Fagure cubice - Cubic honeycomb
Fagure cubic | |
---|---|
Tip | Fagure regulat |
Familie | Fagure de hipercub |
Indexare | J 11,15 , A 1 W 1 , G 22 |
Simbolul Schläfli | {4,3,4} |
Diagrama Coxeter | |
Tipul celulei | {4,3} |
Tipul feței | pătrat {4} |
Figura Vertex |
octaedru |
Notare Fibrifold din grupul spațial |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupul Coxeter | , [4,3,4] |
Dual |
celula auto-duala : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , regulat |
Fagure cubic sau cellulation cubic este singura adecvată regulată spațiu de umplere tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space , format din cubi celule. Are 4 cuburi în jurul fiecărei margini și 8 cuburi în jurul fiecărui vârf. Figura sa de vârf este un octaedru regulat . Este o teselare auto-duală cu simbolul Schläfli {4,3,4}. John Horton Conway numește acest fagure de cubilă .
Un fagure geometric este o umplere a spațiului de celule poliedrice sau cu dimensiuni superioare , astfel încât să nu existe goluri. Este un exemplu al plăcilor matematice sau teselelor mai generale în orice număr de dimensiuni.
Fagurii sunt de obicei construiți în spațiul euclidian obișnuit („plat”), ca fagurii uniformi conveși . Ele pot fi, de asemenea, construite în spații neeuclidiene , cum ar fi fagurii uniformi hiperbolici . Orice politop uniform finit poate fi proiectat în circumfera sa pentru a forma un fagure uniform în spațiul sferic.
Faguri înrudiți
Face parte dintr-o familie multidimensională de faguri de hipercub , cu simboluri Schläfli de forma {4,3, ..., 3,4}, începând cu placarea pătrată , {4,4} în plan.
Este unul dintre cei 28 de faguri uniformi care folosesc celule poliedrice uniforme convexe .
Izometriile rețelelor cubice simple
Rețelele cubice simple pot fi distorsionate în simetrii inferioare, reprezentate de sisteme de cristale inferioare:
Sistem de cristal |
Triclinica monoclinică |
Orthorhombic | Tetragonal | Romboedric | Cub |
---|---|---|---|---|---|
Celula unitară | Paralelipiped | Cuboid dreptunghiular | Cuboid pătrat | Trapezohedron trigonal |
cub |
Grup de puncte Subgrupul Rotire
ordine |
[], (*) Comanda 2 [] + , (1) |
[2,2], (* 222) Ordinul 8 [2,2] + , (222) |
[4,2], (* 422) Ordinul 16 [4,2] + , (422) |
[3], (* 33) Ordinul 6 [3] + , (33) |
[4,3], (* 432) Ordinul 48 [4,3] + , (432) |
Diagramă | |||||
Subgrupul de rotație al grupului spațial |
Pm (6) P1 (1) |
Pmmm (47) P222 (16) |
P4 / mmm (123) P422 (89) |
R3m (160) R3 (146) |
Pm 3 m (221) P432 (207) |
Notare Coxeter | - | [∞] a × [∞] b × [∞] c | [4,4] a × [∞] c | - | [4,3,4] a |
Diagrama Coxeter | - | - |
Coloranți uniformi
Există un număr mare de coloranți uniformi , derivați din diferite simetrii. Acestea includ:
Notare Coxeter Grup spațial |
Diagrama Coxeter | Simbolul Schläfli | parțială de tip fagure |
Culori după litere |
---|---|---|---|---|
[4,3,4] Pm 3 m (221) |
= |
{4,3,4} | 1: aaaa / aaaa | |
[4,3 1,1 ] = [4,3,4,1 + ] Fm 3 m (225) |
= | {4,3 1,1 } | 2: abba / baab | |
[4,3,4] Pm 3 m (221) |
t 0,3 {4,3,4} | 4: abbc / bccd | ||
[[4,3,4]] Pm 3 m (229) |
t 0,3 {4,3,4} | 4: egumen / bbba | ||
[4,3,4,2, ∞] |
sau |
{4,4} × t {∞} | 2: aaaa / bbbb | |
[4,3,4,2, ∞] | t 1 {4,4} × {∞} | 2: abba / abba | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] | t {∞} × t {∞} × {∞} | 4: abcd / abcd | ||
[∞, 2, ∞, 2, ∞] = [4, (3,4) * ] | = | t {∞} × t {∞} × t {∞} | 8: abcd / efgh |
Proiecții
Fagure cubi poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie. Cea mai mare simetrie (hexagonală) se proiectează într-o placă triunghiulară . O proiecție de simetrie pătrată formează o faianță pătrată .
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Politopi și faguri asociați
Este legat de regulate 4-polytope Tesseract , simbolul Schläfli {4,3,3}, care există în 4-spațiu, și are doar 3 cuburi în jurul fiecare margine. Este, de asemenea, legat de fagurele cubic de ordinul 5 , simbolul Schläfli {4,3,5}, al spațiului hiperbolic cu 5 cuburi în jurul fiecărei margini.
Este într-o secvență de policoră și fagure de miere cu figuri de vârf octaedric .
