Transformată Fourier în timp discret - Discrete-time Fourier transform

În matematică , transformata Fourier în timp discret ( DTFT ) este o formă de analiză Fourier aplicabilă unei secvențe de valori.

DTFT este adesea folosit pentru a analiza eșantioane ale unei funcții continue. Termenul timp discret se referă la faptul că transformarea operează pe date discrete, de multe ori eșantioane al căror interval are unități de timp. Din probe uniform distanțate, produce o funcție de frecvență care este o însumare periodică a transformatei Fourier continue a funcției continue originale. În anumite condiții teoretice, descrise de teorema eșantionării , funcția continuă originală poate fi recuperată perfect din DTFT și astfel din eșantioanele discrete originale. DTFT în sine este o funcție continuă a frecvenței, dar eșantioane discrete ale acestuia pot fi ușor calculate prin intermediul transformatei Fourier discrete (DFT) (a se vedea § Eșantionarea DTFT ), care este de departe cea mai comună metodă de analiză Fourier modernă.

Ambele transformări sunt inversabile. DTFT invers este secvența de date eșantionată originală. DFT invers este o însumare periodică a secvenței originale. Transformare rapidă Fourier (FFT) este un algoritm de calcul un ciclu de DFT și inversa ei produce un ciclu inversului DFT.

Definiție

Transformata Fourier în timp discret a unei secvențe discrete de numere reale sau complexe x [ n ] , pentru toate numerele întregi n , este o serie Fourier , care produce o funcție periodică a unei variabile de frecvență. Când variabila de frecvență, ω, are unități normalizate de radiani / probă , periodicitatea este 2π , iar seria Fourier este :

Utilitatea acestei funcții de domeniu de frecvență este înrădăcinată în formula de însumare Poisson . Fie X ( f ) transformata Fourier a oricărei funcții, x ( t ) , ale cărei probe la un anumit interval T ( secunde ) sunt egale (sau proporționale) cu secvența x [ n ] , adică T ⋅ x ( nT ) = x [ n ] . Atunci funcția periodică reprezentată de seria Fourier este o însumare periodică a lui X ( f ) în termeni de frecvență f în hertz ( cicluri / sec ) :

${\ displaystyle X_ {1 / T} (f) = X_ {2 \ pi} (2 \ pi fT) \ \ triangleq \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ e ^ {- i2 \ pi fTn} \; {\ stackrel {\ mathrm {Poisson \; f.}} {=}} \; \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (fk / T \ right).}$

( Ec. 2 )

Fig 1. Reprezentarea unei transformate Fourier (stânga sus) și a însumării sale periodice (DTFT) în colțul din stânga jos. Colțul din dreapta jos prezintă mostre ale DTFT care sunt calculate de o transformată Fourier discretă (DFT).

Numărul întreg k are unități de cicluri / eșantion , iar 1 / T este rata de eșantionare, f _s ( eșantioane / sec ). Deci X _{1 / T} ( f ) cuprinde copii exacte ale lui X ( f ) care sunt deplasate cu multipli de f _s hertz și combinate prin adunare. Pentru f _s suficient de mare _, termenul k = 0 poate fi observat în regiunea [- f _s / 2, f _s / 2 ] cu distorsiuni mici sau deloc ( aliasing ) față de ceilalți termeni. În Fig.1, extremitățile distribuției în colțul din stânga sus sunt mascate prin aliasing în sumarea periodică (stânga jos).

De asemenea, observăm că e ^{- i2πfTn} este transformata Fourier a lui δ ( t - nT ) . Prin urmare, o definiție alternativă a DTFT este:

${\ displaystyle X_ {1 / T} (f) = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t- nT) \ dreapta \}.}$

( Ec. 3 )

Funcția de pieptene Dirac modulat este o abstracție matematică uneori denumită eșantionare prin impuls .

