Zmeu (geometrie) - Kite (geometry)

Zmeu
Un zmeu, care prezintă perechile sale de laturi de lungime egală și cercul său inscripționat.
Tip	Patrulater
Marginile și vârfurile	4
Grup de simetrie	D 1 (*)
Poligon dual	Trapezoid isoscel

În geometria euclidiană , un zmeu este un patrulater ale cărui patru laturi pot fi grupate în două perechi de laturi de lungime egală care sunt adiacente una cu alta. În contrast, un paralelogram are, de asemenea, două perechi de laturi de lungime egală, dar ele sunt opuse unul altuia în loc să fie adiacente. Cadrilaterele zmei sunt numite după zmeele zburătoare, suflate de vânt , care au adesea această formă și care sunt la rândul lor denumite după o pasăre . Zmeele sunt cunoscute și sub denumirea de deltoizi , dar cuvântul „deltoid” se poate referi și la o curbă deltoidă , un obiect geometric fără legătură.

Un zmeu, așa cum s-a definit mai sus, poate fi fie convex, fie concav , dar cuvântul „zmeu” este adesea limitat la soiul convex. Un zmeu concav este uneori numit „săgeată” sau „vârf de săgeată” și este un tip de pseudotriunghi .

Cazuri speciale

Trihexagonal deltoidal Tigla este fabricat din fețe zmeu identice, cu 60-90-120 unghiuri interne de grade.

Este posibil să se clasifice patrulaterele fie ierarhic (în care unele clase de patrulatere sunt subseturi ale altor clase), fie parțial (în care fiecare patrulater aparține unei singure clase). Cu o clasificare ierarhică, un romb (un patrulater cu patru laturi de aceeași lungime) este considerat a fi un caz special al unui zmeu, deoarece este posibilă împărțirea marginilor sale în două perechi adiacente de lungime egală, iar un pătrat este un caz special al unui romb care are unghiuri egale egale, și astfel este, de asemenea, un caz special al unui zmeu. Conform acestei clasificări, toate echilaterale zmee sunt romburi și toate equiangular zmee (care sunt prin definiție echilateral) sunt pătrate. Cu toate acestea, cu o clasificare de partiționare, rombii și pătratele nu sunt considerate zmee și nu este posibil ca un zmeu să fie echilateral sau echiangular. Din același motiv, cu o clasificare de partiționare, formele care îndeplinesc constrângerile suplimentare ale altor clase de patrulatere, cum ar fi zmeele potrivite discutate mai jos, nu ar fi considerate ca fiind zmee.

Restul acestui articol urmează o clasificare ierarhică, în care rombii, pătratele și zmeurile drepte sunt considerate toate zmee. Evitând nevoia de a trata diferit cazurile speciale, această clasificare ierarhică poate ajuta la simplificarea enunțului teoremelor despre zmee.

Un zmeu cu trei unghiuri egale de 108 ° și un unghi de 36 ° formează carena convexă a lăutei din Pitagora .

Zmeii care sunt și patrulatere ciclice (adică zmeii care pot fi înscriși într-un cerc) sunt exact cei formați din două triunghiuri dreptunghiulare congruente . Adică, pentru aceste zmee, cele două unghiuri egale de pe laturile opuse ale axei de simetrie sunt fiecare de 90 de grade. Aceste forme se numesc zmee potrivite . Deoarece circumscriu un cerc și sunt înscrise într-un alt cerc, ele sunt patrulatere bicentrice . Dintre toate patrulaterele bicentric cu un cerc dat două raze , cea cu suprafață maximă este un zmeu drept.

Există doar opt poligoane care pot țiglă planul în așa fel încât reflectarea oricărei plăci pe oricare dintre marginile sale produce o altă țiglă; o placare produsă în acest mod se numește teselare de margine . Una dintre ele este placarea cu un zmeu drept, cu unghiuri de 60 °, 90 ° și 120 °. Placarea pe care o produce prin reflexiile sale este plăcuța trihexagonală deltoidală .

