Harta conformă - Conformal map

O grilă dreptunghiulară (sus) și imaginea acesteia sub o hartă conformă (jos). Se vede că hărți perechi de linii care se intersectează la 90 ° cu perechi de curbe care încă se intersectează la 90 °.

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f}

În matematică , o hartă conformală este o funcție care păstrează local unghiuri , dar nu neapărat lungimi.

Mai formal, lăsați și fiți subseturi deschise de . O funcție se numește CONFORMAL (sau unghiul de conservare ) , într - un punct în cazul în care păstrează unghiurile între direcționate curbe prin intermediul , precum și păstrarea orientării. Hărțile conforme păstrează atât unghiurile, cât și formele unor figuri infinit de mici, dar nu neapărat dimensiunea sau curbura acestora . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: U \ to V}$ ${\ displaystyle u_ {0} \ în U}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$

Proprietatea conformală poate fi descrisă în termenii matricei derivate iacobiene a unei transformări de coordonate . Transformarea este conformă ori de câte ori Jacobianul din fiecare punct este un scalar pozitiv de ori de o matrice de rotație ( ortogonală cu una determinantă). Unii autori definesc conformitatea pentru a include mapări de inversare a orientării, ai căror Jacobians pot fi scrise ca orice scalar ori orice matrice ortogonală.

Pentru mapări în două dimensiuni, mapările conformale (conservarea orientării) sunt tocmai funcțiile analitice complexe inversabile local . În trei dimensiuni și mai mari, teorema lui Liouville limitează brusc mapările conformale la câteva tipuri.

Noțiunea de conformitate se generalizează într-un mod natural la hărțile dintre varietățile riemanniene sau semi-riemanniene .

Hărți conforme în două dimensiuni

Dacă este un subset deschis al planului complex , atunci o funcție este conformă dacă și numai dacă este holomorfă și derivata sa este peste tot diferită de zero . Dacă este antiholomorf ( conjugat la o funcție holomorfă), acesta păstrează unghiurile, dar inversează orientarea lor. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$

În literatură, există o altă definiție a conformului: o mapare care este una-la-unu și holomorfă pe un set deschis în plan. Teorema de mapare deschisă forțează funcția inversă (definită pe imaginea lui ) să fie holomorfă. Astfel, conform acestei definiții, o hartă este conformă dacă și numai dacă este biholomorfă. Cele două definiții pentru hărțile conforme nu sunt echivalente. A fi unu la unu și holomorf implică o derivată diferită de zero. Cu toate acestea, funcția exponențială este o funcție holomorfă cu un derivat diferit de zero, dar nu este unu-la-unu, deoarece este periodică. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Riemann cartografiere teoremă , unul din rezultatele profunde ale analizei complexe , afirmă că orice deschis non-gol pur și simplu conectat subset corespunzătoare a admite un bijectivă hartă CONFORMAL a deschis unitatea de discul din . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Hărți conformale globale pe sfera Riemann

O hartă a sferei Riemann asupra sa este conformă dacă și numai dacă este o transformare Möbius .

Conjugatul complex al unei transformări Möbius păstrează unghiuri, dar inversează orientarea. De exemplu, inversiuni de cerc .

Hărți conforme în trei sau mai multe dimensiuni

Geometria Riemanniană

În geometria Riemanniană , două metrice Riemanniene și pe o varietate netedă sunt numite conform echivalente dacă pentru o funcție pozitivă activată . Funcția se numește factorul conform . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g = uh}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$

Un difeomorfism între două varietăți riemanniene se numește hartă conformă dacă metrica trasă înapoi este echivalentă conform celei originale. De exemplu, proiecția stereografică a unei sfere pe planul mărit cu un punct la infinit este o hartă conformă.

Se poate defini, de asemenea, o structură conformală pe o varietate netedă, ca o clasă de valori Riemanniene echivalente conform .

Spațiul euclidian

O teoremă clasică a lui Joseph Liouville arată că există mult mai puține hărți conformal în dimensiuni mai mari decât în două dimensiuni. Orice hartă conformală dintr-un subset deschis al spațiului euclidian în același spațiu euclidian de dimensiunea a treia sau mai mare poate fi compusă din trei tipuri de transformări: o homotezie , o izometrie și o transformare conformală specială .

Aplicații

Cartografie

În cartografie , mai multe proiecții de hărți denumite , inclusiv proiecția Mercator și proiecția stereografică sunt conforme. Sunt deosebit de utile pentru utilizare în navigația maritimă datorită proprietății sale unice de a reprezenta orice segment de rulment constant ca un segment drept. Un astfel de curs, cunoscut sub numele de romb (sau, matematic, loxodrom) este preferat în navigația marină, deoarece navele pot naviga într-o direcție constantă a busolei.