Transformarea inversă

O operație care recuperează secvența de date discretă din funcția DTFT se numește DTFT invers . De exemplu, transformata Fourier continuă inversă a ambelor părți ale ecuației 3 produce secvența sub forma unei funcții de pieptene Dirac modulate:

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X_ { 1 / T} (f) \ right \} \ \ triangleq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi ft} df.}$

Cu toate acestea, menționând că X _{1 / T} ( f ) este periodică, toate informațiile necesare sunt conținute în orice interval de lungime 1 / T . In ambele Eq.1 si Eq.2 , a însumările peste n sunt o serie Fourier , cu coeficienți x [ n ] . Formulele standard pentru coeficienții Fourier sunt, de asemenea, transformatele inverse:

Date periodice

Când secvența de date de intrare x [ n ] este N -periodică , Eq.2 poate fi redusă prin calcul la o transformată Fourier discretă (DFT), deoarece :

• Toate informațiile disponibile sunt conținute în N eșantioane.
• X _{1 / T} ( f ) converge la zero peste tot, cu excepția multiplilor întregi de 1 / ( NT ) , cunoscuți cafrecvențe armonice . La aceste frecvențe, DTFT diverg la diferite rate de frecvență. Și aceste rate sunt date de DFT-ul unui ciclu alsecvenței x [ n ] .
• DTFT este periodic, deci numărul maxim de amplitudini armonice unice este (1 / T ) / (1 / ( NT )) = N

Coeficienții DFT sunt dați de :

${\ displaystyle X [k] \ triangleq \ underbrace {\ sum _ {N} x (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {\ text {any n-secvența lungimii N}},}$     iar DTFT este :

${\ displaystyle X_ {1 / T} (f) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ cdot \ delta \ left (f - {\ frac {k} {NT}} \ dreapta).}$     

Înlocuirea acestei expresii în formula de transformare inversă confirmă :

${\ displaystyle \ int _ {\ frac {1} {T}} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi fnT} df \ = \ {\ frac {1} {N}} \ underbrace {\ sum _ {N} X [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {n} {N}} k}} _ {\ text {orice k-secvență de lungime N}} \ \ equiv \ x (nT), \ quad n \ in \ mathbb {Z} \,}$( toate numerele întregi )

cum era de așteptat. DFT invers în linia de mai sus este uneori denumită o serie de Fourier discret (DFS).

Eșantionarea DTFT

Când DTFT este continuu, o practică obișnuită este de a calcula un număr arbitrar de eșantioane ( N ) dintr-un ciclu al funcției periodice X _{1 / T} : 

${\ displaystyle {\ begin {align} \ underbrace {X_ {1 / T} \ left ({\ frac {k} {NT}} \ right)} _ {X_ {k}} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n} \ quad \ quad k = 0, \ dots, N-1 \\ & = \ underbrace {\ sum _ {N} x _ {_ {N}} [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n},} _ {\ text {DFT }} \ quad \ scriptstyle {{\ text {(suma peste orice}} n {\ text {-secvența lungimii}} N)} \ end {align}}}$

unde este o însumare periodică :${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

${\ displaystyle x _ {_ {N}} [n] \ \ triangleq \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN].}$     (vezi seria Fourier discretă )

Secvența este invers DFT. Astfel, eșantionarea noastră a DTFT face ca transformarea inversă să devină periodică. Matricea de | X _k | ² valori sunt cunoscute ca periodogramă , iar parametrul N se numește NFFT în funcția Matlab cu același nume. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Pentru a evalua un ciclu numeric, avem nevoie de o secvență de lungime finită x [ n ] . De exemplu, o secvență lungă ar putea fi trunchiată de o funcție de fereastră de lungime L, rezultând trei cazuri demne de menționat special. Pentru simplitatea noțională, luați în considerare valorile x [ n ] de mai jos pentru a reprezenta valorile modificate de funcția fereastră. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Caz: Decimarea frecvenței. L = N ⋅ I , pentru un număr întreg I (de obicei 6 sau 8)

Un ciclu de reduce la o însumare a I segmente de lungime N . DFT are apoi diferite nume, cum ar fi :${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

• fereastră-prezum FFT
• Greutate, suprapunere, adăugare (WOLA)

• polifază DFT
• banc filtru polifazic
• fereastră cu blocuri multiple și aliasing în timp .

