Icozitetraedru deltoidal - Deltoidal icositetrahedron

Icozitetraedru deltoidal
( model rotativ și 3D )
Tip	catalan
Notare Conway	oC sau deC
Diagrama Coxeter
Poligonul feței	zmeu
Fețe	24
Margini	48
Vârfuri	26 = 6 + 8 + 12
Configurarea feței	V3.4.4.4
Grup de simetrie	O h , BC 3 , [4,3], * 432
Grup de rotație	O, [4,3] + , (432)
Unghi diedru	138 ° 07′05 ″ arccos (- 7 + 4 √ 2/17)
Poliedru dual	rombicuboctaedru
Proprietăți	convex, tranzitiv la față
Net

În geometrie , un icozitetraedru deltoidal (de asemenea un icositetraedru trapezoidal , icosikaitetraedru tetragonal, trisoctaedru tetragonal și icositetraedru strombic ) este un solid catalan . Poliedrul său dual este rombicuboctaedrul .

Coordonatele carteziene

Coordonatele carteziene pentru un icozitetraedru deltoidal de dimensiuni adecvate centrate la origine sunt:

• (± 1, 0, 0), (0, ± 1, 0), (0, 0, ± 1)
• (0, ±1/2√ 2 , ±1/2√ 2 ), (±1/2√ 2 , 0, ±1/2√ 2 ), (±1/2√ 2 , ±1/2√ 2 , 0)
• (± (2 √ 2 +1) / 7, ± (2 √ 2 +1) / 7, ± (2 √ 2 +1) / 7)

Marginile lungi ale acestui icosaedru deltoidal au lungimea √ (2- √ 2 ) ≈ 0,765367.

Dimensiuni

Cele 24 de fețe sunt zmee . Marginile scurte și lungi ale fiecărui zmeu sunt în raportul 1: (2 - 1/√ 2) ≈ 1:1.292 893 ... Dacă marginile sale cele mai mici au lungimea a , suprafața și volumul său sunt

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 6 {\ sqrt {29-2 {\ sqrt {2}}}} \, a ^ {2} \\ V & = {\ sqrt {122 + 71 {\ sqrt { 2}}}} \, a ^ {3} \ end {align}}}$

Zmeele au trei unghiuri acute egale cu valoare și un unghi obtuz (între marginile scurte) cu valoare . ${\ displaystyle \ arccos ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2}}) \ aprox 81,578 \, 941 \, 881 \, 85 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ arccos (- {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {8}} {\ sqrt {2}}) \ approx 115.263 \, 174 \, 354 \, 45 ^ { \ circ}}$

Apariții în natură și cultură

Icozitetraedrul deltoidal este un obicei de cristal format adesea din mineralul analcim și ocazional granat . Forma este deseori numită trapezoedru în contexte minerale, deși în geometria solidă acest nume are un alt sens .

Proiecții ortogonale

Icositetrahedron deltoidal are trei poziții de simetrie, toate centrate pe noduri:

Proiecții ortogonale

Simetrie proiectivă	[2]	[4]	[6]
Imagine
Imagine duală

Poliedre înrudite

Proiecția solidului pe un cub își împarte pătratele în cadrane. Proiecția asupra unui octaedru își împarte triunghiurile în fețe de zmeu. În notația de poliedru Conway aceasta reprezintă o operație orto la un cub sau octaedru.

Solidul (dualul micului rombicuboctaedru ) este similar cu dodecaedrul disdyakis (dualul marelui rombicuboctaedru ) .
Diferența principală este că aceasta din urmă are, de asemenea, muchii între vârfuri pe axe de simetrie de 3 și 4 ori (între vârfurile galbene și roșii din imaginile de mai jos) .

Icozitetraedru deltoidal	Disdyakis dodecahedron	Dyakis dodecaedru	Tetartoid

Dyakis dodecaedru

O variantă cu simetrie piritoedrică se numește dodecaedru dyakis sau diploid . Este frecvent în cristalografie .
Poate fi creat prin mărirea a 24 din cele 48 de fețe ale dodecaedrului disdyakis. Tetartoid poate fi creată prin lărgirea 12 din 24 de fețe ale sale.

Stelare

Mare octoedrul triakis este o constelația a icositetrahedron deltoidal.

Poliedre și plăci conexe

Icozitetraedrul deltoidal este unul dintr-o familie de duali ai poliedrelor uniforme legate de cub și octaedru regulat.

Când este proiectat pe o sferă (vezi dreapta), se poate vedea că marginile alcătuiesc marginile unui octaedru și a unui cub dispuse în pozițiile lor duale . Se poate vedea, de asemenea, că colțurile triple și cele patru pot fi făcute să aibă aceeași distanță de centru. În acest caz, icositetraedrul rezultat nu va mai avea un rombicuboctaedru pentru un dual, deoarece pentru rombicuboctaedru centrele pătratelor și triunghiurile sale sunt la distanțe diferite de centru.

Poliedre octaedrice uniforme
Simetrie : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele la poliedre uniforme
V4 3	V3.8 2	V (3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Acest poliedru este legat topologic ca parte a secvenței poliedrelor deltoidale cu figura feței (V3.4. N .4) și continuă ca plăci ale planului hiperbolic . Aceste figuri tranzitive la față au (* n 32) simetrie reflectivă .

* n 32 mutație de simetrie a plăcilor duble expandate: V3.4. n .4

Simetrie * n 32 [n, 3]	Sferic				Euclid.	Hiperb compact.		Paraco.
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]
Figura Config.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Vezi si

• Hexecontahedron deltoidal
• Tetrakis hexahedron , un alt solid catalan cu 24 de fețe, care arată un pic ca un cub suprainflamat.
• „ Vânătorul întunericului ”, o poveste a lui HP Lovecraft, al cărei complot implică această figură
• Icozitetraedru pseudo-deltoidal

Referințe

• Williams, Robert (1979). Fundația geometrică a structurii naturale: o carte sursă de proiectare . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Secțiunea 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR  0730208 (Cele treisprezece poliedre convexe semiregulare și dualii lor, Pagina 23, icozitetraedru deltoidal)
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 [1] (Capitolul 21, Denumirea poliedrelor și a plăcilor arhimediene și catalane, pagina 286, icosikaitetraedru tetragonal )

linkuri externe

• Eric W. Weisstein , icozitetraedru deltoidal ( solid catalan ) la MathWorld .
• Icozitetraedru deltoidal (trapezoidal) - Model interactiv de poliedru