Cuboctaedru - Cuboctahedron
Cuboctaedru | |
---|---|
(Faceți clic aici pentru model rotativ) |
|
Tip |
Poliedru uniform arhimedian solid |
Elemente | F = 14, E = 24, V = 12 (χ = 2) |
Fețele laterale | 8 {3} +6 {4} |
Notare Conway | aC aaT |
Simboluri Schläfli | r {4,3} sau rr {3,3} sau |
t 1 {4,3} sau t 0,2 {3,3} | |
Simbolul Wythoff | 2 | 3 4 3 3 | 2 |
Diagrama Coxeter |
sau sau |
Grup de simetrie |
O h , B 3 , [4,3], (* 432), comandă 48 T d , [3,3], (* 332), ordine 24 |
Grup de rotație | O , [4,3] + , (432), ordinul 24 |
Unghi diedru | 125,26 ° arcsec (- √ 3 ) |
Referințe | U 07 , C 19 , W 11 |
Proprietăți | Semiregulate convexe quasiregular |
Fețe colorate |
3.4.3.4 ( Figura Vertex ) |
Dodecaedru rombic ( poliedru dual ) |
Net |
Un cuboctaedru este un poliedru cu 8 fețe triunghiulare și 6 fețe pătrate. Un cuboctaedru are 12 vârfuri identice , cu 2 triunghiuri și 2 pătrate întâlnite la fiecare și 24 de margini identice , fiecare separând câte un triunghi de un pătrat. Ca atare, este un poliedru cvasiregular , adică un solid arhimedian care nu este doar tranzitiv la vârf, ci și tranzitiv la margine . Este singurul poliedru convex radial echilateral .
Poliedrul său dual este dodecaedrul rombic .
Cuboctaedrul era probabil cunoscut lui Platon : Definițiile lui Heron îl citează pe Arhimede spunând că Platon știa de un solid format din 8 triunghiuri și 6 pătrate.
Alte nume
-
Heptaparallelohedron ( Buckminster Fuller )
- Fuller a aplicat numele „ Dymaxion ” acestei forme, folosită într-o versiune timpurie a hărții Dymaxion . De asemenea, el l-a numit „echilibru vectorial” datorită simetriei sale echilaterale radiale (raza sa de la centru la vârf este egală cu lungimea marginii sale). El a numit un cuboctaedru format din tije rigide conectate prin vârfuri flexibile „jitterbug” (această formă poate fi deformată progresiv într-un icosaedru , octaedru și tetraedru prin prăbușirea laturilor sale pătrate).
- Cu O h simetrie, ordine 48, este un rectificat cub sau octaedru rectificat ( Norman Johnson )
- Cu T d simetrie, ordine 24, este un cantellated tetraedru sau rhombitetratetrahedron.
- Cu simetria D 3d , ordinea 12, este o girobicupola triunghiulară .
Suprafață și volum
Aria A și volumul V al cuboctaedrului cu lungimea muchiei a sunt:
Proiecții ortogonale
Cuboctahedron are patru speciale proiecții ortogonale , centrate pe un vârf, o margine, și cele două tipuri de fețe, triunghiulare și pătrat. Ultimele două corespund planurilor Coxeter B 2 și A 2 . Proiecțiile înclinate arată un pătrat și un hexagon care trece prin centrul cuboctaedrului.
Față pătrată |
Față triunghiulară |
Vertex | Margine | Oblic | |
---|---|---|---|---|---|
[4] | [6] | [2] | [2] | ||
Dodecaedru rombic (poliedru dual) | |||||
Tiglă sferică
Cuboctaedrul poate fi, de asemenea, reprezentat ca o placă sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică . Această proiecție este conformă , păstrând unghiuri, dar nu zone sau lungimi. Liniile drepte de pe sferă sunt proiectate ca arcuri circulare pe plan.
proiecție ortografică | pătrat- centrat | triunghi -centrat | Vertex centrat |
---|---|---|---|
Proiecție stereografică |
Coordonatele carteziene
De coordonate carteziene pentru nodurile unei cuboctahedron (cu lungimea muchiei √ 2 ) centrate la origine sunt:
- (± 1, ± 1,0)
- (± 1,0, ± 1)
- (0, ± 1, ± 1)
Un set alternativ de coordonate poate fi realizat în 4 spații, ca 12 permutări ale:
- (0,1,1,2)
Această construcție există ca una din cele 16 orthant fațete ale cantellated 16-celulă .