Amintiți-vă că decimarea datelor eșantionate într-un domeniu (timp sau frecvență) produce suprapuneri (uneori cunoscute sub numele de aliasing ) în celălalt și invers. Comparativ cu un DFT cu lungime L , însumarea / suprapunerea determină decimarea frecvenței, lăsând doar probele DTFT cel mai puțin afectate de scurgeri spectrale . Aceasta este de obicei o prioritate atunci când implementați un filtru FFT (canalizator). Cu o funcție convențională de fereastră de lungime L , pierderea prin scoici ar fi inacceptabilă. Deci, ferestrele multi-bloc sunt create folosind instrumentele de proiectare a filtrelor FIR . Profilul lor de frecvență este plat în cel mai înalt punct și cade rapid în punctul mediu dintre restul de probe DTFT. Cu cât valoarea parametrului I este mai mare, cu atât este mai bună performanța potențială. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Caz: L = N +1 .

Când o funcție de fereastră simetrică, cu lungimea L ( ) este trunchiată cu 1 coeficient, se numește periodică sau uniformă DFT . Trunchierea afectează DTFT. O DFT a probelor de secvențe trunchiate DTFT la intervale de frecvență de 1 / N . Pentru a preleva probe la aceleași frecvențe, pentru comparație, DFT este calculat pentru un ciclu al însumării periodice,${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x _ {_ {N}}.}$

Fig 2. DFT de e ^{i2πn / 8} pentru L = 64 și N = 256

Fig 3. DFT de e ^{i2πn / 8} pentru L = 64 și N = 64

Caz: interpolare de frecvență. L ≤ N

În acest caz, DFT se simplifică într-o formă mai familiară:

${\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}.}$

Pentru a profita de un algoritm rapid de transformare Fourier pentru calcularea DFT, însumarea se efectuează de obicei pe toți N termenii, chiar dacă N - L dintre ei sunt zerouri. Prin urmare, cazul L < N este adesea denumit zero-padding .

Scurgerea spectrală, care crește pe măsură ce L scade, este în detrimentul anumitor valori importante ale performanței, cum ar fi rezoluția componentelor de frecvență multiple și cantitatea de zgomot măsurată de fiecare probă DTFT. Dar aceste lucruri nu contează întotdeauna, de exemplu atunci când secvența x [ n ] este o sinusoidă fără zgomot (sau o constantă), modelată de o funcție de fereastră. Apoi, este o practică obișnuită să folosiți zero-padding pentru a afișa grafic și a compara modelele detaliate de scurgere ale funcțiilor ferestrei. Pentru a ilustra acest lucru pentru o fereastră dreptunghiulară, luați în considerare secvența:

${\ displaystyle x [n] = e ^ {i2 \ pi {\ frac {1} {8}} n}, \ quad}$ și ${\ displaystyle L = 64.}$

Figurile 2 și 3 sunt graficele cu mărimea a două DFT de dimensiuni diferite, așa cum este indicat în etichetele lor. În ambele cazuri, componenta dominantă este la frecvența semnalului: f = 1/8 = 0,125 . De asemenea, vizibil în Fig 2 este modelul de scurgere spectrală a ferestrei dreptunghiulare L = 64 . Iluzia din Fig 3 este un rezultat al eșantionării DTFT doar la trecerea la zero. Mai degrabă decât DTFT-ul unei secvențe de lungime finită, dă impresia unei secvențe sinusoidale infinit de lungi. Factorii care contribuie la iluzie sunt utilizarea unei ferestre dreptunghiulare și alegerea unei frecvențe (1/8 = 8/64) cu exact 8 cicluri (un număr întreg) la 64 de probe. O fereastră Hann ar produce un rezultat similar, cu excepția faptului că vârful ar fi lărgit la 3 eșantioane (a se vedea fereastra DFT-chiar Hann ).

Convoluţie

Teorema convoluție pentru secvențe este :

${\ displaystyle x * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right].}$

Un caz special important este convoluția circulară a secvențelor x și y definite de unde este o însumare periodică. Natura cu frecvență discretă înseamnă că produsul cu funcția continuă este, de asemenea, discret, ceea ce duce la o simplificare considerabilă a transformatei inverse :${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y,}$${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \}}$

${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right] \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {y _ {_ {N}} \} \ right].}$

Pentru secvențele x și y a căror durată diferită de zero este mai mică sau egală cu N , o simplificare finală este :

${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {x \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right].}$

Semnificația acestui rezultat este explicată la algoritmii de convoluție circulară și de convoluție rapidă .

