Timp discret și timp continuu - Discrete time and continuous time

În dinamica matematică , timpul discret și timpul continuu sunt două cadre alternative în cadrul cărora se modelează variabilele care evoluează în timp.

Timp discret

Timpul discret vizualizează valorile variabilelor ca apărând în „momente în timp” distincte sau separate sau echivalent ca fiind neschimbate în fiecare regiune de timp diferită de zero („perioada de timp”) - adică timpul este privit ca o variabilă discretă . Astfel, o variabilă non-timp sare de la o valoare la alta pe măsură ce timpul se deplasează de la o perioadă de timp la alta. Această vizualizare a timpului corespunde unui ceas digital care oferă o citire fixă ​​de 10:37 pentru o vreme și apoi sare la o nouă citire fixă ​​de 10:38 etc. În acest cadru, fiecare variabilă de interes este măsurată o dată la fiecare perioada de timp. Numărul de măsurători între oricare două perioade de timp este finit. Măsurătorile se fac de obicei la valori întregi secvențiale ale variabilei „timp”.

Un semnal discret sau un semnal discret în timp este o serie de timp constând dintr-o succesiune de mărimi.

Spre deosebire de un semnal continuu, un semnal discret nu este o funcție a unui argument continuu; cu toate acestea, este posibil să fi fost obținut prin eșantionare dintr-un semnal continuu. Când un semnal de timp discret este obținut prin eșantionarea unei secvențe la timpi uniform distanțați, are o rată de eșantionare asociată .

Semnalele discrete în timp pot avea mai multe origini, dar de obicei pot fi clasificate în unul din cele două grupuri:

• Prin dobândirea valorilor unui semnal analogic la rată constantă sau variabilă. Acest proces se numește eșantionare .
• Prin observarea unui proces inerent de timp discret, cum ar fi valoarea maximă săptămânală a unui anumit indicator economic.

Timp continuu

În schimb, timpul continuu vede variabilele ca având o anumită valoare pentru un potențial de timp doar infinit de scurt. Între oricare două momente în timp există un număr infinit de alte momente în timp. Variabila „timp” variază pe întreaga linie de număr real sau, în funcție de context, pe un anumit subset al acesteia, cum ar fi realele non-negative. Astfel timpul este privit ca o variabilă continuă .

Un semnal continuu sau un semnal continuu este o cantitate variabilă (un semnal ) al cărui domeniu, care este adesea timp, este un continuum (de exemplu, un interval conectat al realilor ). Adică, domeniul funcției este un set nenumărat . Funcția în sine nu trebuie să fie continuă . Pentru a contrasta, un semnal discret în timp are un domeniu numărabil , ca și numerele naturale .

Un semnal de amplitudine și timp continuu este cunoscut sub numele de semnal continuu sau analog . Acest (un semnal ) va avea o anumită valoare în fiecare moment al timpului. Semnalele electrice derivate proporțional cu mărimile fizice precum temperatura, presiunea, sunetul etc. sunt în general semnale continue. Alte exemple de semnale continue sunt undă sinusoidală, undă cosinus, undă triunghiulară etc.

Semnalul este definit pe un domeniu, care poate fi sau nu finit, și există o mapare funcțională de la domeniu la valoarea semnalului. Continuitatea variabilei de timp, în legătură cu legea densității numerelor reale , înseamnă că valoarea semnalului poate fi găsită în orice moment arbitrar în timp.

Un exemplu tipic de semnal de durată infinită este:

${\ displaystyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ in \ mathbb {R}}$

Un omolog de durată finită al semnalului de mai sus ar putea fi:

${\ displaystyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ in [- \ pi, \ pi]}$ și altfel. ${\ displaystyle f (t) = 0}$

Valoarea unui semnal de durată finită (sau infinită) poate fi sau nu finită. De exemplu,

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {t}}, \ quad t \ in [0,1]}$ și altfel, ${\ displaystyle f (t) = 0}$

este un semnal de durată finită, dar necesită o valoare infinită pentru . ${\ displaystyle t = 0 \,}$

În multe discipline, convenția este că un semnal continuu trebuie să aibă întotdeauna o valoare finită, ceea ce are mai mult sens în cazul semnalelor fizice.

În unele scopuri, singularitățile infinite sunt acceptabile atâta timp cât semnalul este integrabil pe orice interval finit (de exemplu, semnalul nu este integrabil la infinit, dar este). ${\ displaystyle t ^ {- 1}}$${\ displaystyle t ^ {- 2}}$

Orice semnal analogic este continuu prin natura sa. Semnalele în timp discret , utilizate în procesarea digitală a semnalului , pot fi obținute prin eșantionare și cuantificare a semnalelor continue.