Un zmeu potrivit

Un zmeu echidiagonal înscris într-un triunghi Reuleaux

Dintre toate patrulaterele, forma care are cel mai mare raport dintre perimetrul său și diametrul său este un zmeu echidiagonal cu unghiuri π / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Cele patru vârfuri ale sale se află la cele trei colțuri și la unul dintre punctele medii laterale ale triunghiului Reuleaux (deasupra la dreapta).

În geometria non-euclidiană , un patrulater Lambert este un zmeu drept cu trei unghiuri drepte.

Caracterizări

Exemplu de zmee convexe și concave. Cazul concav se numește săgeți .

Un patrulater este un zmeu dacă și numai dacă una dintre următoarele condiții este adevărată:

• Două perechi disjuncte de laturi adiacente sunt egale (prin definiție).
• O diagonală este bisectoarea perpendiculară a celeilalte diagonale. (În cazul concav este extensia uneia dintre diagonale.)
• O diagonală este o linie de simetrie (împarte patrulaterul în două triunghiuri congruente care sunt imagini în oglindă).
• O diagonală bisectează o pereche de unghiuri opuse.

Simetrie

Zmeele sunt patrulaterele care au o axă de simetrie de -a lungul uneia dintre diagonale . Orice patrulater care nu se auto-traversează care are o axă de simetrie trebuie să fie fie un zmeu (dacă axa de simetrie este diagonală), fie un trapez isoscel (dacă axa de simetrie trece prin punctele medii ale celor două laturi); acestea includ ca cazuri speciale rombul și respectiv dreptunghiul , care au fiecare două axe de simetrie și pătratul care este atât un zmeu cât și un trapez isoscel și are patru axe de simetrie. Dacă sunt permise traversări, lista patrulaterelor cu axe de simetrie trebuie extinsă pentru a include și antiparalelogramele .

Proprietăți de bază

Fiecare zmeu este ortodiagonal , ceea ce înseamnă că cele două diagonale ale sale sunt în unghi drept unul față de celălalt. Mai mult, una dintre cele două diagonale (axa de simetrie) este bisectoarea perpendiculară a celeilalte și este, de asemenea, bisectoarea unghiului celor două unghiuri pe care le întâlnește.

Una dintre cele două diagonale ale unui zmeu convex îl împarte în două triunghiuri isoscele ; cealaltă (axa de simetrie) împarte zmeul în două triunghiuri congruente . Cele două unghiuri interioare ale unui zmeu care se află pe laturile opuse ale axei de simetrie sunt egale.

Zonă

Așa cum este mai general pentru orice patrulater ortodiagonal , aria A a unui zmeu poate fi calculată ca jumătate din produsul lungimilor diagonalelor p și q :

${\ displaystyle A = {\ frac {p \ cdot q} {2}}.}$

Alternativ, dacă a și b sunt lungimile a două laturi inegale, iar θ este unghiul dintre laturile inegale, atunci aria este

${\ displaystyle \ displaystyle A = ab \ cdot \ sin {\ theta}.}$

Cercuri tangente

Fiecare zmeu convex are un cerc inscripționat ; adică există un cerc care este tangent la toate cele patru laturi. Prin urmare, fiecare zmeu convex este un patrulater tangențial . În plus, dacă un zmeu convex nu este un romb, există un alt cerc, în afara zmeului, tangent la liniile care trec prin cele patru laturi ale acestuia; prin urmare, fiecare zmeu convex care nu este un romb este un patrulater ex-tangențial .

Pentru fiecare zmeu concav există două cercuri tangente la toate cele patru laturi (posibil extinse): una este interioară zmeului și atinge cele două laturi opuse unghiului concav, în timp ce celălalt cerc este exterior zmeului și atinge zmeul de pe două margini incidente unghiului concav.

Proprietăți duale

Zmeele și trapezele isoscel sunt duale: figura polară a unui zmeu este un trapez isoscel și invers. Dualitatea unghiului lateral al zmeilor și trapezelor isoscele este comparată în tabelul de mai jos.