Vectorii rădăcină
Cele 12 vârfuri ale cuboctaedrului pot reprezenta vectorii rădăcină ai grupului Lie simplu A 3 . Cu adăugarea a 6 vârfuri ale octaedrului , aceste vârfuri reprezintă cei 18 vectori rădăcini ai grupului Lie simplu B 3 .
Disecţie
Cuboctahedron poate fi disecat în două cupole triunghiulare de un hexagon comun care trece prin centrul cuboctahedron. Dacă aceste două cupole triunghiulare sunt răsucite astfel încât triunghiurile și pătratele să se alinieze , se creează solidul Johnson J 27 , ortobicupola triunghiulară .
Cuboctaedrul poate fi, de asemenea, disecat în 6 piramide pătrate și 8 tetraedre întâlnite într-un punct central. Această disecție este exprimată în fagure cubice alternate unde perechile de piramide pătrate sunt combinate în octaedre .
Relații geometrice
Simetriile
Cuboctaedrul este poliedrul convex unic în care raza lungă (de la centru la vârf) este aceeași cu lungimea muchiei; astfel diametrul său lung (vârf la vârf opus) este de 2 lungimi de margine. Această simetrie echilaterală radială este o proprietate a doar câtorva politopi uniformi , incluzând hexagonul bidimensional, cuboctaedrul tridimensional și cele cu patru dimensiuni cu 24 și 8 celule (tesseract) . Politopii radial echilaterali sunt cei care pot fi construiți, cu razele lor lungi, din triunghiuri echilaterale care se întâlnesc în centrul politopului, fiecare contribuind două raze și o margine. Prin urmare, toate elementele interioare care se întâlnesc în centrul acestor politopi au fețe interioare de triunghi echilateral, ca în disecția cuboctaedrului în 6 piramide pătrate și 8 tetraedre. Fiecare dintre acești politopi radial echilaterali apare, de asemenea, ca celule ale unei teselări caracteristice de umplere a spațiului : placarea hexagonelor obișnuite, fagurele cubic rectificat (al cuboctaedrelor și octaedrelor alternante), fagurelui cu 24 de celule și respectiv fagurului teseractic . Fiecare teselare are o teselare duală ; centrele de celule dintr-o teselare sunt vârfuri de celule în teselarea sa duală. Cea mai densă ambalare de sferă regulată cunoscută în două, trei și patru dimensiuni folosește centrele celulare ale uneia dintre aceste teselări ca centre de sferă.
Un cuboctaedru are simetrie octaedrică. Prima sa stelație este compusul unui cub și octaedrul său dual , cu vârfurile cuboctaedrului situate în punctele medii ale marginilor oricăruia.
Construcții
Un cuboctaedru poate fi obținut luând o secțiune transversală ecuatorială a unei celule cu patru dimensiuni cu 24 sau 16 celule . Un hexagon poate fi obținut luând o secțiune transversală ecuatorială a unui cuboctaedru.
Cuboctaedrul este un cub rectificat și, de asemenea, un octaedru rectificat .
Este, de asemenea, un tetraedru cantelat . Cu această construcție i se dă simbolul Wythoff : 3 3 | 2 .
O cantelare înclinată a tetraedrului produce un solid cu fețe paralele cu cele ale cuboctaedrului, și anume opt triunghiuri de două dimensiuni și șase dreptunghiuri. În timp ce marginile sale sunt inegale, acest solid rămâne uniform la vârf : solidul are grupul complet de simetrie tetraedrică și vârfurile sale sunt echivalente sub acel grup.
Marginile unui cuboctaedru formează patru hexagone regulate . Dacă cuboctaedrul este tăiat în planul unuia dintre aceste hexagone, fiecare jumătate este o cupolă triunghiulară , unul dintre solidele Johnson ; cuboctaedrul în sine poate fi, de asemenea, numit și girobicupola triunghiulară , cea mai simplă dintr-o serie (alta decât girobifastigium sau "girobicupola digonală"). Dacă jumătățile sunt reunite împreună cu o răsucire, astfel încât triunghiurile să se întâlnească cu triunghiurile și pătratele să se întâlnească cu pătratele, rezultatul este un alt solid Johnson, ortobicupola triunghiulară , numită și anticuboctaedru.