Semnalul continuu poate fi de asemenea definit pe o altă variabilă independentă decât timpul. O altă variabilă independentă foarte comună este spațiul și este deosebit de utilă în procesarea imaginilor , unde sunt utilizate două dimensiuni ale spațiului.

Contextele relevante

Timpul discret este adesea folosit atunci când sunt implicate măsurători empirice , deoarece în mod normal este posibilă doar măsurarea variabilelor secvențial. De exemplu, deși activitatea economică are loc de fapt în mod continuu, neexistând niciun moment în care economia să fie într-o pauză, este posibilă doar măsurarea discretă a activității economice. Din acest motiv, datele publicate despre, de exemplu, produsul intern brut vor prezenta o succesiune de valori trimestriale .

Când se încearcă explicarea empirică a acestor variabile în termeni de alte variabile și / sau propriile valori anterioare, se folosește serii de timp sau metode de regresie în care variabilele sunt indexate cu un indice care indică perioada de timp în care a avut loc observația. De exemplu, y _t se poate referi la valoarea veniturilor observate în perioada de timp nespecificată t , y ₃ la valoarea veniturilor observate în a treia perioadă de timp etc.

Mai mult, atunci când un cercetător încearcă să dezvolte o teorie pentru a explica ceea ce este observat în timp discret, deseori teoria însăși este exprimată în timp discret pentru a facilita dezvoltarea unei serii temporale sau a unui model de regresie.

Pe de altă parte, este deseori mai matematic tratabil să construim modele teoretice în timp continuu și adesea în domenii precum fizica, o descriere exactă necesită utilizarea timpului continuu. Într-un context de timp continuu, valoarea unei variabile y într-un moment nespecificat în timp este notată ca y ( t ) sau, atunci când sensul este clar, pur și simplu ca y .

Tipuri de ecuații

Timp discret

Timpul discret face uz de ecuații de diferență , cunoscute și sub numele de relații de recurență. Un exemplu, cunoscut sub numele de hartă logistică sau ecuație logistică, este

${\ displaystyle x_ {t + 1} = rx_ {t} (1-x_ {t}),}$

în care r este un parametru în intervalul de la 2 la 4 inclusiv, și x este o variabilă în intervalul de la 0 la 1 inclusiv a cărei valoare în perioada t îi afectează neliniar valoarea în perioada următoare, t +1. De exemplu, dacă și , atunci pentru t = 1 avem , iar pentru t = 2 avem . ${\ displaystyle r = 4}$${\ displaystyle x_ {1} = 1/3}$${\ displaystyle x_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9}$${\ displaystyle x_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81}$

Un alt exemplu modelează ajustarea unui preț P ca răspuns la excesul de cerere non-zero pentru un produs ca

${\ displaystyle P_ {t + 1} = P_ {t} + \ delta \ cdot f (P_ {t}, ...)}$

unde este parametrul pozitiv al vitezei de reglare care este mai mic sau egal cu 1 și unde este funcția de cerere în exces . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle f}$

Timp continuu

Timpul continuu folosește ecuații diferențiale . De exemplu, ajustarea unui preț P ca răspuns la o cerere excesivă diferită de zero pentru un produs poate fi modelată în timp continuu ca

${\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = \ lambda \ cdot f (P, ...)}$

unde partea stângă este primul derivat al prețului în raport cu timpul (adică rata de schimbare a prețului), este parametrul vitezei de ajustare care poate fi orice număr finit pozitiv și este din nou cererea în exces funcţie. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle f}$

Reprezentare grafică

O variabilă măsurată în timp discret poate fi reprezentată grafic ca o funcție pas , în care fiecare perioadă de timp primește o regiune pe axa orizontală de aceeași lungime ca fiecare altă perioadă de timp, iar variabila măsurată este reprezentată grafic ca o înălțime care rămâne constantă regiunea perioadei de timp. În această tehnică grafică, graficul apare ca o succesiune de pași orizontali. Alternativ, fiecare perioadă de timp poate fi privită ca un punct detașat în timp, de obicei la o valoare întreagă pe axa orizontală, iar variabila măsurată este reprezentată grafic ca o înălțime deasupra acelui punct de axă timp. În această tehnică, graficul apare ca un set de puncte.

Valorile unei variabile măsurate în timp continuu sunt reprezentate grafic ca o funcție continuă , deoarece domeniul timpului este considerat a fi întreaga axă reală sau cel puțin o porțiune conectată a acesteia.

Vezi si

Referințe

• Gershenfeld, Neil A. (1999). Natura modelării matematice . Cambridge University Press. ISBN   0-521-57095-6 .

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Tranzitori analitici . Wiley.