{p, 3,4} faguri obișnuiți | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spaţiu | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Noncompact | ||||||
Nume |
{3,3,4} |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
{6,3,4} |
{7,3,4} |
{8,3,4} |
... {∞, 3,4} |
||||
Imagine | |||||||||||
Celulele |
{3,3} |
{4,3} |
{5,3} |
{6,3} |
{7,3} |
{8,3} |
{∞, 3} |
Este într-o secvență de politopi obișnuiți și faguri cu celule cubice .
{4,3, p} faguri obișnuiți | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spaţiu | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Noncompact | ||||||
Nume |
{4,3,3} |
{4,3,4} |
{4,3,5} |
{4,3,6} |
{4,3,7} |
{4,3,8} |
... {4,3, ∞} |
||||
Imagine | |||||||||||
Figura Vertex |
{3,3} |
{3,4} |
{3,5} |
{3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3, ∞} |
{p, 3, p} faguri obișnuiți | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Spaţiu | S 3 | Euclidian E 3 | H 3 | ||||||||
Formă | Finit | Afin | Compact | Paracompact | Noncompact | ||||||
Nume | {3,3,3} | {4,3,4} | {5,3,5} | {6,3,6} | {7,3,7} | {8,3,8} | ... {∞, 3, ∞} | ||||
Imagine | |||||||||||
Celulele |
{3,3} |
{4,3} |
{5,3} |
{6,3} |
{7,3} |
{8,3} |
{∞, 3} |
||||
Figura Vertex |
{3,3} |
{3,4} |
{3,5} |
{3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3, ∞} |
Politopi înrudiți
Fagurele cubic are o simetrie mai mică ca fagure cubic runcinat, cu două dimensiuni de cuburi . O construcție dublă de simetrie poate fi construită prin plasarea unui cub mic în fiecare cub mare, rezultând un fagure neuniform cu cuburi , prisme pătrate și trapezoprisme dreptunghiulare (un cub cu simetrie D 2d ). Figura sa de vârf este o piramidă triunghiulară cu fețele sale laterale mărite de tetraedre.
Fagurele rezultate pot fi alternate pentru a produce un alt fagure neuniform cu tetraedre regulate , două tipuri de defenoide tetragonale, piramide triunghiulare și sfenoide. Figura sa de vârf are simetrie C 3v și are 26 de fețe triunghiulare, 39 de margini și 15 vârfuri.
Teselări euclidiene înrudite
[4,3,4], , Grupul Coxeter generează 15 permutări de teselări uniforme, 9 cu geometrie distinctă, inclusiv fagurele cubic alternat. Expandat fagure cubic ( de asemenea , cunoscut sub numele de fagure cubic runcinated) este identic cu geometrically fagure cubi.
Fagurii C3 | |||||
---|---|---|---|---|---|
Grup spațial |
Fibrifold |
Simetrie extinsă |
Diagrama extinsă |
Ordin | Fagurii |
Pm 3 m (221) |
4 - : 2 | [4,3,4] | × 1 |
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 |
|
Fm 3 m (225) |
2 - : 2 | [1 + , 4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ] |
↔ |
Jumătate | 7 , 11 , 12 , 13 |
I 4 3m (217) |
4 o : 2 | [[(4,3,4,2 + )]] | Jumătate × 2 | (7) , | |
Fd 3 m (227) |
2 + : 2 | [[1 + , 4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]] |
↔ |
Trimestrul × 2 | 10 , |
Im 3 m (229) |
8 o : 2 | [[4,3,4]] | × 2 |
[4,3 1,1 ],, Grupul Coxeter generează 9 permutații de teselări uniforme, 4 cu geometrie distinctă, inclusiv fagurele cubic alternat.
Fagurii B3 | |||||
---|---|---|---|---|---|
Grup spațial |
Fibrifold |
Simetrie extinsă |
Diagrama extinsă |
Ordin | Fagurii |
Fm 3 m (225) |
2 - : 2 | [4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ] |
↔ |
× 1 | 1 , 2 , 3 , 4 |
Fm 3 m (225) |
2 - : 2 | <[1 + , 4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]> |
↔ |
× 2 | (1) , (3) |
Pm 3 m (221) |
4 - : 2 | <[4,3 1,1 ]> | × 2 |
Acest fagure este unul dintre cele cinci faguri uniformi distincti construiți de grupul Coxeter . Simetria poate fi multiplicată cu simetria inelelor din diagramele Coxeter – Dynkin :
Faguri A3 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Grup spațial |
Fibrifold |
Simetrie pătrată |
Simetrie extinsă |
Diagrama extinsă |
Grup extins |
Diagramele fagure de miere |
F 4 3m (216) |
1 o : 2 | a1 | [3 [4] ] | (Nici unul) | ||
Fm 3 m (225) |
2 - : 2 | d2 | <[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ] |
↔ |
× 2 1 ↔ |
1 , 2 |
Fd 3 m (227) |
2 + : 2 | g2 | [[3 [4] ]] sau [2 + [3 [4] ]] |
↔ |
× 2 2 | 3 |
Pm 3 m (221) |
4 - : 2 | d4 | <2 [3 [4] ]> ↔ [4,3,4] |
↔ |
× 4 1 ↔ |
4 |
I 3 (204) |
8 −o | r8 | [4 [3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + , 4]] |
↔ |
½ × 8 ↔ ½ × 2
|
(*) |
Im 3 m (229) |
8 o : 2 | [4 [3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]] |
× 8 ↔ × 2 |
5 |
Fagure cubice rectificate
Fagure cubice rectificate | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | r {4,3,4} sau t 1 {4,3,4} r {4,3 1,1 } 2r {4,3 1,1 } r {3 [4] } |
Diagramele Coxeter |
= = = = = |
Celulele |
r {4,3} {3,4} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex |
prisma pătrată |
Notare Fibrifold din grupul spațial |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupul Coxeter | , [4,3,4] |
Dual |
Celula octaedrică oblată : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , margine-tranzitiv |
Fagure cubic rectificat sau cellulation cubic rectificat este uniform umplere spațiu tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space. Este compus din octaedre și cuboctaedre într-un raport de 1: 1, cu o figură de vârf de prismă pătrată .
