Octaedru trunchiat - Truncated octahedron

Otaedru trunchiat
(Faceți clic aici pentru model rotativ)
Tip	Poliedru uniform arhimedian solid
Elemente	F = 14, E = 36, V = 24 (χ = 2)
Fețele laterale	6 {4} +8 {6}
Notare Conway	pentru bT
Simboluri Schläfli	t {3,4} tr {3,3} sau${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	t 0,1 {3,4} sau t 0,1,2 {3,3}
Simbolul Wythoff	2 4 | 3 3 3 2 |
Diagrama Coxeter
Grup de simetrie	O h , B 3 , [4,3], (* 432), comandă 48 T h , [3,3] și (* 332), comandă 24
Grup de rotație	O , [4,3] + , (432), ordinul 24
Unghi diedru	4-6: arccos (- 1/√ 3) = 125 ° 15′51 ″ 6-6: arccos (-1/3) = 109 ° 28′16 ″
Referințe	U 08 , C 20 , W 7
Proprietăți	Semiregulate convexe parallelohedron permutohedron zonohedron
Fețe colorate	4.6.6 ( Figura Vertex )
Tetrakis hexahedron ( poliedru dual )	Net

Model 3D al unui octaedru trunchiat

În geometrie , octaedrul trunchiat este solidul arhimedian care apare dintr-un octaedru regulat prin îndepărtarea a șase piramide, câte una la fiecare dintre vârfurile octaedrului. Octaedrul trunchiat are 14 fețe (8 hexagoane regulate și 6 pătrate ), 36 de margini și 24 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie punctuală , octaedrul trunchiat este un zonoedru . Este, de asemenea, poliedrul Goldberg G _IV (1,1), care conține fețe pătrate și hexagonale. La fel ca și cubul, poate țesui (sau „împacheta”) spațiul tridimensional, ca un permutoedru .

Octaedrul trunchiat a fost numit „mecon” de Buckminster Fuller .

Poliedrul său dual este hexaedrul tetrakis . Dacă octaedrul trunchiat original are lungimea unității de margine, hexaedrul său tetrakis dublu are lungimi de margine9/8√ 2 și3/2√ 2 .

Constructie

Un octaedru trunchiat este construit dintr-un octaedru regulat cu lungimea laterală 3 a prin îndepărtarea a șase piramide pătrate drepte , câte una din fiecare punct. Aceste piramide au atât lungimea laturii de bază ( a ) și lungimea laturii laterală ( e ) a unui , pentru a forma triunghiuri echilaterale . Zona de bază este apoi un ² . Rețineți că această formă este exact similară cu jumătate de octaedru sau cu solidul Johnson J ₁ .

Din proprietățile piramidelor pătrate, putem găsi acum înălțimea înclinată, s și înălțimea, h , a piramidei:

${\ displaystyle {\ begin {align} h & = {\ sqrt {e ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} a ^ {2}}} && = {\ tfrac {1} {\ sqrt { 2}}} a \\ s & = {\ sqrt {h ^ {2} + {\ tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2 }} a ^ {2} + {\ tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} a \ end {align}}}$

Volumul, V , al piramidei este dat de:

${\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} a ^ {2} h = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {6}} a ^ {3}}$

Deoarece șase piramide sunt eliminate prin trunchiere, există un volum total pierdut de √ 2 a ³ .

Proiecții ortogonale

Octoedrul trunchiate are cinci speciale proiecții ortogonale , centrat, pe un vârf, pe două tipuri de margini, și două tipuri de fețe: Hexagon, și pătrat. Ultimele două corespund planurilor Coxeter B ₂ și A ₂ .

Proiecții ortogonale

Centrat de	Vertex	Marginea 4-6	Marginea 6-6	Face Square	Face Hexagon
Solid
Cadru de sarma
Dual
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Tiglă sferică

Octaedrul trunchiat poate fi, de asemenea, reprezentat ca o placă sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică . Această proiecție este conformă , păstrând unghiuri, dar nu zone sau lungimi. Liniile drepte de pe sferă sunt proiectate ca arcuri circulare pe plan.

	pătrat- centrat	hexagon- centrat
Proiecție ortografică	Proiecții stereografice

Coordonatele

Proiecție ortogonală în caseta de delimitare (± 2, ± 2, ± 2)	Otaedru trunchiat cu hexagoane înlocuite cu 6 triunghiuri coplanare. Există 8 noduri noi la: (± 1, ± 1, ± 1).	Octaedru trunchiat subdivizat în triacontahedron topologic rombic

Toate permutațiile de (0, ± 1, ± 2) sunt coordonatele carteziene ale vârfurilor unui octaedru trunchiat cu lungimea muchiei a = √2 centrată la origine. Vârfurile sunt astfel și colțurile a 12 dreptunghiuri ale căror margini lungi sunt paralele cu axele de coordonate.