Fizică și inginerie

Cartografiile conforme sunt neprețuite pentru rezolvarea problemelor din inginerie și fizică care pot fi exprimate în termeni de funcții ale unei variabile complexe, dar care prezintă geometrii incomode. Prin alegerea unei mapări adecvate, analistul poate transforma geometria incomodă într-una mult mai convenabilă. De exemplu, s-ar putea dori să calculați câmpul electric , care rezultă dintr-o sarcină punctuală situată lângă colțul a două planuri conductoare separate printr-un anumit unghi (unde este coordonata complexă a unui punct în 2 spații). Această problemă în sine este destul de neîndemânatică de rezolvat în formă închisă. Cu toate acestea, folosind o mapare conformală foarte simplă, unghiul incomod este mapat la unul dintre toți radianii, ceea ce înseamnă că colțul a două planuri este transformat într-o linie dreaptă. În acest domeniu nou, problema (cea a calculului câmpului electric impresionat de o sarcină punctuală situată lângă un perete conductor) este destul de ușor de rezolvat. Soluția este obținută în acest domeniu, și apoi mapate înapoi la domeniu inițial arătând că a fost obținut ca o funcție ( și anume ., Compoziția de și ) a , de unde poate fi privit ca , care este o funcție a , originalul baza de coordonate. Rețineți că această aplicație nu este o contradicție cu faptul că mapările conformale păstrează unghiurile, o fac doar pentru punctele din interiorul domeniului lor și nu la limită. Un alt exemplu este aplicarea tehnicii de cartografiere conformă pentru rezolvarea problemei valorii la limită a curățării lichidului în rezervoare. ${\ displaystyle E (z)}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle E (w)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle E (w)}$ ${\ displaystyle E (w (z))}$ ${\ displaystyle z}$

Dacă o funcție este armonică (adică satisface ecuația lui Laplace ) pe un domeniu plan (care este bidimensional) și este transformată printr-o hartă conformală într-un alt domeniu plan, transformarea este, de asemenea, armonică. Din acest motiv, orice funcție definită de un potențial poate fi transformată printr-o hartă conformă și rămâne în continuare guvernată de un potențial. Exemple în fizică ale ecuațiilor definite de un potențial includ câmpul electromagnetic , câmpul gravitațional și, în dinamica fluidelor , debitul potențial , care este o aproximare la debitul fluidului, presupunând densitate constantă , viscozitate zero și flux irotațional . Un exemplu de aplicare dinamică fluidă a unei hărți conforme este transformata Joukowsky . ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}$

Hărțile conforme sunt, de asemenea, valoroase în rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale neliniare în unele geometrii specifice. Astfel de soluții analitice oferă o verificare utilă a acurateței simulărilor numerice ale ecuației de guvernare. De exemplu, în cazul curgerii suprafeței libere foarte vâscoase în jurul unui perete semi-infinit, domeniul poate fi mapat la un semiplan în care soluția este unidimensională și directă de calculat.

Pentru sistemele discrete, Noury și Yang au prezentat o modalitate de a converti locusul rădăcinii sistemelor discrete într-un locus rădăcină continuu printr-o cartografiere conformă bine cunoscută în geometrie (aka cartografiere inversiune ).

Ecuațiile lui Maxwell

Un grup mare de hărți conforme pentru relaționarea soluțiilor ecuațiilor lui Maxwell a fost identificat de Ebenezer Cunningham (1908) și Harry Bateman (1910). Instruirea lor de la Universitatea Cambridge le-a oferit facilități cu metoda încărcărilor de imagine și metodele asociate de imagini pentru sferele și inversarea. După cum povestește Andrew Warwick (2003) Masters of Theory :

Fiecare soluție în patru dimensiuni ar putea fi inversată într-o hipersferă în patru dimensiuni de pseudo-rază pentru a produce o nouă soluție.

{\ displaystyle K}

Warwick scoate în evidență această „nouă teoremă a relativității” ca răspuns la Cambridge la Einstein și ca fiind întemeiată pe exerciții care folosesc metoda inversiunii, cum se găsește în manualul James Hopwood Jeans Teoria matematică a electricității și magnetismului .

Relativitatea generală

În relativitatea generală , hărțile conforme sunt cel mai simplu și, prin urmare, cel mai comun tip de transformări cauzale. Fizic, acestea descriu universuri diferite în care toate aceleași evenimente și interacțiuni sunt încă (cauzal) posibile, dar este necesară o nouă forță suplimentară pentru a efectua acest lucru (adică, replicarea tuturor acelorași traiectorii ar necesita plecări de la mișcarea geodezică , deoarece metrica tensorul este diferit). Este adesea folosit pentru a încerca să facă modele susceptibile de extindere dincolo de singularitățile de curbură , de exemplu pentru a permite descrierea universului chiar înainte de Big Bang .

Vezi si

Harta biholomorfă
Teorema lui Carathéodory - O hartă conformală se extinde continuu până la limită
Diagrama Penrose
Cartarea Schwarz – Christoffel - o transformare conformală a semiplanului superior pe interiorul unui poligon simplu
Grup liniar special - transformări care păstrează volumul (spre deosebire de unghiuri) și orientarea

Referințe

Lecturi suplimentare

Ahlfors, Lars V. (1973), Invarianți conformali: subiecte în teoria funcției geometrice , New York: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
Chanson, H. (2009), Hydrodynamics Applied: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Olanda, 478 de pagini, ISBN 978-0-415-49271-3
Churchill, Ruel V. (1974), Variabile și aplicații complexe , New York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
EP Doljenko (2001) [1994], „Conformal mapping” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
Rudin, Walter (1987), Analiză reală și complexă (ediția a treia), New York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
Weisstein, Eric W. „Conformal Mapping” . MathWorld .

linkuri externe

Vizualizări interactive ale multor hărți conforme
Conformal Maps de Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project .
Imagini de mapare conformă a fluxului de curent în diferite geometrii fără și cu câmp magnetic de Gerhard Brunthaler.
Transformarea conformă: de la cerc la pătrat .
Harta conformă online Grapher .
Joukowski Transform Interactive WebApp
O cartografiere conformă desenată de MC Escher

Languages

In other projects