Dual poligon - Dual polygon
În geometrie , poligonii sunt asociați în perechi numite duale , unde vertexurile unuia corespund marginilor celuilalt.
cuprins
Proprietăți
Poligonii obișnuiți sunt auto-duali .
Dualul unui poligon izogonal (vertical-tranzitiv) este un poligon izotoxal (tranzitiv de margine). De exemplu, (isogonal) dreptunghi și (isotoxal) rombului sunt duali.
Într-un poligon ciclic , laturile mai lungi corespund unghiurilor exterioare mai mari în dual (un poligon tangențial ), iar laturile mai scurte la unghiurile mai mici. Mai mult, laturile congruente din poligonul original produc unghiuri congruente în dual și invers. De exemplu, dualul unui triunghi izoscel foarte acut este un triunghi izoscel obtuz.
În construcția lui Dorman Luke , fiecare față a unui poliedru dual este poligonul dublu al figurii vertexului corespunzător .
Dualitatea în patrulaterale
Ca un exemplu al dualității unghiului lateral al poligonilor, comparăm proprietățile quadrilaterelor ciclice și tangențiale .
| Cvadrilaterul ciclic | Patrulater tangential |
|---|---|
| Cercul circumscris | Cercul înscris |
| Bisectoarele perpendiculare ale laturilor sunt concomitente la circumcentrator | Bisectoarele unghiulare sunt concomitente la stimulent |
| Sumele celor două perechi de unghiuri opuse sunt egale | Sumele celor două perechi de laturi opuse sunt egale |
Această dualitate este poate și mai clară atunci când se compară un trapez isoscel cu un zmeu .
| Trapez isoscel | Zmeu |
|---|---|
| Două perechi de unghiuri adiacente egale | Două perechi de laturi adiacente egale |
| O pereche de părți opuse egale | O pereche de unghiuri opuse egale |
| O axă de simetrie printr-o pereche de laturi opuse | O axă de simetrie printr-o pereche de unghiuri opuse |
| Cercul circumscris | Cercul înscris |
Feluri de dualitate
Rectificare
Cea mai simplă construcție calitativă a unui poligon dublu este o operație de rectificare , unde marginile unui poligon sunt trunchiate în jos spre vârfuri în centrul fiecărei margini originale. Se formează noi muchii între aceste noi vârfuri.
Această construcție nu este reversibilă. Adică, poligonul generat de aplicarea lui de două ori nu este, în general, asemănător cu poligonul inițial.
Reacțiune polară
Ca și în cazul poliedrelor duble, se poate lua un cerc (fie el cerc inscripționat , cerc circumscris sau, dacă există ambele, circumferința lor mijlocie ) și efectua reciprocitate polară în el.
Dualitate proiectivă
Sub dualitate proiectivă , dualul unui punct este o linie, iar a unei linii este un punct - deci dualul unui poligon este un poligon, cu margini ale originalului corespunzând vertexurilor dualului și invers.
Din punctul de vedere al curbei duale , unde la fiecare punct al unei curbe se asociază punctul dual cu linia sa tangentă în acel moment, dualul proiectiv poate fi interpretat astfel:
- fiecare punct de pe o latură a unui poligon are aceeași linie tangentă, care este de acord cu latura însăși - astfel toate acestea se mapează la același vertex în poligonul dual
- la un vertex, „liniile tangente” către acel vertex sunt toate liniile prin acel punct cu unghiul dintre cele două muchii - punctele duale către aceste linii sunt apoi marginea din poligonul dual.
combinatoriu
Combinatorial, se poate defini un poligon ca un set de vârfuri, un set de muchii și o relație de incidență (pe care se ating vertexurile și marginile): două vârfuri adiacente determină o margine și, în mod dual, două muchii adiacente determină un vertex. Apoi, poligonul dual este obținut prin simpla schimbare a vârfurilor și marginilor.
Astfel pentru triunghiul cu vârfurile {A, B, C} și marginile {AB, BC, CA}, triunghiul dublu are vârfuri {AB, BC, CA} și muchii {B, C, A}, unde B conectează AB & BC, etc.
Aceasta nu este o cale deosebit de fructuoasă, deoarece combinatorial, există o singură familie de poligoane (dată de numărul de laturi); dualitatea geometrică a poligonilor este mai variată, la fel ca și poliedrele duble combinatorii .