Proprietăți de simetrie

Când părțile reale și imaginare ale unei funcții complexe sunt descompuse în părțile lor pare și impare , există patru componente, notate mai jos prin indicii RE, RO, IE și IO. Și există o mapare unu-la-unu între cele patru componente ale unei funcții de timp complexe și cele patru componente ale transformării sale frecvente complexe :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {Time \ domain}} \ quad & \ x \ quad & = \ quad & x _ {_ {RE}} \ quad & + \ quad & x _ {_ {RO}} \ quad & + \ quad i \ & x _ {_ {IE}} \ quad & + \ quad & \ underbrace {i \ x _ {_ {IO}}} \\ & {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ { \ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} \\ {\ mathsf {Frequency \ domain}} \ quad & X \ quad & = \ quad & X_ {RE} \ quad & + \ quad & \ overbrace {i \ X_ { IO}} \ quad & + \ quad i \ & X_ {IE} \ quad & + \ quad & X_ {RO} \ end {align}}}$

Din aceasta, apar diferite relații, de exemplu :

• Transformarea unei funcții cu valoare reală ( x _RE + x _RO ) este funcția simetrică uniformă X _RE + i X _IO . În schimb, o transformare simetrică uniformă implică un domeniu de timp cu valoare reală.
• Transformarea unei funcții cu valoare imaginară ( i x _IE + i x _IO ) este funcția simetrică impar X _RO + i X _IE , iar inversul este adevărat.
• Transformarea unei funcții simetrice pare ( x _RE + i x _IO ) este funcția cu valoare reală X _RE + X _RO , iar inversul este adevărat.
• Transformarea unei funcții impar-simetrice ( x _RO + i x _IE ) este funcția cu valoare imaginară i X _IE + i X _IO , iar inversul este adevărat.

Relația cu transformata Z.

${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$este o serie Fourier care poate fi exprimată și în termeni ai transformatei Z bilaterale . Adică:

${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = \ left. {\ widehat {X}} (z) \, \ right | _ {z = e ^ {i \ omega}} = {\ widehat {X }} (e ^ {i \ omega}),}$

unde notația distinge transformata Z de transformata Fourier. Prin urmare, putem exprima și o porțiune a transformatei Z în termenii transformatei Fourier: ${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {X}} (e ^ {i \ omega}) & = \ X_ {1 / T} \ left ({\ tfrac {\ omega} {2 \ pi T} } \ right) \ = \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left ({\ tfrac {\ omega} {2 \ pi T}} - k / T \ right) \\ & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left ({\ tfrac {\ omega -2 \ pi k} {2 \ pi T}} \ right). \ end {align}}}$

Rețineți că atunci când parametrul T se modifică, termenii de rămân o separare constantă , iar lățimea lor se ridică în sus sau în jos. Termenii lui X _{1 / T} ( f ) rămân o lățime constantă, iar separarea lor 1 / T se ridică în sus sau în jos. ${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Tabelul transformatelor Fourier în timp discret

Unele perechi comune de transformare sunt prezentate în tabelul de mai jos. Se aplică următoarea notație:

• ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi fT}$este un număr real care reprezintă frecvența unghiulară continuă (în radiani pe eșantion). ( este în cicluri / sec și este în sec / eșantion.) În toate cazurile din tabel, DTFT este 2π-periodic (în ).${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ omega}$
• ${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$desemnează o funcție definită pe .${\ displaystyle - \ infty <\ omega <\ infty}$
• ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega)}$desemnează o funcție definită pe și zero în altă parte. Atunci:${\ displaystyle - \ pi <\ omega \ leq \ pi}$

${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ \ triangleq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X_ {o} (\ omega -2 \ pi k).}$

