Figura izogonală - Isogonal figure
În geometrie , un politop (un poligon , poliedru sau plăci, de exemplu) este izogonală sau vertex-tranzitivă dacă toate vârfurile sale sunt echivalente sub simetriile figurii. Aceasta implică faptul că fiecare vârf este înconjurat de aceleași tipuri de fețe în aceeași ordine sau inversă și cu aceleași unghiuri între fețele corespunzătoare.
Din punct de vedere tehnic, spunem că pentru oricare două vârfuri există o simetrie a politopului care mapează primul izometric pe al doilea. Alte moduri de a spune acest lucru sunt că grupul de automorfisme ale politopului acționează tranzitiv asupra vârfurilor sale sau că vârfurile se află într-o singură orbită de simetrie .
Toate vârfurile unei figuri izogonale n- dimensionale finite există pe o sferă ( n −1) .
Termenul izogonal a fost folosit mult timp pentru poliedre. Vertex-tranzitiv este un sinonim împrumutat de la idei moderne, cum ar fi grupurile de simetrie și teoria graficelor .
Pseudorhombicuboctahedron - care nu isogonal - demonstrează că pur și simplu afirmă că „toate nodurile arata la fel“ nu este la fel de restrictiv ca definiția folosită aici, care implică grupul de izometrii conservând poliedru sau plăci.
Poligoane și apeirogoni izogonali
|
|
| Apeirogoni izogonali |
|---|
|
|
|
|
|
|
| Apeirogoni izogonali |
Toți poligoanele obișnuite , apeirogonii și poligoanele stelare obișnuite sunt izogonale . Dualul unui poligon isogonal este un poligon isotoxal .
Unele poligoane și apeirogoni cu părți egale care alternează două lungimi de margine, de exemplu un dreptunghi , sunt izogonale .
Toate izogonele planare 2 n -gone au simetrie diedrică (D n , n = 2, 3, ...) cu linii de reflecție peste punctele marginii medii.
| D 2 | D 3 | D 4 | D 7 |
|---|---|---|---|
 Dreptunghiuri izogonale și dreptunghiuri încrucișate care au același aranjament de vârf |
 Hexagramă izogonală cu 6 vârfuri identice și 2 lungimi de margine. |
 Isogonal convex octogon cu linii radiale albastre și roșii de reflexie |
 Isogonal „stea“ tetradecagon cu un singur tip de vârf, și două tipuri de margine |
Poliedre izogonale și placări 2D
|
| Gresie pătrată distorsionată |
|
| O faianță pătrată trunchiată distorsionată |
Un poliedru izogonal și o placă 2D are un singur tip de vârf. Un poliedru izogonal cu toate fețele regulate este, de asemenea, un poliedru uniform și poate fi reprezentat printr-o notație de configurație a vârfului , secvențierea fețelor din jurul fiecărui vârf. Variațiile distorsionate geometric ale poliedrelor și plăcilor uniforme pot primi, de asemenea, configurația vârfului.
| D 3d , comanda 12 | T h , comandă 24 | O h , comandă 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
 O prismă hexagonală distorsionată (trapezoprism ditrigonal) |
 Un rombicuboctaedru distorsionat |
 Un cuboctaedru trunchiat superficial |
 Un cub hiper-trunchiat |
Poliedrele izogonale și plăcile 2D pot fi clasificate în continuare:
- Regulat dacă este și izoedric (tranzitiv la față) și izotoxal (tranzitiv la margine); aceasta implică faptul că fiecare față este același tip de poligon regulat .
- Cvasi-regulat dacă este și izotoxal (margine-tranzitiv) dar nu izoedric (față-tranzitiv).
- Semi-regulat dacă fiecare față este un poligon regulat, dar nu este izoedrică (tranzitivă la față) sau izotoxală (tranzitivă la margine). (Definiția variază între autori; de exemplu, unii exclud solide cu simetrie diedrică sau solide neconvexe.)
- Uniformă dacă fiecare față este un poligon regulat, adică este regulată, cvasiregulară sau semiregulară.
- Semi-uniform dacă elementele sale sunt și izogonale.
- Scaliform dacă toate marginile au aceeași lungime.
- Nobil dacă este și izoedric (tranzitiv la față).
N dimensiuni: politopi izogonali și teselări
Aceste definiții pot fi extinse la mai mare-dimensionale polytopes și mozaicare . Toți politopii uniformi sunt izogonali , de exemplu, 4-politopi uniformi și faguri uniformi conveși .
Dualul unui polytope isogonal este o figură isohedral , care este tranzitiv pe sale fațete .
k -figurile izogonale și k -uniforme
Un politop sau o placă poate fi numită k -izogonală dacă vârfurile sale formează k clase de tranzitivitate. Un termen mai restrictiv, k -uniform este definit ca o figură k-izogonală construită numai din poligoane regulate . Ele pot fi reprezentate vizual cu culori prin diferite colorări uniforme .
 Acest dodecaedru trombat rombic este 2-izogonal, deoarece conține două clase de tranzitivitate a vârfurilor. Acest poliedru este format din pătrate și hexagone turtite . |
 Această faianță demiregulară este, de asemenea, 2-izogonală (și 2-uniformă ). Această faianță este formată din triunghi echilateral și fețe hexagonale regulate . |
 2-isogonal 9/4 Enneagram ( cu fața din constelația finală icosaedru ) |
Vezi si
- Tranzitiv de margine (figură izotoxală)
- Față tranzitivă (figură isoedrică)
Referințe
- Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , p. 369 Tranzitivitate
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Placaje și modele . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1 . (p. 33 k- faianță izogonală , p. 65 k- faianță uniformă )
linkuri externe
- Weisstein, Eric W. „Graf tranzitiv-vertex” . MathWorld .
- Olshevsky, George. „Tranzitivitate” . Glosar pentru Hyperspace . Arhivat din original la 4 februarie 2007.
- Olshevsky, George. „Isogonal” . Glosar pentru Hyperspace . Arhivat din original la 4 februarie 2007.
- Poliedre Caleidoscopice Isogonale Vladimir L. Bulatov , Departamentul de Fizică, Universitatea de Stat din Oregon, Corvallis, prezentat la Mosaic2000, Simpozion Deschis Milenial asupra Artelor și Calculului Interdisciplinar, 21-24 august 2000, Seattle, WA Modele VRML
- Steven Dutch folosește termenul k-uniform pentru enumerarea plăcilor k-izogonale
- Lista plăcilor n-uniforme
- Weisstein, Eric W. „Teselări demiregulare” . MathWorld . (De asemenea, folosește termenul k-uniform pentru k-izogonal)