Ambele bicupole triunghiulare sunt importante în ambalarea sferelor . Distanța de la centrul solidului la vârfurile sale este egală cu lungimea marginii sale. Fiecare sferă centrală poate avea până la doisprezece vecini, iar într-o rețea cubică centrată pe față, aceștia iau pozițiile vârfurilor unui cuboctaedru. Într -o rețea hexagonală strânsă, ele corespund colțurilor ortobicupolei triunghiulare. În ambele cazuri sfera centrală ia poziția centrului solidului.
Cuboctahedra apare ca celule în trei dintre fagurii uniformi conveși și în nouă dintre 4- politopi uniformi conveși .
Volumul cuboctaedrului este 5/6 a celui al cubului care înconjoară și 5/8 de cea a octaedrului care înconjoară.
Aranjament de vârf
Deoarece este radial echilateral, centrul cuboctaedrului poate fi tratat ca un al 13-lea vârf canonic apical , la o lungime de margine distanță de cele 12 vârfuri obișnuite, deoarece vârful unei piramide canonice este o lungime de margine echidistantă de celelalte vârfuri ale sale.
Cuboctaedrul își împarte marginile și dispunerea vârfurilor cu două poliedre uniforme neconvexe : cubohemioctaedrul (având fețele pătrate în comun) și octahemioctaedrul (având fețele triunghiulare în comun), ambele au patru hexagone. De asemenea, servește ca tetraedru cantelat , ca fiind un tetratetraedru rectificat .
Cuboctaedru |
ecuatorul său |
Cubohemioctaedru |
Octahemioctaedru |
Cuboctahedron 2 acoperă tetrahemihexahedron , care are în consecință același abstract figura vertex (două triunghiuri și două pătrate: 3.4.3.4) și jumătate din vârfuri, muchii și fețe. (Cifra reală a vârfului tetrahemihexaedrului este de 3,4.3/2.4, cu A/2 factor datorat crucii.)
Cuboctaedru |
Tetrahemihexahedron |
Poliedre înrudite
Cuboctaedrul este unul dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cub și octaedru regulat.
Poliedre octaedrice uniforme | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
|||||||
{4,3} | t {4,3} |
r {4,3} r {3 1,1 } |
t {3,4} t {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
h {4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t {3,3} |
s {3,4} s {3 1,1 } |
= |
= |
= |
= sau |
= sau |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Dualele la poliedre uniforme | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Cuboctaedrul are și simetrie tetraedrică cu două culori de triunghiuri.
Familia de poliedre tetraedrice uniforme | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie : [3,3] , (* 332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t {3,3} | r {3,3} | t {3,3} | {3,3} | rr {3,3} | tr {3,3} | sr {3,3} |
Dualele la poliedre uniforme | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Poliedre și plăci cvasiregulare conexe
Cuboctaedrul există într-o succesiune de simetrii a poliedrelor cvasiregulare și a plăcilor cu configurații de vârf (3. n ) 2 , progresând de la plăcile sferei la planul euclidian și în planul hiperbolic. Cu simetria notării orbifold a * n 32 toate aceste plăci sunt construcții wythoff într-un domeniu fundamental de simetrie, cu puncte generator la colțul unghi drept al domeniului.
* n 32 simetriile orbifold ale plăcilor cvasiregulare : (3. n ) 2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Constructie |
Sferic | Euclidian | Hiperbolic | ||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |
Figurile cvasiregulare |
|||||||
Vertex | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3.5) 2 | (3.6) 2 | (3.7) 2 | (3.8) 2 | (3.∞) 2 |
* n 42 mutații de simetrie ale plăcilor cvasiregulare: (4. n ) 2 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie * 4 n 2 [n, 4] |
Sferic | Euclidian | Hiperbolic compact | Paracompact | Noncompact | |||
* 342 [3,4] |
* 442 [4,4] |
* 542 [5,4] |
* 642 [6,4] |
* 742 [7,4] |
* 842 [8,4] ... |
* ∞42 [∞, 4] |
[ n i, 4] |
|
Cifre | ||||||||
Config. | (4.3) 2 | (4.4) 2 | (4.5) 2 | (4.6) 2 | (4.7) 2 | (4.8) 2 | (4.∞) 2 | (4. n i) 2 |
Acest poliedru este topologic legat ca o parte a secvenței de poliedre cantelate cu figura de vârf (3.4. N .4) și continuă ca plăci ale planului hiperbolic . Aceste cifre tranzitive la vârf au (* n 32) simetrie reflexivă .