• ${\ displaystyle \ delta (\ omega)}$este funcția delta Dirac
• ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (t)}$ este funcția sinc normalizată
• ${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t)}$este funcția dreptunghi
• ${\ displaystyle \ operatorname {tri} (t)}$este funcția triunghi
• n este un număr întreg care reprezintă domeniul în timp discret (în eșantioane)
• ${\ displaystyle u [n]}$este funcția pasului de unitate de timp discret
• ${\ displaystyle \ delta [n]}$este delta Kronecker ${\ displaystyle \ delta _ {n, 0}}$

Domeniul de timp x [ n ]	Domeniul de frecvență X 2π (ω)	Observații	Referinţă
${\ displaystyle \ delta [n]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = 1}$
${\ displaystyle \ delta [nM]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = e ^ {- i \ omega M}}$	întreg ${\ displaystyle M}$
${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-Mm] \!}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega Mm} = {\ frac {2 \ pi} {M} } \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$ ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {2 \ pi} {M}} \ sum _ {k = - (M-1) / 2} ^ {(M-1) / 2} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$     nui M     chiar M ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {2 \ pi} {M}} \ sum _ {k = -M / 2 + 1} ^ {M / 2} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$	întreg ${\ displaystyle M> 0}$
${\ displaystyle u [n]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ pi \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } \ delta (\ omega -2 \ pi k) \!}$ ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ pi \ cdot \ delta (\ omega) \!}$	Termenul trebuie să fie interpretată ca o distribuție în sensul unei valoare principale Cauchy în jurul său poli la . ${\ displaystyle 1 / (1-e ^ {- i \ omega})}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi k}$
${\ displaystyle a ^ {n} u [n]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = {\ frac {1} {1-ae ^ {- i \ omega}}} \!}$	${\ displaystyle 0 <| a | <1}$
${\ displaystyle e ^ {- ian}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = 2 \ pi \ cdot \ delta (\ omega + a),}$     -π <a <π ${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = 2 \ pi \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ omega + a-2 \ pi k)}$	numar real ${\ displaystyle a}$
${\ displaystyle \ cos (a \ cdot n)}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = \ pi \ left [\ delta \ left (\ omega -a \ right) + \ delta \ left (\ omega + a \ right) \ right],}$ ${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ \ triangleq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X_ {o} (\ omega -2 \ pi k)}$	număr real cu${\ displaystyle a}$${\ displaystyle - \ pi <a <\ pi}$
${\ displaystyle \ sin (a \ cdot n)}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {\ pi} {i}} \ left [\ delta \ left (\ omega -a \ right) - \ delta \ left (\ omega + a \ right )\dreapta]}$	număr real cu${\ displaystyle a}$${\ displaystyle - \ pi <a <\ pi}$
${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left [{nM \ over N} \ right]}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ sin [N \ omega / 2] \ over \ sin (\ omega / 2)} \, e ^ {- i \ omega M} \!}$	numere întregi și ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$
${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (W (n + a))}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {W}} \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right) e ^ {ia \ omega} }$	numere reale cu${\ displaystyle W, a}$${\ displaystyle 0 <W <1}$
${\ displaystyle \ operatorname {sinc} ^ {2} (Wn) \,}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {W}} \ operatorname {tri} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$	număr real ,${\ displaystyle W}$${\ displaystyle 0 <W <0,5}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} și {\ mbox {în altă parte}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = j \ omega}$	funcționează ca un filtru diferențiator
${\ displaystyle {\ frac {1} {(n + a)}} \ left \ {\ cos [\ pi W (n + a)] - \ operatorname {sinc} [W (n + a)] \ right \ }}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {j \ omega} {W}} \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over \ pi W} \ right) e ^ {ja \ omega}}$	numere reale cu${\ displaystyle W, a}$${\ displaystyle 0 <W <1}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ pi} {2}} & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n} -1} {\ pi n ^ {2}}} & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = | \ omega |}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} 0; & n {\ text {even}} \\ {\ frac {2} {\ pi n}}; & n {\ text {odd}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ begin {cases} j & \ omega <0 \\ 0 & \ omega = 0 \\ - j & \ omega> 0 \ end {cases}}}$	Transformarea lui Hilbert
${\ displaystyle {\ frac {C (A + B)} {2 \ pi}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {AB} {2 \ pi}} n \ right] \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {A + B} {2 \ pi}} n \ right]}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) =}$	numere reale complexe${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle C}$

Proprietăți

Acest tabel prezintă câteva operații matematice în domeniul timpului și efectele corespunzătoare în domeniul frecvenței.

