile apotemelor

Apotema a poate fi utilizată pentru a găsi aria oricărui poligon regulat n cu latură laterală s conform următoarei formule, care afirmă, de asemenea, că aria este egală cu apotema înmulțită cu jumătate din perimetru, deoarece ns  =  p .

${\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}$

Această formulă poate fi derivată prin partiționarea poligonului cu latură n în n triunghiuri isoscele congruente , și apoi notând că apotema este înălțimea fiecărui triunghi și că aria unui triunghi este egală cu jumătate din baza de ori înălțimea. Următoarele formulări sunt echivalente:

${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot {\ frac { \ pi} {n}} = na ^ {2} \ tan {\ frac {\ pi} {n}}}$

O apotemă a unui poligon regulat va fi întotdeauna o rază a cercului înscris . Este, de asemenea, distanța minimă dintre orice parte a poligonului și centrul său.

Această proprietate poate fi, de asemenea, utilizată pentru a obține cu ușurință formula pentru aria unui cerc, deoarece pe măsură ce numărul laturilor se apropie de infinit, zona poligonului regulat se apropie de aria cercului de rază inscris r  =  a .

${\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}$

Găsirea apotemei

Apotema unui poligon regulat poate fi găsită în mai multe moduri.

Apotemă A , la fiecare n poligon cu lungimea laturii unilateral s , sau circumscris R , pot fi găsite folosind următoarea formulă:

${\ displaystyle a = {\ frac {s} {2 \ tan {\ frac {\ pi} {n}}}} = R \ cos {\ frac {\ pi} {n}}.}$

Apotema poate fi găsită și de

${\ displaystyle a = {\ frac {s} {2}} \ tan {\ frac {\ pi (n-2)} {2n}}.}$

Aceste formule pot fi încă folosite chiar dacă numai perimetrul p și numărul laturilor n sunt cunoscute deoarece s  = p/n.

Note

Vezi si

• Circumradiusul unui poligon regulat
• Sagitta (geometrie)
• Acord (trigonometrie)
• Înălțimea înclinată

Referințe

linkuri externe

• Apotema unui poligon obișnuit Cu animație interactivă
• Apotema piramidei sau piramidei trunchiate
• Pegg, Jr., Ed . „Sagitta, Apothem și Chord” . Proiectul Demonstrații Wolfram .