John Horton Conway numește acest fagure un cuboctahedrille , iar dualul său este un octahedrille oblat .
Proiecții
Fagurele cubi rectificat poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Există patru coloranți uniformi pentru celulele acestui fagure de miere cu simetrie reflectorizantă, enumerate după grupul lor Coxeter și numele construcției Wythoff și diagrama Coxeter de mai jos.
Simetrie | [4,3,4] |
[1 + , 4,3,4] [4,3 1,1 ], |
[4,3,4,1 + ] [4,3 1,1 ], |
[1 + , 4,3,4,1 + ] [3 [4] ], |
---|---|---|---|---|
Grup spațial | Pm 3 m (221) |
Fm 3 m (225) |
Fm 3 m (225) |
F 4 3m (216) |
Colorare | ||||
Diagrama Coxeter |
||||
Figura Vertex | ||||
Vertex figura simetrie |
D 4h [4,2] (* 224) ordinea 16 |
D 2h [2,2] (* 222) ordinea 8 |
C 4v [4] (* 44) ordinea 8 |
C 2v [2] (* 22) ordinea 4 |
Acest fagure poate fi împărțit pe planuri de plăci trihexagonale , folosind centrele hexagonale ale cuboctaedrelor, creând două cupole triunghiulare . Acest fagure scaliform este reprezentat de diagrama Coxeter, și simbolul s 3 {2,6,3}, cu simetria notației coxeterului [2 + , 6,3].
Politopi înrudiți
O construcție de simetrie dublă poate fi realizată prin plasarea octaedrelor pe cuboctaedre, rezultând un fagure neuniform cu două tipuri de octaedre (octaedre regulate și antiprisme triunghiulare). Figura vertexului este un bifrust pătrat . Dualul este compus din bipiramide pătrate alungite .
Fagure cubic trunchiat
Fagure cubic trunchiat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | t {4,3,4} sau t 0,1 {4,3,4} t {4,3 1,1 } |
Diagramele Coxeter |
= |
Tipul celulei |
t {4,3} {3,4} |
Tipul feței |
triunghi {3} pătrat {4} octogon {8} |
Figura Vertex |
isoscel piramidă pătrată |
Notare Fibrifold din grupul spațial |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupul Coxeter | , [4,3,4] |
Dual |
Celula Pyramidille : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Fagure cubic trunchiat sau cellulation cubic trunchiat este o uniformă de umplere spațiu tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space. Este compus din cuburi trunchiate și octaedre într-un raport de 1: 1, cu o figură de vârf piramidă pătrată isoscelă .
John Horton Conway numește acest tip fagure o cubille trunchiată , și sa duală pyramidille .
Proiecții
Fagure cubic trunchiată poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Există o a doua colorare uniformă prin simetrie reflexivă a grupurilor Coxeter , a doua văzută cu celule cubice trunchiate alternativ colorate.
Constructie | Cubic alternativ bicantelat | Fagure cubic trunchiat |
---|---|---|
Grupul Coxeter | [4,3 1,1 ], | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]>
|
Grup spațial | Fm 3 m | Pm 3 m |
Colorare | ||
Diagrama Coxeter | = | |
Figura Vertex |
Politopi înrudiți
O construcție de simetrie dublă poate fi realizată prin plasarea octaedrelor pe cuburile trunchiate, rezultând un fagure neuniform cu două tipuri de octaedre (octaedre regulate și antiprisme triunghiulare) și două tipuri de tetraedre (disfenoide tetragonale și disfenoide digonale). Figura vertexului este o cupolă pătrată octakis.
Fagure cubic bitruncat
Fagure cubic bitruncat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | 2t {4,3,4} t 1,2 {4,3,4} |
Diagrama Coxeter-Dynkin | |
Celulele | t {3,4} |
Fețe |
pătrat {4} hexagon {6} |
Figura de margine | triunghi isoscel {3} |
Figura Vertex |
disfenoid tetragonal |
Grupul de simetrie Notarea cu fibre multiple Notarea cu Coxeter |
Im 3 m (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Grupul Coxeter | , [4,3,4] |
Dual | Tetraedrilă oblată Celulă fagure tetraedrică disfenoidă : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , margine-tranzitiv , celular-tranzitiv |
Fagure cubic bitronconică este un spațiu de umplere tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-spațiu alcătuit din octoedre trunchiată (sau, echivalent, bitronconică cuburi). Are patru octaedre trunchiate în jurul fiecărui vârf, într-o figură de vârf disfenoid tetragonal . Fiind compus în întregime din octaedre trunchiate , este tranzitiv celular . De asemenea, este tranzitiv la margini , cu 2 hexagone și câte un pătrat pe fiecare margine și tranzitiv la vârf . Este unul dintre cei 28 de faguri uniformi .
