Figura Vertex - Vertex figure

Figura de vârf "jumătate de margine" a cubului

În geometrie , o figură de vârf , în linii mari, este figura expusă atunci când un colț al unui poliedru sau politop este tăiat.

Definiții

Figura de vârf a întregului cub a cubului
Figura sferică a vârfului cubului
Figura de vârf a cubului setată de puncte

Luați un colț sau un vârf al unui poliedru . Marcați un punct undeva de-a lungul fiecărei margini conectate. Desenați linii peste fețele conectate, unind punctele adiacente din jurul feței. La terminare, aceste linii formează un circuit complet, adică un poligon, în jurul vârfului. Acest poligon este figura vertexului.

Definiții formale mai precise pot varia destul de mult, în funcție de circumstanțe. De exemplu, Coxeter (de exemplu, 1948, 1954) își modifică definiția ca fiind convenabilă pentru zona actuală de discuție. Cele mai multe dintre definițiile următoare ale unei figuri de vârf se aplică la fel de bine la plăcile infinite sau, prin extensie, la teselarea care umple spațiul cu celule politopice și alți politopi cu dimensiuni superioare .

Ca o felie plată

Faceți o felie prin colțul poliedrului, tăind toate marginile conectate la vârf. Suprafața tăiată este figura vârfului. Aceasta este poate cea mai comună abordare și cea mai ușor de înțeles. Diferiti autori realizează felia în diferite locuri. Wenninger (2003) taie fiecare margine la o distanță unitară de vârf, la fel ca și Coxeter (1948). Pentru poliedre uniforme, construcția lui Dorman Luke taie fiecare margine conectată în punctul său mediu. Alți autori realizează tăierea prin vârf la celălalt capăt al fiecărei margini.

Pentru un poliedru neregulat, tăierea tuturor muchiilor incidente unui vertex dat la distanțe egale de vârf poate produce o figură care nu se află într-un plan. O abordare mai generală, valabilă pentru poliedrele convexe arbitrare, este de a face tăierea de-a lungul oricărui plan care separă vârful dat de toate celelalte vârfuri, dar altfel este arbitrar. Această construcție determină structura combinatorie a figurii vârfului, similară unui set de vârfuri conectate (a se vedea mai jos), dar nu și geometria sa precisă; se poate generaliza la politopi conveși în orice dimensiune. Cu toate acestea, pentru poliedrele neconvexe, este posibil să nu existe un plan lângă vârf care să taie toate fețele incidente la vârf.

Ca poligon sferic

Cromwell (1999) formează figura vertexului prin intersecția poliedrului cu o sferă centrată la vârf, suficient de mică încât să intersecteze doar muchiile și fețele incidente vârfului. Acest lucru poate fi vizualizat ca făcând o tăietură sferică sau o lingură, centrată pe vârf. Suprafața tăiată sau figura vârfului este astfel un poligon sferic marcat pe această sferă. Un avantaj al acestei metode este că forma figurii vârfului este fixă ​​(până la scara sferei), în timp ce metoda de intersecție cu un plan poate produce diferite forme în funcție de unghiul planului. În plus, această metodă funcționează pentru poliedre neconvexe.

Ca set de vârfuri conectate

Multe abordări combinatorii și de calcul (de exemplu, Skilling, 1975) tratează o figură de vârf ca setul ordonat (sau parțial ordonat) de puncte ale tuturor vârfurilor vecine (conectate printr-o margine) la vârful dat.

Definiție abstractă

În teoria politopilor abstracte , figura vârfului la un vârf dat V cuprinde toate elementele care sunt incidente pe vârf; muchii, fețe etc. Mai formal este secțiunea ( n −1) F n / V , unde F n este cea mai mare față.

Acest set de elemente este cunoscut în altă parte ca stea vertex . Figura geometrică a vârfului și steaua vertexului pot fi înțelese ca realizări distincte ale aceleiași secțiuni abstracte.

Proprietăți generale

O figură de vârf a unui n -politop este un ( n -1) -politop. De exemplu, o figură de vârf a unui poliedru este un poligon , iar figura de vârf pentru un 4-politop este un poliedru.

În general, o figură de vârf nu trebuie să fie plană.

Pentru poliedrele neconvexe, figura vârfului poate fi, de asemenea, neconvexă. Politopii uniformi, de exemplu, pot avea poligoane stelare pentru fețe și / sau pentru figuri de vârf.

Cifre izogonale

Cifrele de vârf sunt semnificative în special pentru uniforme și alți politopi izogonali (vertex-tranzitivi), deoarece o figură de vârf poate defini întregul politop.

Pentru poliedre cu fețe regulate, o figură de vârf poate fi reprezentată în notația de configurație a vârfului , prin listarea fețelor în ordine în jurul vârfului. De exemplu 3.4.4.4 este un vârf cu un triunghi și trei pătrate și definește rombicuboctaedrul uniform .

Dacă politopul este izogonal, figura vârfului va exista într-o suprafață hiperplană a spațiului n .

Construcții

Din vârfurile adiacente

Luând în considerare conectivitatea acestor vârfuri vecine, se poate construi o figură de vârf pentru fiecare vârf al unui politop:

  • Fiecare vârf al figurii vârfului coincide cu un vârf al politopului original.
  • Fiecare margine a figurii vârfului există pe sau în interiorul unei fețe a politopului original care leagă două vârfuri alternative de o față originală.
  • Fiecare față a figurii vârfului există pe sau în interiorul unei celule a n -politopului original (pentru n > 3).
  • ... și așa mai departe la elemente de ordin superior în politopi de ordin superior.

Construcția lui Dorman Luke

Pentru un poliedru uniform, fața poliedrului dual poate fi găsită din figura vertexului poliedrului original folosind construcția „ Dorman Luke ”.

Politopi obișnuiți

Figura de vârf a marelui icosaedru este o pentagramă obișnuită sau un poligon stelar {5/2}.

Dacă un politop este regulat, acesta poate fi reprezentat printr-un simbol Schläfli și atât celula, cât și figura vârfului pot fi extrase în mod trivial din această notație.

În general, un politop obișnuit cu simbolul Schläfli { a , b , c , ..., y , z } are celule ca { a , b , c , ..., y } și cifre de vârf ca { b , c ,. .., y , z }.

  1. Pentru un poliedru regulat { p , q }, figura vârfului este { q }, o q -gon.
    • Exemplu, figura vârfului unui cub {4,3} este triunghiul {3}.
  2. Pentru o teselare obișnuită cu 4 politopi sau spațiu de umplere a spațiului { p , q , r }, figura vârfului este { q , r }.
    • Exemplu, figura vârfului unui hipercub {4,3,3}, figura vârfului este un tetraedru regulat {3,3}.
    • De asemenea, figura de vârf pentru un fagure cubic {4,3,4}, figura de vârf este un octaedru regulat {3,4}.

Deoarece politopul dual al unui politop regulat este, de asemenea, regulat și reprezentat de indicii simbolului Schläfli inversați, este ușor de văzut dualul figurii vârfului este celula politopului dual. Pentru poliedre obișnuite, acesta este un caz special al construcției lui Dorman Luke .

Un exemplu de figură de vârf a unui fagure de miere

fagure cubice trunchiate (parțiale).

Figura de vârf a unui fagure cubic trunchiat este o piramidă pătrată neuniformă . Un octaedru și patru cuburi trunchiate se întâlnesc la fiecare vârf formând o teselare care umple spațiul .

Figura de vârf : o piramidă pătrată neuniformă Fagure cubice trunchiate verf.png
Diagrama Schlegel 		VF-trunchiat cubic.png
Perspectivă
Creat ca bază pătrată dintr-un octaedru Octahedron vertfig.png
(3.3.3.3)
Și patru laturi triunghiulare isoscel din cuburi trunchiate Cub trunchiat vertfig.png
(3.8.8)

Figura de margine

De tip fagure cub trunchiată are două tipuri de margine, unul cu patru cuburi trunchiate , iar celelalte cu un octaedru, și două cuburi trunchiate. Acestea pot fi văzute ca două tipuri de figuri de margine . Acestea sunt văzute ca vârfurile figurii vârfului .

Legat de figura de vârf , o figură de margine este figura de vârf a unei figuri de vârf . Cifrele de margine sunt utile pentru exprimarea relațiilor dintre elemente în cadrul politopilor obișnuiți și uniformi.

O figură de margine va fi un ( n −2) -politop, reprezentând dispunerea fațetelor în jurul unei muchii date. Politopii uniformi ai diagramei coxeterului regulat și cu un singur inel vor avea un singur tip de margine. În general, un politop uniform poate avea la fel de multe tipuri de margini ca oglinzi active în construcție, deoarece fiecare oglindă activă produce o margine în domeniul fundamental.

Politopii obișnuiți (și fagurii) au o singură figură de margine, care este, de asemenea, regulată. Pentru un politop obișnuit { p , q , r , s , ..., z }, figura de margine este { r , s , ..., z }.

În patru dimensiuni, figura de margine a unui 4-politop sau 3-fagure de miere este un poligon care reprezintă dispunerea unui set de fațete în jurul unei margini. De exemplu, figura de margine pentru un fagure cubic regulat {4,3,4} este un pătrat , iar pentru un 4-politop obișnuit { p , q , r } este poligonul { r }.

Mai puțin trivial, fagurele cubic trunchiat t 0,1 {4,3,4}, are o figură de vârf de piramidă pătrată , cu celule trunchiate de cub și octaedru . Aici există două tipuri de figuri de margine . Una este o figură de margine pătrată la vârful piramidei. Aceasta reprezintă cele patru cuburi trunchiate în jurul unei margini. Celelalte patru figuri de margine sunt triunghiuri isoscele pe vârfurile bazei piramidei. Acestea reprezintă dispunerea a două cuburi trunchiate și a unui octaedru în jurul celorlalte margini.

Vezi si

Referințe

Note

Bibliografie

  • HSM Coxeter , Regular Polytopes , Hbk (1948), ppbk (1973).
  • HSM Coxeter (și colab.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 246 A (1954) pp. 401–450.
  • P. Cromwell, Polyhedra , CUP pbk. (1999).
  • HM Cundy și AP Rollett, Modele matematice , Oxford Univ. Presă (1961).
  • J. Skilling, Setul complet de poliedre uniforme, Phil. Trans . 278 A (1975) pp. 111-135.
  • M. Wenninger, Dual Models , CUP hbk (1983) ppbk (2003).
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN   978-1-56881-220-5 (p289 Cifre de vârf)

linkuri externe