Cei Vectorii de margine au coordonate carteziene (0, ± 1, ± 1) și permutări ale acestora. Normalele fețelor (produse transversale normalizate ale muchiilor care au un vârf comun) ale celor 6 fețe pătrate sunt (0, 0, ± 1) , (0, ± 1, 0) și (± 1, 0, 0) . Normalele fețelor celor 8 fețe hexagonale sunt (±1/√ 3, ±1/√ 3, ±1/√ 3) . Produsul punct între perechi de două fețe normale este cosinusul unghiului diedru dintre fețele adiacente, fie -1/3 sau -1/√ 3. Unghiul diedru este de aproximativ 1,910633 radiani (109,471 ° OEIS :  A156546 ) la muchiile împărțite de două hexagone sau 2,186276 radiani (125,263 ° OEIS :  A195698 ) la marginile partajate de un hexagon și un pătrat.

Disecţie

Octaedrul trunchiat poate fi disecat într-un octaedru central , înconjurat de 8 cupole triunghiulare pe fiecare față și 6 piramide pătrate deasupra vârfurilor.

Eliminarea octaedrului central și a 2 sau 4 cupole triunghiulare creează doi toroizi Stewart , cu simetrie diedrică și tetraedrică:

Genul 2	Genul 3
D 3d , [2 + , 6], (2 * 3), comandă 12	T d , [3,3], (* 332), ordinul 24

Permutoedru

De asemenea, octaedrul trunchiat poate fi reprezentat de coordonate și mai simetrice în patru dimensiuni: toate permutațiile lui (1, 2, 3, 4) formează vârfurile unui octaedru trunchiat în subespaiul tridimensional x + y + z + w = 10 . Prin urmare, octaedrul trunchiat este permutoedrul de ordinul 4: fiecare vârf corespunde unei permutații de (1, 2, 3, 4) și fiecare margine reprezintă un singur swap în două perechi de două elemente.

Suprafață și volum

Suprafața S și volumul V al unui octaedru trunchiat cu lungimea muchiei a sunt:

${\ displaystyle {\ begin {align} S & = \ left (6 + 12 {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} && \ approx 26.784 \, 6097a ^ {2} \\ V & = 8 {\ sqrt {2}} a ^ {3} && \ approx 11.313 \, 7085a ^ {3}. \ end {align}}}$

Coloranți uniformi

Există două colorări uniforme , cu simetrie tetraedrică și simetrie octaedrică , și două colorări 2-uniforme cu simetrie diedrică ca antiprismă triunghiulară trunchiată . Numele de construcție sunt date pentru fiecare. Notarea lor de poliedru Conway este dată între paranteze.

1-uniformă		2-uniformă
O h , [4,3], (* 432) Ordinul 48	T d , [3,3], (* 332) Ordinul 24	D 4h , [4,2], (* 422) Ordinul 16	D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) Ordinea 12
122 colorare	123 colorare	122 & 322 coloranți	122 și 123 coloranți
Octaedru trunchiat (tO)	Tetraedru teșit (bT)	Bipiramida pătrată trunchiată (tdP4)	Antiprism triunghiular trunchiat (tA3)

Chimie

Octoedrul trunchiat există în structura faujasite cristalelor.

Ascunderea datelor

Trunchiată octaedru (de fapt, generalizate trunchiată octaedru) apare în analiza erorilor a indicelui de cuantizare modulării (Qim) coroborat cu codare de repetiție.

Poliedre înrudite

Octaedrul trunchiat este unul dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cub și octaedru regulat.

Poliedre octaedrice uniforme
Simetrie : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele la poliedre uniforme
V4 3	V3.8 2	V (3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

De asemenea, există ca omnitruncat al familiei tetraedrului:

Familia de poliedre tetraedrice uniforme
Simetrie : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Dualele la poliedre uniforme
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Mutații de simetrie

* n 32 mutații de simetrie ale plăcilor omnitruncate: 4.6.2n v t e
Sim. * n 32 [ n , 3]	Sferic				Euclid.	Hiperb compact.		Paraco.	Hiperbolic necompact
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3]	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Cifre
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Dualuri
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* nn 2 mutații de simetrie ale plăcilor omnitruncate: 4,2 n .2 n v t e
Simetrie * nn 2 [n, n]	Sferic		Euclidian	Hiperbolic compact				Paracomp.
	* 222 [2,2]	* 332 [3,3]	* 442 [4,4]	* 552 [5,5]	* 662 [6,6]	* 772 [7,7]	* 882 [8,8] ...	* ∞∞2 [∞, ∞]
Figura
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dual
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Acest poliedru este un membru al unei secvențe de modele uniforme cu figura de vârf (4.6.2 p ) și diagrama Coxeter-Dynkin . Pentru p  <6, membrii secvenței sunt poliedre omnitruncate ( zonoedre ), prezentate mai jos ca plăci sferice. Pentru p  > 6, acestea sunt placări ale planului hiperbolic, începând cu placarea triheptagonală trunchiată .