John Horton Conway numește acest fagure de miere octaedrilă trunchiată în lista sa de teselare arhitectonică și catoptrică , cu dublul său numit tetraedrilă oblată , numită și fagure tetraedric disfenoid . Deși un tetraedru regulat nu poate țesui singur spațiul, acest dual are celule identice de tetraedru disfenoid cu fețe triunghiulare isoscel .
Proiecții
Fagure cubic bitronconică poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie. Cea mai înaltă (hexagonală) formă de simetrie se proiectează într-o placă rombitrihexagonală neuniformă . O proiecție de simetrie pătrată formează două plăci pătrate trunchiate suprapuse , care se combină împreună ca plăci pătrate teșite .
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Figura de vârf pentru acest fagure de miere este un tetraedru disfenoid și este, de asemenea, tetraedrul Goursat ( domeniul fundamental ) pentru grupul Coxeter . Acest fagure are patru construcții uniforme, celulele octaedrale trunchiate având diferite grupuri Coxeter și construcții Wythoff . Aceste simetrii uniforme pot fi reprezentate prin colorarea diferită a celulelor din fiecare construcție.
Grup spațial | Im 3 m (229) | Pm 3 m (221) | Fm 3 m (225) | F 4 3m (216) | Fd 3 m (227) |
---|---|---|---|---|---|
Fibrifold | 8 o : 2 | 4 - : 2 | 2 - : 2 | 1 o : 2 | 2 + : 2 |
Grupul Coxeter |
× 2 [[4,3,4]] = [4 [3 [4] ]] = |
[4,3,4] = [2 [3 [4] ]] = |
[4,3 1,1 ] = <[3 [4] ]> = |
[3 [4] ] |
× 2 [[3 [4] ]] = [[3 [4] ]] |
Diagrama Coxeter | |||||
octaedre trunchiate | 1 |
1: 1 : |
2: 1: 1 : : |
1: 1: 1: 1 : : : |
1: 1 : |
Figura Vertex | |||||
Vertex figura simetrie |
[2 + , 4] (ordinul 8) |
[2] (comanda 4) |
[] (comanda 2) |
[] + (comanda 1) |
[2] + (ordinul 2) |
Imagine colorată de celulă |
Politopi înrudiți
Variantele neuniforme cu simetrie [4,3,4] și două tipuri de octaedre trunchiate pot fi dublate prin plasarea celor două tipuri de octaedre trunchiate pentru a produce un fagure neuniform cu octaedre trunchiate și prisme hexagonale (ca trapezoprisme ditrigonale). Figura sa de vârf este o bipiramidă triunghiulară asimetrică C 2v .
Acest fagure poate fi apoi alternat pentru a produce un alt fagure neuniform cu icosaedre piritoedrice , octaedre (ca antiprisme triunghiulare) și tetraedre (ca sfenoide). Figura sa de vârf are simetrie C 2v și este formată din 2 pentagone , 4 dreptunghiuri , 4 triunghiuri isoscele (împărțite în două seturi de 2) și 4 triunghiuri scalene .
Fagure cubic bitruncat alternativ
Fagure cubic bitruncat alternativ | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | 2s {4,3,4} 2s {4,3 1,1 } sr {3 [4] } |
Diagramele Coxeter |
= = = |
Celulele |
{3,3} s {3,3} |
Fețe | triunghi {3} |
Figura Vertex | |
Grupul Coxeter | [[4,3 + , 4]], |
Dual |
Celulă cu fagure de zece diamante : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Alternat fagure cubic bitronconic sau fagure cubic bisnub este neuniformă, cu cea mai mare construcție de simetrie reflectând o alternanta de uniforma bitronconică fagure cubi. O construcție cu simetrie inferioară implică icosahedra regulată asociată cu icosahedra aurie (cu 8 triunghiuri echilaterale împerecheate cu 12 triunghiuri aurii). Există trei construcții din trei diagrame Coxeter legate :, , și . Acestea au simetrie [4,3 + , 4], [4, (3 1,1 ) + ] și respectiv [3 [4] ] + . Prima și ultima simetrie pot fi dublate ca [[4,3 + , 4]] și [[3 [4] ]] + .
Acest fagure este reprezentat în atomii de bor ai cristalului α-rombihedric . Centrele icosahedra sunt situate la pozițiile fcc ale zăbrelei.