• ${\ displaystyle * \!}$este convoluția discretă a două secvențe
• ${\ displaystyle x [n] ^ {*}}$este conjugatul complex al lui x [ n ] .

Proprietate	Domeniul de timp x [ n ]	Domeniul de frecventa ${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$	Observații	Referinţă
Linearitatea	${\ displaystyle a \ cdot x [n] + b \ cdot y [n]}$	${\ displaystyle a \ cdot X_ {2 \ pi} (\ omega) + b \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega)}$	numere complexe ${\ displaystyle a, b}$
Inversarea timpului / Inversarea frecvenței	${\ displaystyle x [-n]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (- \ omega) \!}$
Conjugarea în timp	${\ displaystyle x [n] ^ {*}}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (- \ omega) ^ {*} \!}$
Inversarea timpului și conjugarea	${\ displaystyle x [-n] ^ {*}}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} \!}$
Partea reală în timp	${\ displaystyle \ Re {(x [n])}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (X_ {2 \ pi} (\ omega) + X_ {2 \ pi} ^ {*} (- \ omega))}$
O parte imaginară în timp	${\ displaystyle \ Im {(x [n])}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2i}} (X_ {2 \ pi} (\ omega) -X_ {2 \ pi} ^ {*} (- \ omega))}$
Parte reală în frecvență	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (x [n] + x ^ {*} [- n])}$	${\ displaystyle \ Re {(X_ {2 \ pi} (\ omega))}}$
Partea imaginară în frecvență	${\ displaystyle {\ frac {1} {2i}} (x [n] -x ^ {*} [- n])}$	${\ displaystyle \ Im {(X_ {2 \ pi} (\ omega))}}$
Schimbare în timp / Modulare în frecvență	${\ displaystyle x [nk]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot e ^ {- i \ omega k}}$	număr întreg k
Schimbare în frecvență / Modulare în timp	${\ displaystyle x [n] \ cdot e ^ {ian} \!}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega -a) \!}$	numar real ${\ displaystyle a}$
Decimare	${\ displaystyle x [nM]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {M}} \ sum _ {m = 0} ^ {M-1} X_ {2 \ pi} \ left ({\ tfrac {\ omega -2 \ pi m} {M }}\dreapta)\!}$	întreg ${\ displaystyle M}$
Expansiunea timpului	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ begin {cases} x [n / M] & n = {\ text {multiplu din M}} \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (M \ omega) \!}$	întreg ${\ displaystyle M}$
Derivată în frecvență	${\ displaystyle {\ frac {n} {i}} x [n] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {dX_ {2 \ pi} (\ omega)} {d \ omega}} \!}$
Integrarea în frecvență	${\ displaystyle \!}$	${\ displaystyle \!}$
Diferențierea în timp	${\ displaystyle x [n] -x [n-1] \!}$	${\ displaystyle \ left (1-e ^ {- i \ omega} \ right) X_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Suma în timp	${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {n} x [m] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ left (1-e ^ {- i \ omega} \ right)}} X_ {2 \ pi} (\ omega) + \ pi X (0) \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ omega -2 \ pi k) \!}$
Convoluție în timp / Multiplicare în frecvență	${\ displaystyle x [n] * y [n] \!}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Multiplicarea în timp / Convoluția în frecvență	${\ displaystyle x [n] \ cdot y [n] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {2 \ pi} (\ nu) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega - \ nu) d \ nu \!}$	Convoluție periodică
Corelarea încrucișată	${\ displaystyle \ rho _ {xy} [n] = x [-n] ^ {*} * y [n] \!}$	${\ displaystyle R_ {xy} (\ omega) = X_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Teorema lui Parseval	${\ displaystyle E_ {xy} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {x [n] \ cdot y [n] ^ {*}} \!}$	${\ displaystyle E_ {xy} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} d \ omega} \!}$

Vezi si

• Analiza spectrală a celor mai mici pătrate
• Transformare multidimensională
• Transformarea Zak

Note

Citări de pagină

Referințe