Placaje și poliedre

Toate zmeele placă planul prin inversare repetată în jurul punctelor medii ale marginilor lor, la fel ca în general toate patrulaterele. Un zmeu cu unghiuri π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 poate, de asemenea, să țiglă planul prin reflexie repetată peste marginile sale; teselarea rezultată, plăcuța trihexagonală deltoidă , suprapune o teselare a planului prin hexagoane regulate și triunghiuri isosceli.

Icositetrahedron deltoidal , hexecontahedron deltoidal și trapezohedron sunt poliedre cu formă de zmeu congruente fațete . Există un număr infinit de tilings uniforme ale planului de hiperbolice de zmee, dintre care cea mai simplă este deltoidal triheptagonal placare.

Zmeile și săgețile în care cele două triunghiuri isoscele care formează zmeul au unghiuri apex de 2π / 5 și 4π / 5 reprezintă unul dintre cele două seturi de plăci esențiale din faianța Penrose , o faianță aperiodică a planului descoperită de fizicianul matematic Roger Penrose .

Auto-teselarea tranzitivă a feței sferei, a planului euclidian și a planului hiperbolic cu zmee are loc ca duali uniformi: pentru grupul Coxeter [p, q], cu orice set de p, q între 3 și infinit, deoarece acest tabel arată parțial până la q = 6. Când p = q, zmeele devin rombi ; când p = q = 4, ele devin pătrate .

Poliedre și plăci deltoidale

• v
• t
• e

Poliedre			Euclidian	Placări hiperbolice
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6	V4.3.4.7	V4.3.4.8	...	V4.3.4.∞
Poliedre	Euclidian	Placări hiperbolice
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6	V4.4.4.7	V4.4.4.8	...	V4.4.4.∞
Poliedre	Placări hiperbolice
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5	V4.7.4.5	V4.8.4.5	...	V4.∞.4.5
Euclidian	Placări hiperbolice
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6	V4.7.4.6	V4.8.4.6	...	V4.∞.4.6
Placări hiperbolice
V4.3.4.7	V4.4.4.7	V4.5.4.7	V4.6.4.7	V4.7.4.7	V4.8.4.7	...	V4.∞.4.7
Placări hiperbolice
V4.3.4.8	V4.4.4.8	V4.5.4.8	V4.6.4.8	V4.7.4.8	V4.8.4.8	...	V4.∞.4.8

Condiții pentru când un patrulater tangențial este un zmeu

Un patrulater tangențial este un zmeu dacă și numai dacă oricare dintre următoarele condiții este adevărată:

• Zona este o jumătate din produsul diagonalelor .
• Diagonalele sunt perpendiculare . (Astfel zmeele sunt exact patrulaterele care sunt atât tangențiale, cât și ortodiagonale .)
• Cele două segmente de linie care leagă puncte opuse de tangență au lungime egală.
• O pereche de lungimi tangente opuse au lungime egală.
• De bimedians au o lungime egală.
• Produsele laturilor opuse sunt egale.
• Centrul cercului se află pe o linie de simetrie, care este, de asemenea, o diagonală.

Dacă diagonalele dintr-un patrulater tangențial ABCD se intersectează la P , iar cercurile din triunghiurile ABP , BCP , CDP , DAP au raze r ₁ , r ₂ , r ₃ și respectiv r ₄ , atunci patrulaterul este un zmeu dacă și numai dacă

${\ displaystyle r_ {1} + r_ {3} = r_ {2} + r_ {4}.}$

Dacă cercurile către aceleași patru triunghiuri opuse vârfului P au raze R ₁ , R ₂ , R ₃ și respectiv R ₄ , atunci patrulaterul este un zmeu dacă și numai dacă

${\ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}.}$

Referințe

linkuri externe

• Weisstein, Eric W. „Zmeu” . MathWorld .
• formule de zonă cu animație interactivă la Mathopenref.com