Grup spațial | I 3 (204) | Pm 3 (200) | Fm 3 (202) | Fd 3 (203) | F23 (196) |
---|---|---|---|---|---|
Fibrifold | 8 −o | 4 - | 2 - | 2 o + | 1 o |
Grupul Coxeter | [[4,3 + , 4]] | [4,3 + , 4] | [4, (3 1,1 ) + ] | [[3 [4] ]] + | [3 [4] ] + |
Diagrama Coxeter | |||||
Ordin | dubla | deplin | jumătate | sfert dublu |
sfert |
Fagure cubice cantelate
Fagure cubice cantelate | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | rr {4,3,4} sau t 0,2 {4,3,4} rr {4,3 1,1 } |
Diagrama Coxeter |
= |
Celulele |
rr {4,3} r {4,3} {} x {4} |
Figura Vertex |
pană |
Notare Fibrifold din grupul spațial |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Grupul Coxeter | [4,3,4], |
Dual |
Celulă octaedrică oblată sfert : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Fagure cubic cantellated sau cellulation cubic cantellated este o uniformă de umplere spațiu tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space. Este compus din rombicuboctaedre , cuboctaedre și cuburi într-un raport de 1: 1: 3, cu o figură de vârf de pană .
John Horton Conway numește acest fagure de miere 2-RCO-trille și octaedrila sa oblală duală .
Imagini
Este strâns legat de structura perovskitei , prezentată aici cu simetrie cubică, cu atomi așezați în centrul celulelor acestui fagure de miere. |
Proiecții
Fagure cubic cantellated poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Există o a doua colorare uniformă prin simetrie reflecțională a grupurilor Coxeter , a doua văzută cu celule rombicuboctaedrice colorate alternativ.
Constructie | Fagure cubic trunchiat | Cubic alternativ bicantelat |
---|---|---|
Grupul Coxeter | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]>
|
[4,3 1,1 ], |
Grup spațial | Pm 3 m | Fm 3 m |
Diagrama Coxeter | ||
Colorare | ||
Figura Vertex | ||
Vertex figura simetrie |
[] ordinea 2 |
[] + comanda 1 |
Politopi înrudiți
O construcție dublă simetrie poate fi realizată prin plasarea cuboctaedrelor pe rombicuboctahedra, ceea ce are ca rezultat fagurele cubic rectificat , luând golurile antiprismului triunghiular ca octaedre regulate , perechi antiprism pătrate și disfenoide tetragonale cu înălțime zero ca componente ale cuboctaedrului . Alte variante au ca rezultat cuboctaedre , antiprisme pătrate , octaedre (ca antipodii triunghiulare) și tetraedre (ca defenoide tetragonale), cu o figură de vârf echivalentă topologic cu un cub cu o prismă triunghiulară atașată la una dintre fețele sale pătrate.
Sfert de octaedru oblat
Dualul fagurelui cubic cantelat se numește un sfert de octaedră oblată , o teselare catoptrică cu diagramă Coxeter , conținând fețe din două din cele patru hiperplanuri ale domeniului fundamental cubic [4,3,4].
Are celule bipiramidice triunghiulare neregulate care pot fi văzute ca 1/12 dintr-un cub, realizat din centrul cubului, 2 centre de față și 2 vârfuri.
Fagure cubice cantitruncate
Fagure cubice cantitruncate | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | tr {4,3,4} sau t 0,1,2 {4,3,4} tr {4,3 1,1 } |
Diagrama Coxeter |
= |
Celulele |
tr {4,3} t {3,4} {} x {4} |
Fețe |
pătrat {4} hexagon {6} octogon {8} |
Figura Vertex |
sfenoid oglindit |
Grupul Coxeter | [4,3,4], |
Grupul de simetrie Notarea cu fibră pliabilă |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Dual |
celule piramidil triunghiulare : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Fagure cubic cantitruncated sau cellulation cubic cantitruncated este o uniformă de umplere spațiu tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space, format din cuboctahedra trunchiată , octoedre trunchiat și cuburi într - un raport de 1: 1: 3, cu un sfenoid oglindit figura vârfului .
John Horton Conway numește acest fagure un n-tCO-trille și piramidilul său triunghiular dublu .
Imagini
Există patru celule în jurul fiecărui vârf:
Proiecții
Fagure cubic cantitruncated poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Celulele pot fi prezentate în două simetrii diferite. Formularul liniar al diagramei Coxeter poate fi desenat cu o culoare pentru fiecare tip de celulă. Forma de diagramă bifurcantă poate fi desenată cu două tipuri (culori) de celule de cuboctaedru trunchiate alternând.
Constructie | Cubic cantitruncat | Cub alternativ omnitruncat |
---|---|---|
Grupul Coxeter | [4,3,4], = <[4,3 1,1 ]>
|
[4,3 1,1 ], |
Grup spațial | Pm 3 m (221) | Fm 3 m (225) |
Fibrifold | 4 - : 2 | 2 - : 2 |
Colorare | ||
Diagrama Coxeter | ||
Figura Vertex | ||
Vertex figura simetrie |
[] ordinea 2 |
[] + comanda 1 |
Piramidilă triunghiulară
Dualul fagurelui cubic cantitruncat se numește piramidilă triunghiulară , cu diagrama Coxeter ,. Aceste celule fagure de miere reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei.
O celulă poate fi la fel de 1/24 dintr-un cub de translație cu vârfurile poziționate: luând două colț, centrul feței ne și centrul cubului. Culorile și etichetele marginii specifică câte celule există în jurul marginii.
Poliedre și faguri înrudiți
Este legat de un apeiroedru înclinat cu configurația vârfului 4.4.6.6, cu octogonele și unele dintre pătrate îndepărtate. Poate fi văzut ca fiind construit prin mărirea celulelor cuboctaedrice trunchiate sau prin mărirea octaedrelor și cuburilor trunchiate alternate.