* n 32 mutație de simetrie a plăcilor expandate: 3.4. n .4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie * n 32 [n, 3] |
Sferic | Euclid. | Hiperb compact. | Paracomp. | ||||
* 232 [2,3] |
* 332 [3,3] |
* 432 [4,3] |
* 532 [5,3] |
* 632 [6,3] |
* 732 [7,3] |
* 832 [8,3] ... |
* ∞32 [∞, 3] |
|
Figura | ||||||||
Config. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Politopi înrudiți
Cuboctaedrul poate fi descompus într-un octaedru regulat și opt octaedre neregulate, dar egale, în forma corpului convex al unui cub cu două vârfuri opuse îndepărtate. Această descompunere a cuboctaedrului corespunde cu proiecția paralelă a primei celule a celulei 24 în trei dimensiuni. Sub această proiecție, cuboctaedrul formează învelișul de proiecție, care poate fi descompus în șase fețe pătrate, un octaedru regulat și opt octaedre neregulate. Aceste elemente corespund cu imaginile a șase celule octaedrice din celula 24, cea mai apropiată și cea mai îndepărtată celulă din punctul de vedere 4D, respectiv celelalte opt perechi de celule.
Evenimente culturale
- În episodul Star Trek „ By Any Other Name ”, extratereștrii captează Enterprise transformând membrii echipajului în cuboctaedre neînsuflețite.
- Jucăria „Geo Twister” [1] este un cuboctaedru flexibil.
- Stațiile spațiale Coriolis din seria de jocuri pe computer Elite au formă de cuboctaedru.
- Vesak Kuudu, felinare tradiționale fabricate anual în Sri Lanka pentru a sărbători ziua Vesak Poya, sunt de obicei cuboctaedrice.
- „Moonsnakes” de la Super Mario Odyssey .
- InfluxData , compania din spatele bazei de date a seriilor de timp InfluxDB , folosește cuboctaedrul în sigla sa .
Grafic cuboctaedric
Grafic cuboctaedric | |
---|---|
Vârfuri | 12 |
Margini | 24 |
Automorfisme | 48 |
Proprietăți | |
Tabel de grafice și parametri |
În câmpul matematic al teoriei graficelor , un grafic cuboctaedric este graficul vârfurilor și marginilor cuboctaedrului, unul dintre solidele arhimedice . Poate fi, de asemenea, construit ca grafic liniar al cubului. Are 12 vârfuri și 24 de margini, este liniar local și este un grafic arhimedic cuarțial .
Simetrie de 6 ori |
Vezi si
Referințe
Lecturi suplimentare
- Ghyka, Matila (1977). Geometria artei și a vieții (ed. [Nachdr.]). New York: publicațiile Dover . pp. 51-56, 81-84 . ISBN 9780486235424.
- Weisstein, Eric W. (2002). „Cuboctaedru”. Enciclopedia concisă a matematicii CRC (ediția a II-a). Hoboken: CRC Press . pp. 620-621. ISBN 9781420035223.
- Williams, Robert (1979). Fundația geometrică a structurii naturale: o carte sursă de proiectare . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Secțiunea 3-9)
- Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Cap.2 p. 79-86 solide arhimedeice
linkuri externe
- Poliedrele uniforme
- Virtual Reality Polyhedra Enciclopedia poliedrelor
- Eric W. Weisstein , Cuboctahedron ( solid arhimedean ) la MathWorld .
- Cuboctaedrul de pe Hexnet este un site dedicat matematicii hexagonale.
- Klitzing, Richard. "Poliedre 3D convexe 3D o3x4o - co" .
- Rețea imprimabilă editabilă a unui Cuboctahedron cu vizualizare 3D interactivă