Piramida pătrată - Square pyramid

Piramida pătrată
Tip	Johnson J 92 - J 1 - J 2
Fețe	4 triunghiuri congruente 1 pătrat
Margini	8
Vârfuri	5
Configurare vertex	4 (3 2 .4) (3 4 )
Simbolul Schläfli	() ∨ {4}
Grup de simetrie	C 4v , [4], (* 44)
Grup de rotație	C 4 , [4] + , (44)
Volum	V = (l 2 .h) / 3
Poliedru dual	de sine
Proprietăți	convex
Net

În geometrie , o piramidă pătrată este o piramidă având o bază pătrată . Dacă vârful este perpendicular deasupra centrului pătratului, este o piramidă pătrată dreaptă și are simetrie C _4v . Dacă toate lungimile muchiilor sunt egale, este o piramidă pătrată echilaterală , solidul Johnson J ₁ .

Piramida pătrată generală

O piramidă pătrată, posibil oblică, cu lungimea bazei l și înălțimea perpendiculară h are volum:

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} l ^ {2} h}$.

Piramida pătrată dreaptă

Într-o piramidă pătrată dreaptă, toate marginile laterale au aceeași lungime, iar laturile, altele decât baza, sunt triunghiuri isoscele congruente .

O piramidă pătrată dreaptă cu lungimea bazei l și înălțimea h are suprafața și volumul:

${\ displaystyle A = l ^ {2} + l {\ sqrt {l ^ {2} + 4h ^ {2}}}}$,

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} l ^ {2} h}$.

Lungimea marginii laterale este:

${\ displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + {{l ^ {2}} \ over {2}}}}}$;

înălțimea înclinată este:

${\ displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + {{l ^ {2}} \ over {4}}}}}$.

Cele unghiurile diedre sunt:

• între bază și o latură:

${\ displaystyle \ arctan \ left ({{2 \, h} \ over {l}} \ right)}$;

• între două părți:

${\ displaystyle \ arccos \ left ({{- l ^ {2}} \ over {l ^ {2} +4 \, h ^ {2}}} \ right)}$.

Piramida pătrată echilaterală, Johnson solid J ₁

Dacă toate muchiile au aceeași lungime, atunci laturile sunt triunghiuri echilaterale , iar piramida este o piramidă pătrată echilaterală, Johnson solid J ₁ .

Piramida pătrată Johnson poate fi caracterizată printr-un singur parametru de lungime a muchiei l .

Înălțimea h (de la punctul mediu al pătratului până la vârf), suprafața A (inclusiv toate cele cinci fețe) și volumul V al unei piramide pătrate echilaterale sunt:

${\ displaystyle h = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} l}$ ,

${\ displaystyle A = \ left (1 + {\ sqrt {3}} \ right) l ^ {2}}$,

${\ displaystyle V = {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} l ^ {3}}$.

Unghiurile diedre ale unei piramide pătrate echilaterale sunt:

• între bază și o latură:

${\ displaystyle \ arctan {{\ big (} {\ sqrt {2}} {\ big)}} \ approx 54.73561 ^ {\ circ}}$.

• între două laturi (adiacente):

${\ displaystyle \ arccos \ left ({- {\ frac {1} {3}}} \ right) \ approx 109.47122 ^ {\ circ}}$.

Grafic

O piramidă pătrată poate fi reprezentată de graficul roții W ₅ .

Poliedre și faguri înrudite

Piramide regulate
Digonal	Triunghiular	Pătrat	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octogonal	Eneagonal	Decagonal ...
Necorespunzător	Regulat	Echilateral		Isoscel

Un octaedru regulat poate fi considerat o bipiramidă pătrată , adică două piramide pătrate Johnson conectate de la bază la bază.	Hexaedru tetrachis poate fi construit dintr - un cub cu piramide pătrate scurte adăugate la fiecare față.	Frustul pătrat este o piramidă pătrată cu vârful trunchiat.

Piramidele pătrate umple spațiul cu tetraedre , cuburi trunchiate sau cuboctaedre .

Poliedru dual

Piramida pătrată este topologic un poliedru auto-dual . Lungimile marginilor dualului sunt diferite datorită reciprocității polare .

Dualul piramidei pătrate	Net de dual

Referințe

linkuri externe

• Eric W. Weisstein , piramida pătrată ( Johnson solid ) la MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Graficul roților” . MathWorld .
• Piramida pătrată - Model interactiv de poliedru
• Poliedre de realitate virtuală georgehart.com: Enciclopedia poliedrelor ( model VRML )