Politopi înrudiți
O construcție de simetrie dublă poate fi realizată prin plasarea octaedrelor trunchiate pe cuboctaedrele trunchiate, rezultând un fagure neuniform cu octaedre trunchiate , prisme hexagonale (ca trapezoprisme ditrigonale), cuburi (ca prisme pătrate), prisme triunghiulare (ca pene simetrice C 2v ) , și tetraedre (ca defenoide tetragonale). Figura sa de vârf este echivalentă topologic cu octaedrul .
Fagure cubic alternativ cantitruncat
Fagure cubic alternativ cantitruncat | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | sr {4,3,4} sr {4,3 1,1 } |
Diagramele Coxeter |
= |
Celulele |
s {4,3} s {3,3} {3,3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex | |
Grupul Coxeter | [(4,3) + , 4] |
Dual |
Celula: |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Alternat fagure cubic cantitruncated sau cârn rectificat fagure cubic conține trei tipuri de celule: cuburi cârn , icosahedra (cu T h simetrie), tetraedre (ca disphenoids tetragonale) și noi celule tetraedrice create la golurile.
Deși nu este uniformă, în mod constructiv poate fi dată ca diagrame Coxeter sau .
Deși este neuniformă, există o versiune near-miss cu două lungimi de margine prezentate mai jos, dintre care una este cu aproximativ 4,3% mai mare decât cealaltă. Cuburile de snub în acest caz sunt uniforme, dar restul celulelor nu.
|
|
Fagure cubic cubic
Fagure cubic ortosnub | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | 2s 0 {4,3,4} |
Diagramele Coxeter | |
Celulele |
s 2 {3,4} s {3,3} {} x {3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex | |
Grupul Coxeter | [4 + , 3,4] |
Dual | Celula: |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Fagure cubic carn cantic este construit prin snubbing octoedrele trunchiate într - un mod care frunzele doar dreptunghiuri de cuburi (prisme pătrate). Nu este uniformă, dar poate fi reprezentată ca diagramă Coxeter . Are rombicuboctaedre (cu simetrie T h ), icosaedre (cu simetrie T h ) și prisme triunghiulare (ca pene de simetrie C 2v ) care umple golurile.
Politopi înrudiți
O construcție de simetrie dublă poate fi realizată prin plasarea icosahedrelor pe rombicuboctahedra, rezultând un fagure neuniform cu icosahedra , octaedre (ca antiprisme triunghiulare), prisme triunghiulare (ca pene asimetrice C 2v ) și piramide pătrate .
Fagure cubic runcitruncat
Fagure cubic runcitruncat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | t 0,1,3 {4,3,4} |
Diagramele Coxeter | |
Celulele |
rr {4,3} t {4,3} {} x {8} {} x {4} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} octogon {8} |
Figura Vertex |
piramida izoscel-trapezoidală |
Grupul Coxeter | [4,3,4], |
Notare Fibrifold din grupul spațial |
Pm 3 m (221) 4 - : 2 |
Dual |
celulă piramidilă sfert pătrat |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Fagure cubic runcitruncated sau cellulation cubic runcitruncated este uniform tessellation-umplere spațiu (sau fagure ) în Euclidian 3-space. Este compus din rombicuboctaedre , cuburi trunchiate , prisme octogonale și cuburi într-un raport de 1: 1: 3: 3, cu o figură de vârf de piramidă isoscel-trapezoidală .
Numele său este derivat din diagrama Coxeter ,cu trei noduri inelate reprezentând 3 oglinzi active în construcția Wythoff din relația sa cu fagurele cubic obișnuit .
John Horton Conway numește acest fagure de miere 1-RCO-trille , și dublu pătrat pătrat piramidilă .
Proiecții
Fagure cubic runcitruncated poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Apeiroedru asimetric asociat
Există doi apeiroedri uniformi asemănători , cu același aranjament de vârf , văzut ca celule limită dintr-un subset de celule. Unul are triunghiuri și pătrate, iar celălalt triunghiuri, pătrate și octogonuri.
Piramidilă pătrată pătrată
Dualul către fagurele cubic runcitruncat se numește un sfert pătrat piramidil , cu diagrama Coxeter . Fețele există în 3 din 4 hiperplanuri din grupul [4,3,4], Coxeter.
Celulele sunt piramide neregulate și pot fi văzute ca 1/24 dintr-un cub, folosind un colț, un punct de margine mijlocie, două centre de față și centrul cubului.
Politopi înrudiți
O construcție de simetrie dublă poate fi realizată prin plasarea rombicuboctaedrelor pe cuburile trunchiate, rezultând un fagure neuniform cu rombicuboctaedre , octaedre (ca antiprisme triunghiulare), cuburi (ca prisme pătrate), două tipuri de prisme triunghiulare (ambele pene simetrice C 2v ) , și tetraedre (ca defenoide digonale). Figura sa de vârf este echivalentă topologic cu prisma triunghiulară mărită .
