Cub snub - Snub cube

Snub grafic cub
Snub grafic cub
	Simetrie de 4 ori
Vârfuri	24
Margini	60
Automorfisme	24
Proprietăți	Hamiltonian , regulat
	Tabel de grafice și parametri

Cub snub
(Faceți clic aici pentru model rotativ)
Tip	Poliedru uniform arhimedian solid
Elemente	F = 38, E = 60, V = 24 (χ = 2)
Fețele laterale	(8 + 24) {3} +6 {4}
Notare Conway	sC
Simboluri Schläfli	sr {4,3} sau ${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Simboluri Schläfli	ht _0,1,2 {4,3}
Simbolul Wythoff	\| 2 3 4
Diagrama Coxeter
Grup de simetrie	O , 1/2B ₃ , [4,3] ⁺ , (432), ordinul 24
Grup de rotație	O , [4,3] ⁺ , (432), ordinul 24
Unghi diedru	3-3: 153 ° 14′04 ″ (153,23 °) 3-4: 142 ° 59′00 ″ (142,98 °)
Referințe	U ₁₂ , C ₂₄ , W ₁₇
Proprietăți	Semiregulate convex chiral
Fețe colorate	3.3.3.3.4 ( Figura Vertex )
Icozitetraedru pentagonal ( poliedru dual )	Net

Model 3D al unui cub snub

În geometrie , cubul snub sau cuboctaedrul snub este un solid arhimedian cu 38 de fețe: 6 pătrate și 32 de triunghiuri echilaterale . Are 60 de margini și 24 de vârfuri .

Este un poliedru chiral ; adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „ enantiomorfe ”) unele cu altele. Unirea ambelor forme este un compus din două cuburi , iar carcasa convexă a ambelor seturi de vârfuri este un cuboctaedru trunchiat .

Kepler a numit-o pentru prima dată în latină sub numele de cubus simus în 1619 în Harmonices Mundi . HSM Coxeter , menționând că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru ca și cubul, l-a numit snub cuboctahedron , cu un simbol vertical Schläfli extins și reprezentând o alternanță a unui cuboctahedron trunchiat , care are simbolul Schläfli . ${\ displaystyle s \ scriptstyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle t \ scriptstyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$

Dimensiuni

Pentru un cub snub cu lungimea muchiei 1, suprafața și volumul său sunt:

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = 6 + 8 {\ sqrt {3}} && \ approx 19.856 \, 406 \, 460 \, 6 \\ V & = {\ frac {8t + 6} {3 {\ sqrt {2 (t ^ {2} -3)}}}} && \ approx 7.889 \, 477 \, 399 \, 98 \ end {align}}}

unde t este constanta tribonacci

{\ displaystyle t = {\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {19-3 {\ sqrt {33}}}} + {\ sqrt [{3}] {19 + 3 {\ sqrt {33 }}}}} {3}} \ aproximativ 1.839 \, 286 \, 755 \, 21.}

În cazul în care cubul original are lungimea muchiei 1, icositetraedrul său dublu pentagonal are lungimi laterale

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {t + 1}}} {\ approx 0,593 \, 465} \ quad {\ text {și}} \ quad {\ frac {\ sqrt {t + 1}} {2}} \ aproximativ 0,842 \, 509.}

.

În general, volumul unui cub snub cu lungimea laterală poate fi găsit cu această formulă, folosind t ca constantă tribonacci de mai sus: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle V = a ^ {3} \ cdot {\ frac {3 {\ sqrt {t-1}} + 4 {\ sqrt {t + 1}}} {3 {\ sqrt {2-t}}} } \ aproximativ 7.889 \, 477 \, 399 \, 98a ^ {3}}$ .

Coordonatele carteziene

Coordonatele carteziene pentru vârfurile unui cub snub sunt toate permutările uniforme ale

(± 1, ±1t, ± t )

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutațiile impare cu un număr impar de semne plus, unde t ≈ 1.83929 este constanta tribonacci . Luând permutațiile pare cu un număr impar de semne plus, și permutațiile impare cu un număr par de semne plus, dă un cub diferit, imaginea în oglindă. Luând-le pe toate, rezultă compusul din două cuburi .

Acest cub snub are margini de lungime , un număr care satisface ecuația ${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2 + 4t-2t ^ {2}}}}$

{\ displaystyle \ alpha ^ {6} -4 \ alpha ^ {4} +16 \ alpha ^ {2} -32 = 0, \,}

și poate fi scris ca

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ sqrt {{\ frac {4} {3}} - {\ frac {16} {3 \ beta}} + {\ frac {2 \ beta} { 3}}}} \ approx 1.609 \, 72 \\\ beta & = {\ sqrt [{3}] {26 + 6 {\ sqrt {33}}}} \ end {align}}}

Pentru a obține un cub snub cu lungimea unității marginii, împărțiți toate coordonatele de mai sus la valoarea α dată mai sus.

Proiecții ortogonale

Cubul snub nu are simetrie punctuală , astfel încât vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate.

Cub carn are două speciale proiecții ortogonale , centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, corespund A ₂ și B ₂ Coxeter avioane .

Proiecții ortogonale
Centrat de	Triunghiul feței	Face Square	Margine
Solid
Cadru de sarma
Simetrie proiectivă	[3]	[4] ⁺	[2]
Dual

Tiglă sferică

Cubul snub poate fi, de asemenea, reprezentat ca o placă sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică . Această proiecție este conformă , păstrând unghiuri, dar nu zone sau lungimi. Arcurile cercului mare (geodezice) pe sferă sunt proiectate ca arcuri circulare pe plan.

Proiecție ortografică	Proiecție stereografică
	pătrat- centrat

Relații geometrice

Cub, rombicuboctaedru și cub snub ( expansiune animată și răsucire )

Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, trăgându-le spre exterior, astfel încât să nu mai atingă, apoi oferindu-le fiecărei o mică rotație pe centrele lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau toate în sens invers acelor de ceasornic) până când spațiile dintre ele pot fi umplute cu triunghiuri echilaterale .

Alternanța uniformă a unui cuboctaedru trunchiat

Cubul snub poate fi, de asemenea, derivat din cuboctaedrul trunchiat prin procesul de alternanță . 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru topologic echivalent cu cubul snub; celelalte 24 își formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este vertex-tranzitiv, dar nu uniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform al lui Arhimede, este util ca design sferic .

Poliedre și plăci conexe

Cubul snub este unul dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cub și octaedru regulat.

Poliedre octaedrice uniforme
Simetrie : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 ^1,1 }	t {3,4} t {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h ₂ {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 ^1,1 }

		=	=	=				= sau	= sau	=

Dualele la poliedre uniforme
V4 ³	V3.8 ²	V (3.4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	V3.6 ²	V3 ⁵

Acest poliedru semiregular este un membru al unei secvențe de poliedre snubate și plăci cu figura de vârf (3.3.3.3. N ) și diagrama Coxeter-Dynkin . Aceste figuri și dualii lor au ( n 32) simetrie de rotație , fiind în planul euclidian pentru n = 6 și plan hiperbolic pentru orice n mai mare . Se poate considera că seria începe cu n = 2, cu un set de fețe degenerate în digoni .

n 32 de mutații de simetrie ale plăcilor de îndoire: 3.3.3.3.n v t e
Simetria n 32	Sferic				Euclidian	Hiperbolic compact		Paracomp.
Simetria n 32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Cifre snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Cifre giroscopice
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Cubul carn este al doilea dintr - o serie de poliedre carn și tilings cu vârful figura 3.3.4.3. n .

4 n 2 mutații de simetrie ale plăcilor de îndoire: 3.3.4.3.n v t e
Simetrie 4 n 2	Sferic		Euclidian	Hiperbolic compact				Paracomp.
Simetrie 4 n 2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Cifre snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Cifre giroscopice
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Snub grafic cub

În matematică domeniul teoria grafurilor , un carn grafic cubica este graficul de noduri și muchii ale cubului carn , unul dintre solidele Arhimede . Are 24 de vârfuri și 60 de margini și este un grafic arhimedean .

Proiecție ortogonală

Vezi si

Referințe

Jayatilake, Udaya (martie 2005). "Calcule pe poliedre regulate ale feței și vârfurilor". Gazeta matematică . 89 (514): 76–81. doi : 10.1017 / S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
Williams, Robert (1979). Fundația geometrică a structurii naturale: o carte sursă de proiectare . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Secțiunea 3-9)
Cromwell, P. (1997). Poliedre . Regatul Unit: Cambridge. pp. 79–86 Solidele arhimedeene . ISBN 0-521-55432-2.

linkuri externe

Eric W. Weisstein , cub Snub ( solid arhimedean ) la MathWorld .
- Weisstein, Eric W. „Snub cubic graph” . MathWorld .
Klitzing, Richard. "Poliedre 3D convexe 3D s3s4s - snic" .
Poliedrele uniforme
Virtual Reality Polyhedra Enciclopedia poliedrelor
Rețea imprimabilă editabilă a unui Snub Cube cu vizualizare 3D interactivă

Languages

In other projects