Octaedrul trunchiat este legat topologic ca o parte a secvenței de poliedre uniforme și a plăcilor cu cifre de vârf n .6.6, care se extind în planul hiperbolic:

* n 32 mutație de simetrie a plăcilor trunchiate: n .6.6 v t e
Sim. * n 42 [n, 3]	Sferic				Euclid.	Compact		Parac.	Hiperbolic necompact
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Cifre trunchiate
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
cifre n-kis
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Octaedrul trunchiat este legat topologic ca parte a secvenței poliedrelor uniforme și a plăcilor cu cifre de vârf 4.2 n .2 n , care se extind în planul hiperbolic:

* n 42 mutație de simetrie a plăcilor trunchiate: 4,2 n .2 n v t e
Simetrie * n 42 [n, 4]	Sferic		Euclidian	Hiperbolic compact				Paracomp.
	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Cifre trunchiate
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
cifre n-kis
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Politopi înrudiți

Trunchiate octaedru ( bitronconic cub), este mai întâi într - o secvență de bitronconică Hipercub :

Hipercuburi bitruncate

Imagine							...
Nume	Cub bitruncat	Tesseract bitruncat	5 cuburi bitruncate	Cub cu 6 bucăți	Bit-trunchiat cu 7 cuburi	Bitruncat cu 8 cuburi
Coxeter
Figura Vertex	() v {}	{} v {}	{} v {3}	{} v {3,3}	{} v {3,3,3}	{} v {3,3,3,3}

Este posibil să tăiați un teseract printr-un hiperplan, astfel încât secțiunea transversală să fie un octaedru trunchiat.

Teselări

Octaedrul trunchiat există în trei faguri uniformi conveși diferiți ( teselări care umplu spațiu ):

Cubic bitruncat	Cubic cantitruncat	Cubic alternat trunchiat

Celulă-tranzitiv bitronconică fagure cubi poate fi văzută ca tessellation Voronoi a grilajului cubica corp . Octaedrul trunchiat este unul dintre cele cinci paraleloedre primare tridimensionale .

Obiecte

Plasele de gimnastică din junglă includ adesea octaedre trunchiate.

• 

  chinezii antici mor

• 

  sculptură la Bonn

• 

  Varianta Cubului lui Rubik

• 

  model realizat cu set de construcții Polydron

• 

  Cristal de pirită

Grafic octaedric trunchiat

Grafic octaedric trunchiat
Diagrama Schlegel simetrică de 3 ori
Vârfuri	24
Margini	36
Automorfisme	48
Număr cromatic	2
Grosimea cărții	3
Număr coadă	2
Proprietăți	Cubic , hamiltonian , regulat , zero-simetric
Tabel de grafice și parametri

În câmpul matematic al teoriei graficelor , un grafic octaedric trunchiat este graficul vârfurilor și marginilor octaedrului trunchiat. Are 24 de vârfuri și 36 de margini și este un grafic arhimedic cubic . Are grosimea cărții 3 și coada numărul 2.

Ca grafic cub hamiltonian , poate fi reprezentat prin notația LCF în mai multe moduri: [3, −7, 7, −3] ⁶ , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11 , 11, −5, −7, 7] ² și [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3].

Trei cicluri hamiltoniene diferite descrise de cele trei notații LCF diferite pentru graficul octaedric trunchiat

Referințe

• Williams, Robert (1979). Fundația geometrică a structurii naturale: o carte sursă de proiectare . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Secțiunea 3-9)
• Freitas, Robert A. Jr. „Umplerea uniformă a spațiului folosind doar octaedre trunchiate” . Figura 5.5 din Nanomedicină, Volumul I: Capabilități de bază , Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999 . Adus 08-09-2006 . Link extern în |publisher=( ajutor )
• Gaiha, P. & Guha, SK (1977). "Vârfurile adiacente pe un permutoedru". SIAM Journal on Applied Mathematics . 32 (2): 323-327. doi : 10.1137 / 0132025 .
• Hart, George W. „Modelul VRML al octaedrului trunchiat” . Poliedre virtuale: Enciclopedia poliedrelor . Adus 08-09-2006 . Link extern în |publisher=( ajutor )
• Mäder, Roman. „Poliedrele uniforme: octaedru trunchiat” . Adus 08-09-2006 .
• Alexandrov, AD (1958). Konvexe Polyeder . Berlin: Springer. p. 539. ISBN 3-540-23158-7.
• Cromwell, P. (1997). Poliedre . Regatul Unit: Cambridge. pp. 79–86 Solidele arhimedeene . ISBN 0-521-55432-2.

linkuri externe

• Eric W. Weisstein , octaedru trunchiat ( solid arhimedean ) la MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Grafic octaedric trunchiat” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Permutoedru” . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedre 3D convexe uniforme x3x4o - deget de la picior" .
• Rețea imprimabilă editabilă a unui octaedru trunchiat cu vizualizare 3D interactivă