Fagure cubic omnitruncat
Fagure cubic omnitruncat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | t 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama Coxeter | |
Celulele |
tr {4,3} {} x {8} |
Fețe |
pătrat {4} hexagon {6} octogon {8} |
Figura Vertex |
disfenoid filic |
Grupul de simetrie Notarea cu fibre multiple Notarea cu Coxeter |
Im 3 m (229) 8 o : 2 [[4,3,4]] |
Grupul Coxeter | [4,3,4], |
Dual |
a opta celulă piramidilă |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Fagure cubic omnitruncated sau cellulation cubic omnitruncated este o uniformă de umplere spațiu tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space. Este compus din cuboctaedre trunchiate și prisme octogonale într-un raport de 1: 3, cu o figură de vârf disphenoid filic .
John Horton Conway numește acest fagure de miere b-tCO-trille și cel de -al doilea al optulea piramidil .
Proiecții
Fagure cubic omnitruncated poate fi proiectat ortogonal în planul euclidiană cu diferite aranjamente de simetrie.
Simetrie | p6m (* 632) | p4m (* 442) | pmm (* 2222) | ||
---|---|---|---|---|---|
Solid | |||||
Cadru |
Simetrie
Celulele pot fi prezentate în două simetrii diferite. Forma diagramei Coxeter are două culori de cuboctaedre trunchiate și prisme octogonale . Simetria poate fi dublată prin raportarea primei și ultimei ramuri ale diagramei Coxeter, care poate fi afișată cu o singură culoare pentru toate celulele de prismă cuboctaedrică și octogonală trunchiate.
Simetrie | , [4,3,4] | × 2, [[4,3,4]] |
---|---|---|
Grup spațial | Pm 3 m (221) | Im 3 m (229) |
Fibrifold | 4 - : 2 | 8 o : 2 |
Colorare | ||
Diagrama Coxeter | ||
Figura Vertex |
Poliedre înrudite
Există două apeiroedre uniforme asemănătoare , cu același aranjament de vârf . Primul are octogonuri eliminate și configurația vârfului 4.4.4.6. Poate fi văzut ca cuboctaedre trunchiate și prisme octogonale mărite împreună. Al doilea poate fi văzut ca prisme octogonale mărite, configurația vârfului 4.8.4.8.
4.4.4.6 |
4.8.4.8 |
---|---|
Politopi înrudiți
Variantele neuniforme cu [4,3,4] simetrie și două tipuri de cuboctaedre trunchiate pot fi dublate prin plasarea celor două tipuri de cuboctahedra trunchiate unul pe altul pentru a produce un fagure neuniform cu cuboctahedra trunchiat , prisme octogonale , prisme hexagonale (sub formă de trapezoprisme ditrigonale) și două tipuri de cuburi (ca trapezoprisme dreptunghiulare și variantele lor simetrice C 2v ). Figura sa de vârf este o bipiramidă triunghiulară neregulată .
Acest fagure poate fi apoi alternat pentru a produce un alt fagure neuniform cu cuburi de snub , antiprisme pătrate , octaedre (ca antiprisme triunghiulare) și trei tipuri de tetraedre (ca defenoide tetragonale, defenoide filice și tetraedre neregulate).
Fagure cubic omnitruncat cubic
Fagure cubic omnitruncat cubic | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | ht 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama Coxeter | |
Celulele |
s {4,3} s {2,4} {3,3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex | |
Simetrie | [[4,3,4]] + |
Dual | Fagure cubic alternativ omnitruncat dual |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Un fagure cub alternativ omnitruncat sau un fagure cub omnisnub poate fi construit prin alternarea fagurelui cub omnitruncat, deși nu poate fi uniformizat, dar i se poate da diagrama Coxeter :și are simetrie [[4,3,4]] + . Face cuburi din cuboctaedrele trunchiate , antiprisme pătrate din prismele octogonale și creează noi celule tetraedrice din goluri.
Fagure cubic alternativ omnitruncat dual
Fagure cubic alternativ omnitruncat dual | |
---|---|
Tip | Fagure uniforme alternate duale |
Simbolul Schläfli | DHT 0,1,2,3 {4,3,4} |
Diagrama Coxeter | |
Celula | |
Cifre de vârf |
pentagonal icositetraedru tetragonal trapezohedron tetrahedron |
Simetrie | [[4,3,4]] + |
Dual | Fagure cubic omnitruncat cubic |
Proprietăți | Celulă tranzitivă |
Un fagure cubic alternativ omnitruncat alternativ este un fagure cu umplere de spațiu construit ca dual al fagurelui cubic omnitruncat alternativ .
24 de celule se potrivesc în jurul unui vârf, făcând o simetrie chirală octaedrică care poate fi stivuită în toate cele 3 dimensiuni:
Celulele individuale au simetrie de rotație de două ori. În proiecția ortogonală 2D, aceasta arată ca o simetrie oglindă.
Net |
|||
Fagure cubic cantitruncat cubic
Fagure cubic cantitruncat cubic | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | sr 3 {4,3,4} |
Diagramele Coxeter | |
Celulele |
s 2 {3,4} s {4,3} {} x {4} {} x {3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex | |
Grupul Coxeter | [4,3 + , 4] |
Dual | Celula: |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Runcic cantitruncated fagure cubic sau runcic cellulation cubic cantitruncated este construită prin îndepărtarea alternarea dreptunghiuri lungi din octogoane și nu este uniformă, dar poate fi reprezentat ca diagrama Coxeter . Are rombicuboctaedre (cu simetrie T h ), cuburi snub , două tipuri de cuburi : prisme pătrate și trapezoprisme dreptunghiulare (echivalente topologic cu un cub, dar cu simetrie D 2d ) și prisme triunghiulare (ca pene de simetrie C 2v ) care umple golurile .
Fagure cubice Biorthosnub
Fagure cubic Biorthosnub | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | 2s 0,3 {4,3,4} |
Diagramele Coxeter | |
Celulele |
s 2 {3,4} {} x {4} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex |
( Anti-pană tetragonală ) |
Grupul Coxeter | [[4,3 + , 4]] |
Dual | Celula: |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Fagure cubic biorthosnub este construită prin îndepărtarea alternarea dreptunghiuri lungi din octogoane ortogonală și nu este uniformă, dar poate fi reprezentat ca diagrama Coxeter . Are rombicuboctaedre (cu simetrie T h ) și două feluri de cuburi : prisme pătrate și trapezoprisme dreptunghiulare (echivalente topologic cu un cub, dar cu simetrie D 2d ).
Fagure prismatic pătrat trunchiat
Fagure prismatic pătrat trunchiat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | t {4,4} × {∞} sau t 0,1,3 {4,4,2, ∞} tr {4,4} × {∞} sau t 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Diagrama Coxeter-Dynkin |
|
Celulele |
{} x {8} {} x {4} |
Fețe |
pătrat {4} octogon {8} |
Grupul Coxeter | [4,4,2, ∞] |
Dual |
Celula de placare prismatică pătrată Tetrakis : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Trunchiate fagure prismatică pătrat sau -tomo pătrat cellulation prismatic este un spațiu de umplere tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space . Este compus din prisme octogonale și cuburi într-un raport de 1: 1.
Este construit dintr-o placă pătrată trunchiată extrudată în prisme.
Este unul dintre cei 28 de faguri uniformi conveși .
Snub fagure prismatic pătrat
Snub fagure prismatic pătrat | |
---|---|
Tip | Fagure uniform |
Simbolul Schläfli | s {4,4} × {∞} sr {4,4} × {∞} |
Diagrama Coxeter-Dynkin |
|
Celulele |
{} x {4} {} x {3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Grupul Coxeter | [4 + , 4,2, ∞] [(4,4) + , 2, ∞] |
Dual |
Celulă fagure prismatice pentagonale din Cairo : |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv |
Cârn pătrat fagure prismatică sau cellulation prismatic simo-pătrat este un spațiu de umplere tessellation (sau fagure ) în Euclidian 3-space . Este compus din cuburi și prisme triunghiulare într-un raport de 1: 2.
Este construit dintr-o plăcuță pătrată, extrudată în prisme.
Este unul dintre cei 28 de faguri uniformi conveși .
Fagure antiprismatic pătrat
Fagure antiprismatic pătrat | |
---|---|
Tip | Fagure convex |
Simbolul Schläfli | ht 1,2,3 {4,4,2, ∞} ht 0,1,2,3 {4,4, ∞} |
Diagrama Coxeter-Dynkin |
|
Celulele |
s {2,4} {3,3} |
Fețe |
triunghi {3} pătrat {4} |
Figura Vertex | |
Simetrie | [4,4,2, ∞] + |
Proprietăți | Vertex-tranzitiv , neuniform |
Un fagure antiprismatic pătrat poate fi construit prin alternarea fagurelui prismatic pătrat trunchiat, deși nu poate fi uniformizat, dar i se poate da diagrama Coxeter :și are simetrie [4,4,2, ∞] + . Face antiprisme pătrate din prismele octogonale , tetraedre (ca defenoide tetragonale) din cuburi și două tetraedre din bipiramidele triunghiulare .
Vezi si
- Teselare arhitectonică și catoptrică
- Fagure cubic alternativ
- Lista politopilor obișnuiți
- Order-5 fagure cubice Un fagure cub hiperbolic cu 5 cuburi pe margine
- voxel
Referințe
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) The Symmetries of Things , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capitolul 21, Denumirea poliedrelor și a plăcilor arhimediene și catalane, teselări arhitectonice și catoptrice, p 292-298, include toate formele neprismatice)
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (ediția a 3-a, 1973), ediția Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabelul II: Faguri regulate
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completă a 11 plăci uniforme convexe, 28 faguri uniformi conveși și 143 tetracombe uniforme convexe)
- Branko Grünbaum , Tiglă uniformă de 3 spații. Geombinatorics 4 (1994), 49 - 56.
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editat de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Lucrarea 22) HSM Coxeter, Politopi regulat și semi regulat I , [Mat. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Plombe uniforme)
- A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corespondative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Klitzing, Richard. "Faguri 3D euclidieni x4o3o4o - chon - O1" .
- Faguri uniformi în 3 spații: 01-Chon
Spaţiu | Familie | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E 2 | Placi uniforme | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Fagure convex uniform | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniform cu 4 faguri de miere | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Fagure cu 24 de celule |
E 5 | Uniform cu 5 faguri de miere | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniform cu 6 faguri de miere | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniform cu 7 faguri de miere | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniform 8 faguri | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniform cu 9 faguri de miere | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniform cu 10 faguri de miere | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniform ( n -1) - fagure de miere | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |