Ultima teoremă a lui Fermat - Fermat's Last Theorem

Ultima teoremă a lui Fermat

Ediția din 1670 a Arithmetica lui Diophantus include comentariul lui Fermat, denumit „Ultima teoremă” ( Observatio Domini Petri de Fermat ), publicat postum de fiul său.
Camp	Teoria numerelor
Afirmație	Pentru orice număr întreg n > 2 , ecuația a n + b n = c n nu are soluții întregi pozitive.
Afirmat pentru prima dată de	Pierre de Fermat
Prima dată menționată în	c.  1637
Prima dovadă de	Andrew Wiles
Prima dovadă în	Lansat în 1994 Publicat în 1995
Implicat de
Generalizări

În teoria numerelor , Ultima teoremă a lui Fermat (numită uneori conjectura lui Fermat , în special în textele mai vechi) afirmă că nu există trei numere întregi pozitive a , b și c care să satisfacă ecuația a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ pentru orice valoare întreagă de n mai mare de 2 Cazurile n = 1 și n = 2 au fost cunoscute încă din antichitate ca având infinit de multe soluții.

Propunerea a fost menționată mai întâi ca teoremă de Pierre de Fermat în jurul anului 1637 în marja unei copii a Arithmetica ; Fermat a adăugat că are o dovadă prea mare pentru a se încadra în margine. Deși alte declarații susținute de Fermat fără dovezi au fost ulterior dovedite de alții și creditate ca teoreme ale lui Fermat (de exemplu, teorema lui Fermat asupra sumelor a două pătrate ), Ultima teoremă a lui Fermat a rezistat dovezilor, ceea ce a dus la îndoiala că Fermat a avut vreodată o dovadă corectă și devenind cunoscut mai degrabă ca o presupunere decât ca o teoremă. După 358 de ani de eforturi ale matematicienilor, prima dovadă reușită a fost lansată în 1994 de Andrew Wiles și publicată oficial în 1995; a fost descris ca un „avans uluitor” în citația pentru premiul Abel Wiles din 2016. De asemenea, a dovedit o mare parte din teorema modularității și a deschis noi abordări cu totul alte numeroase alte probleme și tehnici de ridicare a modularității puternic matematic .

Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei numerelor algebrice în secolul al XIX-lea și dovada teoremei modularității în secolul al XX-lea. Este printre cele mai notabile teoreme din istoria matematicii și înainte de dovada sa a fost în Cartea Recordurilor Mondiale Guinness ca „cea mai dificilă problemă matematică”, în parte, deoarece teorema are cel mai mare număr de dovezi nereușite.

Prezentare generală

Origini pitagorice

Ecuația pitagoreic , x ² + y ² = z ² , are un număr infinit de pozitive întregi soluții pentru x , y și z ; aceste soluții sunt cunoscute sub numele de tripluri pitagorice (cu cel mai simplu exemplu 3,4,5). În jurul anului 1637, Fermat a scris în marginea unei cărți că ecuația mai generală a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ nu are soluții în numerele întregi pozitive dacă n este un număr mai mare de 2. Deși a susținut că are o dovadă generală a conjecturii sale , Fermat nu a lăsat niciun detaliu al dovezii sale și nici o dovadă a lui nu a fost găsită vreodată. Revendicarea sa a fost descoperită aproximativ 30 de ani mai târziu, după moartea sa. Această afirmație, care a devenit cunoscută sub numele de Ultima teoremă a lui Fermat , a rămas nerezolvată în următoarele trei secole și jumătate.

Revendicarea a devenit în cele din urmă una dintre cele mai notabile probleme nerezolvate ale matematicii. Încercările de a demonstra acest lucru au determinat o dezvoltare substanțială în teoria numerelor , iar în timp Ultima teoremă a lui Fermat a câștigat importanță ca o problemă nerezolvată în matematică .

Dezvoltări și soluții ulterioare

Cazul special n = 4 , demonstrat de Fermat însuși, este suficient pentru a stabili că, dacă teorema este falsă pentru un exponent n care nu este un număr prim , trebuie să fie fals și pentru un n mai mic , deci numai valorile prime ale lui n necesită investigații suplimentare. În următoarele două secole (1637-1839), conjectura a fost dovedită doar pentru primele 3, 5 și 7, deși Sophie Germain a inovat și a dovedit o abordare care era relevantă pentru o întreagă clasă de primi. La mijlocul secolului al XIX-lea, Ernst Kummer a extins acest lucru și a dovedit teorema pentru toate primele regulate , lăsând primele neregulate să fie analizate individual. Bazându-se pe munca lui Kummer și folosind studii computerizate sofisticate, alți matematicieni au reușit să extindă dovada pentru a acoperi toți exponenții primi până la patru milioane, dar o dovadă pentru toți exponenții a fost inaccesibilă (ceea ce înseamnă că matematicienii au considerat în general o dovadă imposibilă, extrem de dificilă sau de nerealizat cu cunoștințele actuale).

Separat, în jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au suspectat că ar putea exista o legătură între curbele eliptice și formele modulare , două domenii complet diferite ale matematicii. Cunoscută la acea vreme sub numele de conjectura Taniyama-Shimura (în cele din urmă sub denumirea de teorema modularității), ea a rămas singură, fără nicio legătură aparentă cu Ultima teoremă a lui Fermat. A fost văzută pe scară largă ca fiind semnificativă și importantă în sine, dar a fost considerată (la fel ca teorema lui Fermat) complet inaccesibilă dovezilor.

În 1984, Gerhard Frey a observat o legătură aparentă între aceste două probleme anterior nerezolvate și nerezolvate. O schiță care sugerează că acest lucru ar putea fi dovedit a fost dată de Frey. Dovada completă a faptului că cele două probleme erau strâns legate a fost realizată în 1986 de Ken Ribet , bazându-se pe o dovadă parțială a lui Jean-Pierre Serre , care a dovedit toate, în afară de o parte, cunoscută sub numele de „conjectura epsilon” (vezi: Teorema lui Ribet și curba Frey ). Aceste lucrări ale lui Frey, Serre și Ribet au arătat că, dacă conjectura Taniyama-Shimura ar putea fi dovedită pentru cel puțin clasa semi-stabilă a curbelor eliptice, ar urma și o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat. Conexiunea este descrisă mai jos : orice soluție care ar putea contrazice ultima teoremă a lui Fermat ar putea fi folosită și pentru a contrazice conjectura Taniyama-Shimura. Deci, dacă s-ar descoperi că teorema modularității este adevărată, atunci prin definiție nu ar putea exista nicio soluție care să contrazică Ultima Teoremă a lui Fermat, care ar trebui să fie și adevărată.

Deși ambele probleme erau descurajante și pe scară largă considerate a fi „complet inaccesibile” la dovezi în acel moment, aceasta a fost prima sugestie a unei rute prin care Ultima teoremă a lui Fermat ar putea fi extinsă și dovedită pentru toate numerele, nu doar pentru unele numere. Spre deosebire de Ultima Teoremă a lui Fermat, conjectura Taniyama-Shimura a fost o zonă majoră de cercetare activă și privită ca mai mult la îndemâna matematicii contemporane. Cu toate acestea, opinia generală a fost că aceasta a arătat pur și simplu impracticabilitatea dovedirii conjecturii Taniyama-Shimura. Reacția citată a matematicianului John Coates a fost una obișnuită:

„Eu însumi eram foarte sceptic că legătura frumoasă dintre Ultima Teoremă a lui Fermat și conjectura Taniyama-Shimura ar duce de fapt la orice, pentru că trebuie să mărturisesc că nu credeam că conjectura Taniyama-Shimura era accesibilă dovezilor. Frumos, deși această problemă era , mi s-a părut imposibil de demonstrat. Trebuie să mărturisesc că am crezut că probabil nu aș vedea-o dovedită în viața mea. "

Aflând că Ribet a dovedit că legătura lui Frey este corectă, matematicianul englez Andrew Wiles , care avea o fascinație din copilărie cu Ultima teoremă a lui Fermat și avea un background de lucru cu curbe eliptice și câmpuri conexe, a decis să încerce să demonstreze conjectura Taniyama-Shimura ca o modalitate de a demonstra Ultima teoremă a lui Fermat. În 1993, după șase ani de muncă secretă asupra problemei, Wiles a reușit să demonstreze suficient conjectura pentru a demonstra Ultima teoremă a lui Fermat. Hârtia lui Wiles era masivă ca dimensiune și întindere. Un defect a fost descoperit într-o parte a lucrării sale originale în timpul evaluării colegiale și a necesitat încă un an și colaborarea cu un student trecut, Richard Taylor , pentru rezolvare. Drept urmare, dovada finală din 1995 a fost însoțită de o lucrare comună mai mică, care arăta că pașii fixi erau valabili. Realizarea lui Wiles a fost raportată pe scară largă în presa populară și a fost popularizată în cărți și programe de televiziune. Celelalte părți ale conjecturii Taniyama – Shimura – Weil, acum dovedite și cunoscute sub numele de teorema modularității, au fost ulterior dovedite de alți matematicieni, care s-au bazat pe opera lui Wiles între 1996 și 2001. Pentru dovada sa, Wiles a fost onorat și a primit numeroase premii, inclusiv Premiul Abel 2016 .

Enunțuri echivalente ale teoremei

Există mai multe modalități alternative de a enunța Ultima teoremă a lui Fermat, care sunt echivalente din punct de vedere matematic cu afirmația inițială a problemei.

Pentru a le afirma, folosim notația matematică: fie N setul de numere naturale 1, 2, 3, ..., fie Z setul de numere întregi 0, ± 1, ± 2, ... și să fie Q fie mulțimea numerelor raționale a / b , unde a și b sunt în Z cu b ≠ 0 . În cele ce urmează vom numi o soluție la x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ unde unul sau mai mulți dintre x , y sau z este zero o soluție trivială . O soluție în care toate cele trei sunt diferite de zero va fi numită o soluție non-banală .

Din motive de comparație, începem cu formularea originală.

• Declarație originală. Cu n , x , y , z ∈ N (adică n , x , y , z sunt numere întregi pozitive) și n > 2 , ecuația x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ nu are soluții.

Cele mai populare tratamente ale subiectului afirmă acest lucru. De asemenea, se menționează în mod obișnuit peste Z :

• Declarație echivalentă 1: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , unde întreg n ≥ 3, nu are soluții netriviale x , y , z ∈ Z .

Echivalența este clară dacă n este egal. Dacă n este impar și toate cele trei x , y , z sunt negative, atunci putem înlocui x , y , z cu - x , - y - z pentru a se obține o soluție în N . Dacă două dintre ele sunt negative, trebuie să fie x și z sau y și z . Dacă x , z sunt negative și y este pozitiv, atunci putem rearanja pentru a obține (- z ) ⁿ + y ⁿ = (- x ) ⁿ rezultând o soluție în N ; celălalt caz este tratat în mod analog. Acum, dacă doar unul este negativ, trebuie să fie x sau y . Dacă x este negativ, iar y și z sunt pozitive, atunci se poate rearanja pentru a obține (- x ) ⁿ + z ⁿ = y ⁿ din nou rezultând o soluție în N ; dacă y este negativ, rezultatul urmează simetric. Astfel, în toate cazurile, o soluție netivială în Z ar însemna, de asemenea, că există o soluție în N , formularea inițială a problemei.

• Declarație echivalentă 2: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , unde întreg n ≥ 3, nu are soluții netriviale x , y , z ∈ Q .

Acest lucru se datorează faptului că exponenții x , y , și z sunt egale (la n ), deci dacă există o soluție în Q , atunci acesta poate fi multiplicat prin printr - un numitor comun adecvat pentru a obține o soluție în Z , și deci în N .

• Declarație echivalentă 3: x ⁿ + y ⁿ = 1 , unde întreg n ≥ 3, nu are soluții netriviale x , y ∈ Q .

O soluție non-banală a , b , c ∈ Z la x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ produce soluția non-banală a / c , b / c ∈ Q pentru v ⁿ + w ⁿ = 1 . În schimb, o soluție a / b , c / d ∈ Q la v ⁿ + w ⁿ = 1 produce soluția non-trivială ad , cb , bd pentru x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

Această ultimă formulare este deosebit de fructuoasă, deoarece reduce problema de la o problemă cu suprafețe în trei dimensiuni la o problemă cu curbele în două dimensiuni. Mai mult, permite lucrul peste câmpul Q , mai degrabă decât peste inelul Z ; câmpurile prezintă mai multă structură decât inelele , ceea ce permite o analiză mai profundă a elementelor lor.

• Enunț echivalent 4 - conexiune la curbele eliptice: Dacă a , b , c este o soluție non-trivială la un ^p + b ^p = c ^p , p prim impar, atunci y ² = x ( x - a ^p ) ( x + b ^p ) ( curba Frey ) va fi o curbă eliptică .

Examinarea acestei curbe eliptice cu teorema lui Ribet arată că nu are o formă modulară . Cu toate acestea, dovada lui Andrew Wiles demonstrează că orice ecuație de forma y ² = x ( x - a ⁿ ) ( x + b ⁿ ) are o formă modulară. Orice soluție non-banală la x ^p + y ^p = z ^p (cu p un prim impar) ar crea, prin urmare, o contradicție , care la rândul său dovedește că nu există soluții non-banale.

Cu alte cuvinte, orice soluție care ar putea contrazice Ultima Teoremă a lui Fermat ar putea fi folosită și pentru a contrazice Teorema Modularității. Deci, dacă s-ar descoperi că teorema modularității este adevărată, atunci ar rezulta că nu ar putea exista nici o contradicție cu ultima teoremă a lui Fermat. Așa cum s-a descris mai sus, descoperirea acestei afirmații echivalente a fost crucială pentru eventuala soluție a ultimei teoreme a lui Fermat, deoarece a furnizat un mijloc prin care ar putea fi „atacat” pentru toate numerele simultan.

Istoria matematică

Pitagora și Diofant

Triplele pitagoreice

În antichitate se știa că un triunghi ale cărui laturi erau în raportul 3: 4: 5 ar avea un unghi drept ca unul dintre unghiurile sale. Aceasta a fost folosită în construcții și mai târziu în geometria timpurie . De asemenea, se știa că este un exemplu de regulă generală conform căreia orice triunghi în care lungimea a două laturi, fiecare pătrată și apoi adunată (3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25) , este egală cu pătratul lungimii a treia parte (5 ² = 25) , ar fi, de asemenea, un triunghi unghi drept . Aceasta este acum cunoscută sub numele de teorema lui Pitagora și un triplu al numerelor care îndeplinește această condiție se numește triplu pitagoric - ambele sunt numite după Pitagora greacă veche . Exemplele includ (3, 4, 5) și (5, 12, 13). Există infinit de multe astfel de tripluri, iar metodele de generare a acestor tripluri au fost studiate în multe culturi, începând cu babilonienii și mai apoi cu matematicienii antici greci , chinezi și indieni . Matematic, definiția unui triplu pitagoric este un set de trei numere întregi ( a , b , c ) care satisfac ecuația${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}$

Ecuații diofantine

Ecuația lui Fermat, x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ cu soluții întregi pozitive , este un exemplu de ecuație diofantină , numită după matematicianul din Alexandria din secolul al III-lea , Diofant , care le-a studiat și a dezvoltat metode pentru soluționarea unor tipuri de ecuații diofantine. . O problemă diofantină tipică este de a găsi două numere întregi x și y astfel încât suma lor și suma pătratelor lor să fie egale cu două numere date A și respectiv B :

${\ displaystyle A = x + y}$

${\ displaystyle B = x ^ {2} + y ^ {2}.}$

Lucrarea majoră a lui Diophantus este Arithmetica , din care doar o parte a supraviețuit. Conjectura lui Fermat despre ultima sa teoremă a fost inspirată în timp ce citea o nouă ediție a Arithmetica , care a fost tradusă în latină și publicată în 1621 de Claude Bachet .

Ecuațiile diofantine au fost studiate de mii de ani. De exemplu, soluțiile la ecuația diofantină pătratică x ² + y ² = z ² sunt date de triplele pitagorice , rezolvate inițial de babilonieni (c. 1800 î.Hr.). Soluțiile la ecuațiile diofantine liniare, cum ar fi 26 x + 65 y = 13, pot fi găsite folosind algoritmul euclidian (c. Secolul al V-lea î.Hr.). Multe ecuații diofantine au o formă similară cu ecuația ultimei teoreme a lui Fermat din punctul de vedere al algebrei, prin aceea că nu au termeni încrucișați care să amestece două litere, fără a împărtăși proprietățile sale particulare. De exemplu, se știe că există infinit de mulți numere întregi pozitive x , y și z astfel încât x ⁿ + y ⁿ = z ^m unde n și m sunt numere naturale relativ prime .

Conjectura lui Fermat

Problema II.8 din Arithmetica întreabă cum este împărțit un număr pătrat dat în alte două pătrate; cu alte cuvinte, pentru un număr rațional dat k , găsiți numere raționale u și v astfel încât k ²  =  u ²  +  v ² . Diofant arată cum să rezolvi această problemă a sumei de pătrate pentru k  = 4 (soluțiile fiind u  = 16/5 și v  = 12/5).

În jurul anului 1637, Fermat și-a scris Ultima teoremă în marginea copiei sale a Aritmeticii, lângă problema sumelor de pătrate a lui Diofant :

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstration mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Este imposibil să separi un cub în două cuburi sau o a patra putere în două a patra puteri sau, în general, orice putere mai mare decât a doua, în două puteri asemănătoare. Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată a acestui lucru, pe care această marjă este prea îngustă pentru a o conține.

După moartea lui Fermat în 1665, fiul său Clément-Samuel Fermat a produs o nouă ediție a cărții (1670) completată cu comentariile tatălui său. Deși nu este de fapt o teoremă la momentul respectiv (adică o afirmație matematică pentru care există dovezi ), nota de marjă a devenit cunoscută de-a lungul timpului ca Ultima Teoremă a lui Fermat , deoarece a fost ultima dintre teoremele afirmate de Fermat care a rămas nedovedită.

Nu se știe dacă Fermat a găsit de fapt o dovadă validă pentru toți exponenții n , dar pare puțin probabil. Doar o dovadă legată de el a supraviețuit, și anume pentru cazul n  = 4, așa cum este descris în secțiunea Dovezi pentru exponenți specifici . În timp ce Fermat a prezentat cazurile n  = 4 și n  = 3 drept provocări pentru corespondenții săi matematici, precum Marin Mersenne , Blaise Pascal și John Wallis , el nu a pus niciodată cazul general. Mai mult, în ultimii treizeci de ani de viață, Fermat nu a mai scris niciodată despre „dovada sa cu adevărat minunată” a cazului general și nu a publicat-o niciodată. Van der Poorten sugerează că, deși absența unei dovezi este nesemnificativă, lipsa provocărilor înseamnă că Fermat și-a dat seama că nu are o dovadă; el îl citează pe Weil spunând că Fermat trebuie să se fi înșelat pe scurt cu o idee irecuperabilă.

Nu se cunosc tehnicile pe care Fermat le-ar fi putut folosi într-o astfel de „dovadă minunată”.

Dovada lui Taylor și Wiles se bazează pe tehnici din secolul al XX-lea. Dovada lui Fermat ar fi trebuit să fie elementară prin comparație, având în vedere cunoștințele matematice din timpul său.

În timp ce marea conjectură a lui Harvey Friedman implică faptul că orice teoremă demonstrabilă (inclusiv ultima teoremă a lui Fermat) poate fi dovedită folosind doar „ aritmetica funcției elementare ”, o astfel de dovadă trebuie să fie „elementară” doar în sens tehnic și ar putea implica milioane de pași și astfel să fie mult prea lung pentru a fi dovada lui Fermat.

Dovezi pentru exponenți specifici

Exponent = 4

A supraviețuit doar o dovadă relevantă a lui Fermat , în care folosește tehnica descendenței infinite pentru a arăta că aria unui triunghi dreptunghiular cu laturi întregi nu poate egala niciodată pătratul unui număr întreg. Dovada sa este echivalentă cu demonstrarea faptului că ecuația

${\ displaystyle x ^ {4} -y ^ {4} = z ^ {2}}$

nu are soluții primitive în numere întregi (nu există soluții coprimă pereche ). La rândul său, aceasta dovedește ultima teoremă a lui Fermat pentru cazul n  = 4, deoarece ecuația a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ poate fi scrisă ca c ⁴ - b ⁴ = ( a ² ) ² .

Dovezi alternative ale cazului n  = 4 au fost dezvoltate mai târziu de Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant și Perella (1999), Barbara (2007) și Dolan (2011).

Alți exponenți

După ce Fermat a demonstrat cazul special n  = 4, dovada generală pentru toate n a cerut doar ca teorema să fie stabilită pentru toți exponenții primi impari. Cu alte cuvinte, a fost necesar să se demonstreze doar că ecuația a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ nu are soluții întregi pozitive ( a , b , c ) când n este un număr prim impar . Acest lucru urmează deoarece o soluție ( a ,  b ,  c ) pentru un n dat este echivalentă cu o soluție pentru toți factorii lui n . Pentru ilustrare, să se ia în considerare n în d și e , n  =  de . Ecuația generală

a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ

implică faptul că ( a ^d ,  b ^d ,  c ^d ) este o soluție pentru exponentul e

( a ^d ) ^e + ( b ^d ) ^e = ( c ^d ) ^e .

Astfel, pentru a demonstra că ecuația lui Fermat nu are soluții pentru n  > 2, ar fi suficient să se demonstreze că nu are soluții pentru cel puțin un factor prim din fiecare n . Fiecare număr întreg n  > 2 este divizibil cu 4 sau cu un număr prim impar (sau ambele). Prin urmare, Ultima teoremă a lui Fermat ar putea fi dovedită pentru toate n dacă ar putea fi dovedită pentru n  = 4 și pentru toate primele impare p .

În cele două secole care au urmat conjecturii sale (1637–1839), Ultima teoremă a lui Fermat a fost dovedită pentru trei exponenți primi p  = 3, 5 și 7. Cazul p  = 3 a fost declarat pentru prima dată de Abu-Mahmud Khojandi (secolul al X-lea), dar încercarea sa de a demonstra teorema a fost incorectă. În 1770, Leonhard Euler a dat o dovadă de p  = 3, dar dovada sa prin descendență infinită conținea un decalaj major. Cu toate acestea, de vreme ce Euler însuși dovedise lema necesară pentru a completa dovada în alte lucrări, în general i se atribuie prima dovadă. Dovezi independente au fost publicate de Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) și Duarte (1944).

Cazul p  = 5 a fost dovedit independent de Legendre și Peter Gustav Lejeune Dirichlet în jurul anului 1825. Dovezi alternative au fost dezvoltate de Carl Friedrich Gauss (1875, postum), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905) ), Rychlík (1910), van der Corput (1915) și Guy Terjanian (1987).

Cazul p  = 7 a fost dovedit de Lamé în 1839. Dovada sa destul de complicată a fost simplificată în 1840 de Lebesgue, iar dovezi mai simple au fost publicate de Angelo Genocchi în 1864, 1874 și 1876. Dovezi alternative au fost dezvoltate de Théophile Pépin (1876) și Edmond Maillet (1897).

Ultima teoremă a lui Fermat a fost dovedită și pentru exponenții n  = 6, 10 și 14. Dovezile pentru n  = 6 au fost publicate de Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift și Breusch. În mod similar, Dirichlet și Terjanian au dovedit fiecare cazul n  = 14, în timp ce Kapferer și Breusch au dovedit fiecare cazul n  = 10. Strict vorbind, aceste dovezi sunt inutile, deoarece aceste cazuri rezultă din dovezile pentru n  = 3, 5 și 7, respectiv. Cu toate acestea, raționamentul acestor dovezi cu exponenți diferiți diferă de omologii lor cu exponenți impar. Dovada lui Dirichlet pentru n  = 14 a fost publicată în 1832, înainte de proba lui Lamé din 1839 pentru n  = 7.

Toate dovezile pentru exponenți specifici au folosit tehnica Fermat de descendență infinită , fie în forma sa originală, fie sub forma descendenței pe curbe eliptice sau soiuri abeliene. Cu toate acestea, detaliile și argumentele auxiliare au fost adesea ad hoc și legate de exponentul individual luat în considerare. Deoarece au devenit din ce în ce mai complicate pe măsură ce p a crescut, părea puțin probabil ca cazul general al Ultimei Teoreme a lui Fermat să poată fi dovedit bazându-se pe dovezile pentru exponenții individuali. Deși unele rezultate generale despre Ultima teoremă a lui Fermat au fost publicate la începutul secolului al XIX-lea de Niels Henrik Abel și Peter Barlow , prima lucrare semnificativă asupra teoremei generale a fost realizată de Sophie Germain .

Descoperiri moderne timpurii

Sophie Germain

La începutul secolului al XIX-lea, Sophie Germain a dezvoltat mai multe abordări noi pentru a demonstra ultima teoremă a lui Fermat pentru toți exponenții. În primul rând, ea a definit un set de primi auxiliari construiți din exponentul prim prin ecuație , unde este orice număr întreg nedivizibil cu trei. Ea a arătat că, dacă niciun număr întreg ridicat la putere nu era modul adiacent ( condiția de non-consecutivitate ), atunci trebuie să împartă produsul . Scopul ei a fost să folosească inducția matematică pentru a demonstra că, pentru orice dat , infinit de mulți primi auxiliari au îndeplinit condiția de non-consecutivitate și astfel s-au împărțit ; deoarece produsul poate avea cel mult un număr finit de factori primi, o astfel de dovadă ar fi stabilit Ultima teoremă a lui Fermat. Deși a dezvoltat multe tehnici pentru stabilirea condiției de non-consecutivitate, nu a reușit să își atingă obiectivul strategic. Ea a lucrat, de asemenea, pentru a stabili limite mai mici pentru mărimea soluțiilor la ecuația lui Fermat pentru un exponent dat , a cărui versiune modificată a fost publicată de Adrien-Marie Legendre . Ca produs secundar al acestei ultime lucrări, ea a dovedit teorema lui Sophie Germain , care a verificat primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat (și anume, cazul în care nu se împarte ) pentru fiecare exponent prim ciudat mai mic decât și pentru toți primii astfel încât cel puțin unul dintre , , , , și este prim ( în special, PRIMES astfel încât este prim sunt numite amorse Sophie Germain ). Germain a încercat fără succes să demonstreze primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat pentru toți chiar exponenții, în special pentru , care a fost dovedit de Guy Terjanian în 1977. În 1985, Leonard Adleman , Roger Heath-Brown și Étienne Fouvry au dovedit că primul caz din ultimul lui Fermat Teorema se referă la infinit de mulți primii impari . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ theta = 2hp + 1}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle p ^ {\ mathrm {th}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle 270}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2p + 1}$${\ displaystyle 4p + 1}$${\ displaystyle 8p + 1}$${\ displaystyle 10p + 1}$${\ displaystyle 14p + 1}$${\ displaystyle 16p + 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2p + 1}$${\ displaystyle n = 2p}$${\ displaystyle p}$

Ernst Kummer și teoria idealurilor

În 1847, Gabriel Lamé a subliniat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat bazată pe factorizarea ecuației x ^p + y ^p = z ^p în numere complexe, în mod specific câmpul ciclotomic bazat pe rădăcinile numărului 1 . Dovada sa a eșuat, totuși, pentru că a presupus în mod greșit că astfel de numere complexe pot fi luate în considerare în mod unic în primii, similar cu numerele întregi. Această lacună a fost evidențiată imediat de Joseph Liouville , care a citit ulterior o lucrare care demonstra acest eșec al factorizării unice, scrisă de Ernst Kummer .

Kummer și-a stabilit sarcina de a determina dacă câmpul ciclotomic ar putea fi generalizat pentru a include noi numere prime, astfel încât factorizarea unică să fie restabilită. El a reușit în această sarcină dezvoltând numerele ideale .

(Notă: Se spune adesea că Kummer a fost condus la „numerele sale complexe ideale” de interesul său pentru Ultima Teoremă a lui Fermat; există chiar o poveste despre care Kummer, la fel ca Lamé , credea că a dovedit Ultima Teoremă a lui Fermat până când Lejeune Dirichlet a spus argumentul său s-a bazat pe factorizarea unică; dar povestea a fost spusă pentru prima dată de Kurt Hensel în 1910 și dovezile indică faptul că aceasta derivă probabil dintr-o confuzie de una dintre sursele lui Hensel. Harold Edwards spune credința că Kummer era interesat în principal de Ultima teoremă a lui Fermat " este greșit cu siguranță ". Vezi istoria numerelor ideale .)

Folosind abordarea generală subliniată de Lamé, Kummer a demonstrat ambele cazuri ale ultimei teoreme a lui Fermat pentru toate numerele prime regulate . Cu toate acestea, el nu a putut dovedi teorema primelor excepționale (primele neregulate) care apar conjectural aproximativ 39% din timp ; singurele prime neregulate sub 270 sunt 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 și 263.

Conjectura lui Mordell

În anii 1920, Louis Mordell a formulat o presupunere care presupunea că ecuația lui Fermat are cel mult un număr finit de soluții întregi primitive netiviale, dacă exponentul n este mai mare de două. Această conjectură a fost dovedită în 1983 de Gerd Faltings și este acum cunoscută sub numele de teorema lui Faltings .

Studii computaționale

În a doua jumătate a secolului al XX-lea, metodele de calcul au fost folosite pentru a extinde abordarea lui Kummer asupra primelor neregulate. În 1954, Harry Vandiver a folosit un computer SWAC pentru a demonstra ultima teoremă a lui Fermat pentru toate primele până în 2521. Până în 1978, Samuel Wagstaff a extins acest lucru la toate primele mai mici de 125.000. Până în 1993, Ultima teoremă a lui Fermat fusese dovedită pentru toate primele mai mici de patru milioane.

Cu toate acestea, în ciuda acestor eforturi și a rezultatelor lor, nu a existat nicio dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat. Dovezile exponenților individuali prin natura lor nu ar putea dovedi niciodată cazul general : chiar dacă toți exponenții au fost verificați până la un număr extrem de mare X, ar putea exista încă un exponent mai mare dincolo de X pentru care afirmația nu era adevărată. (Așa a fost cazul unor alte ipoteze din trecut și nu a putut fi exclusă în această ipoteză.)

Conexiune cu curbe eliptice

Strategia care a dus în cele din urmă la o dovadă reușită a ultimei teoreme a lui Fermat a apărut din „uimitoarea” conjectură Taniyama – Shimura – Weil , propusă în jurul anului 1955 - pe care mulți matematicieni o credeau aproape imposibil de dovedit și a fost legată în anii 1980 de Gerhard Frey , Jean-Pierre Serre și Ken Ribet la ecuația lui Fermat. Realizând o dovadă parțială a acestei conjecturi în 1994, Andrew Wiles a reușit în cele din urmă să dovedească Ultima teoremă a lui Fermat, precum și să conducă la o dovadă completă de către alții a ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema modularității .

Conjectura Taniyama – Shimura – Weil

În jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au observat o posibilă legătură între două ramuri aparent complet diferite ale matematicii, curbele eliptice și formele modulare . Teorema modularității rezultată (pe atunci cunoscută sub numele de conjectura Taniyama – Shimura) afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară , ceea ce înseamnă că poate fi asociată cu o formă modulară unică .

Legătura a fost inițial respinsă ca fiind puțin probabilă sau extrem de speculativă, dar a fost luată mai în serios când teoreticianul numerelor, André Weil, a găsit dovezi care o susțin, deși nu le dovedeau; ca urmare, conjectura a fost adesea cunoscută sub numele de conjectura Taniyama – Shimura – Weil.

Chiar și după ce a câștigat o atenție serioasă, conjectura a fost văzută de matematicienii contemporani ca fiind extraordinar de dificilă sau poate inaccesibilă probelor. De exemplu, conducătorul doctoral al lui Wiles, John Coates, afirmă că părea „imposibil de dovedit efectiv”, iar Ken Ribet se considera „una dintre marea majoritate a oamenilor care credeau că [acesta] era complet inaccesibil”, adăugând că „Andrew Wiles era probabil unul dintre puținii oameni de pe pământ care au avut îndrăzneala să viseze că poți merge și să-l demonstrezi. "

Teorema lui Ribet pentru curbele Frey

În 1984, Gerhard Frey a remarcat o legătură între ecuația lui Fermat și teorema modularității, apoi încă o presupunere. Dacă ecuația lui Fermat a avut vreo soluție ( a , b , c ) pentru exponentul p  > 2, atunci s-ar putea arăta că curba eliptică semi-stabilă (acum cunoscută sub numele de Frey-Hellegouarch )

y ² = x  ( x  -  a ^p ) ( x  +  b ^p )

ar avea proprietăți atât de neobișnuite încât este puțin probabil să fie modular. Acest lucru ar intra în conflict cu teorema modularității, care afirma că toate curbele eliptice sunt modulare. Ca atare, Frey a observat că o dovadă a conjecturii Taniyama – Shimura – Weil ar putea dovedi simultan și ultima Teoremă a lui Fermat. Prin contrapunere , o tăgăduire sau infirmării Ultima teoremă ar infirma conjectura Taniyama-Shimura-Weil.

Într-o engleză simplă, Frey arătase că, dacă această intuiție despre ecuația sa era corectă, atunci orice set de 4 numere (a, b, c, n) capabile să infirme Ultima teoremă a lui Fermat, putea fi folosit și pentru a infirma Taniyama-Shimura –Conjectura lui Weil. Prin urmare, dacă acestea din urmă ar fi adevărate, prima nu ar putea fi respinsă și ar trebui, de asemenea, să fie adevărată.

În urma acestei strategii, o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat a necesitat doi pași. În primul rând, a fost necesar să se demonstreze teorema modularității - sau cel puțin să o demonstreze pentru tipurile de curbe eliptice care includeau ecuația lui Frey (cunoscută sub numele de curbe eliptice semistabile ). Acest lucru a fost larg crezut că inaccesibil dovezilor de către matematicienii contemporani. În al doilea rând, a fost necesar să se arate că intuiția lui Frey a fost corectă: că, dacă o curbă eliptică ar fi construită în acest fel, folosind un set de numere care erau o soluție a ecuației lui Fermat, curba eliptică rezultată nu ar putea fi modulară. Frey a arătat că acest lucru este plauzibil, dar nu a mers până la a oferi o dovadă completă. Piesa lipsă (așa-numita „ conjectură epsilon ”, cunoscută acum sub numele de teorema lui Ribet ) a fost identificată de Jean-Pierre Serre, care a dat și o dovadă aproape completă, iar legătura sugerată de Frey a fost dovedită în cele din urmă în 1986 de Ken Ribet .

După munca lui Frey, Serre și Ribet, aici stăteau lucrurile:

• Ultima teoremă a lui Fermat trebuia dovedită pentru toți exponenții n care erau numere prime.
• Teorema modularității - dacă este dovedită pentru curbele eliptice semi-stabile - ar însemna că toate curbele eliptice semistabile trebuie să fie modulare.
• Teorema lui Ribet a arătat că orice soluție la ecuația lui Fermat pentru un număr prim ar putea fi utilizată pentru a crea o curbă eliptică semistabilă care nu ar putea fi modulară;
• Singura modalitate prin care ambele afirmații ar putea fi adevărate a fost dacă nu existau soluții la ecuația lui Fermat (pentru că atunci nu se putea crea o astfel de curbă), ceea ce spunea Ultima teoremă a lui Fermat. Deoarece teorema lui Ribet a fost deja dovedită, aceasta a însemnat că o dovadă a teoremei modularității ar dovedi automat că și ultima teoremă a lui Fermat era adevărată.

Dovada generală a lui Wiles

Dovada lui Ribet a conjecturii epsilon în 1986 a realizat primul dintre cele două obiective propuse de Frey. După ce a aflat de succesul lui Ribet, Andrew Wiles , un matematician englez cu o fascinație din copilărie cu Ultima teoremă a lui Fermat și care a lucrat la curbele eliptice, a decis să se angajeze să realizeze a doua jumătate: dovedind un caz special al teoremei modularității (cunoscut pe atunci ca conjectura Taniyama – Shimura) pentru curbele eliptice semistabile.

Wiles a lucrat la această sarcină timp de șase ani într-un secret aproape total, acoperindu-și eforturile prin eliberarea muncii anterioare în segmente mici ca hârtii separate și încredințându-i doar soției sale. Studiul său inițial a sugerat dovezi prin inducție și și-a bazat lucrarea inițială și prima descoperire semnificativă pe teoria lui Galois înainte de a trece la o încercare de a extinde teoria orizontală Iwasawa pentru argumentul inductiv în jurul anilor 1990–91, când se părea că nu există o abordare existentă adecvată pentru problema. Cu toate acestea, la mijlocul anului 1991, teoria Iwasawa părea, de asemenea, să nu ajungă la problemele centrale ale problemei. Ca răspuns, el a abordat colegii să caute orice indiciu de cercetare de ultimă oră și noi tehnici și a descoperit un sistem Euler dezvoltat recent de Victor Kolyvagin și Matthias Flach care părea „personalizat” pentru partea inductivă a dovezii sale. Wiles a studiat și a extins această abordare, care a funcționat. Întrucât munca sa s-a bazat mult pe această abordare, care era nouă pentru matematică și pentru Wiles, în ianuarie 1993 a cerut colegului său din Princeton, Nick Katz , să-l ajute să își verifice raționamentul pentru erori subtile. Concluzia lor la acea vreme a fost că tehnicile folosite de Wiles păreau să funcționeze corect.

Până la jumătatea lunii mai 1993, Wiles s-a simțit capabil să-i spună soției sale că a crezut că a rezolvat dovada ultimei teoreme a lui Fermat și, până în iunie, s-a simțit suficient de încrezător pentru a-și prezenta rezultatele în trei prelegeri susținute în perioada 21-23 iunie 1993 la Isaac Newton. Institutul de Științe Matematice . Mai exact, Wiles și-a prezentat dovada conjecturii Taniyama-Shimura pentru curbele eliptice semistabile; împreună cu dovada lui Ribet a conjecturii epsilon, aceasta a implicat Ultima teoremă a lui Fermat. Cu toate acestea, în timpul revizuirii inter pares a devenit evident că un punct critic din dovadă era incorect. Conținea o eroare într-o legătură din ordinea unui anumit grup . Eroarea a fost surprinsă de mai mulți matematicieni care au arbitrat manuscrisul lui Wiles, inclusiv Katz (în rolul său de recenzor), care l-a alertat pe Wiles la 23 august 1993.

Eroarea nu i-ar fi făcut lipsită de valoare lucrării sale - fiecare parte a operei lui Wiles a fost extrem de semnificativă și inovatoare prin ea însăși, la fel ca numeroasele evoluții și tehnici pe care le-a creat în cursul lucrării sale și doar o parte a fost afectată. Cu toate acestea, fără ca această parte să fie dovedită, nu a existat nici o dovadă reală a ultimei teoreme a lui Fermat. Wiles a petrecut aproape un an încercând să-și repare dovezile, inițial singur și apoi în colaborare cu fostul său student Richard Taylor , fără succes. Până la sfârșitul anului 1993, s-au răspândit zvonuri că, sub control, dovada lui Wiles eșuase, dar cât de serios nu era cunoscut. Matematicienii începeau să-l preseze pe Wiles să-și dezvăluie lucrarea, indiferent dacă era completă sau nu, astfel încât comunitatea mai largă să poată explora și folosi orice a reușit să realizeze. Dar, în loc să fie rezolvată, problema, care părea inițial minoră, părea acum foarte semnificativă, mult mai gravă și mai puțin ușor de rezolvat.

Wiles afirmă că, în dimineața zilei de 19 septembrie 1994, el a fost pe punctul de a renunța și a fost aproape resemnat să accepte că a eșuat și să-și publice lucrările pentru ca alții să se bazeze pe ea și să remedieze eroarea. El adaugă că a avut o ultimă privire pentru a încerca să înțeleagă motivele fundamentale pentru care abordarea sa nu a putut fi pusă în funcțiune, când a avut o perspectivă bruscă - că motivul specific pentru care abordarea Kolyvagin-Flach nu ar funcționa direct a însemnat, de asemenea , că încercările sale inițiale folosind teoria Iwasawa ar putea fi puse în aplicare, dacă ar întări-o folosind experiența sa acumulată din abordarea Kolyvagin – Flach. Fixarea unei abordări cu instrumente din cealaltă abordare ar rezolva problema pentru toate cazurile care nu au fost deja dovedite de lucrarea sa arbitrată. El a descris mai târziu că teoria Iwasawa și abordarea Kolyvagin-Flach erau fiecare inadecvate singure, dar împreună puteau fi suficient de puternici pentru a depăși acest obstacol final.

„Stăteam la biroul meu examinând metoda Kolyvagin-Flach. Nu credeam că aș putea să o facă să funcționeze, dar am crezut că cel puțin aș putea explica de ce nu a funcționat. Deodată am avut această revelație incredibilă. Mi-am dat seama că metoda Kolyvagin-Flach nu funcționa, dar tot ce aveam nevoie pentru ca teoria mea Iwasawa originală să funcționeze cu trei ani mai devreme. Era atât de frumos de nedescris; era atât de simplu și atât de elegant. Nu puteam înțelege cum mi-a fost dor și m-am uitat la el neîncrezător timp de douăzeci de minute. Apoi, în timpul zilei, m-am plimbat prin departament și am Aș continua să mă întorc la biroul meu, căutând să văd dacă mai era acolo. Era încă acolo. Nu mă puteam reține, eram atât de încântat. A fost cel mai important moment din viața mea profesională. Nimic din ce nu mai fac vreodată va însemna la fel de mult ".

- Andrew Wiles, citat de Simon Singh

La 24 octombrie 1994, Wiles a prezentat două manuscrise, „Curbe eliptice modulare și Ultima teoremă a lui Fermat” și „Proprietățile teoretice ale inelului anumitor algebre Hecke”, a doua dintre acestea fiind co-autoră cu Taylor și a dovedit că sunt îndeplinite anumite condiții care erau necesare pentru a justifica pasul corectat în lucrarea principală. Cele două lucrări au fost verificate și publicate ca întregul număr din mai 1995 al Annals of Mathematics . Aceste lucrări au stabilit teorema modularității pentru curbele eliptice semistabile, ultimul pas în dovedirea ultimei teoreme a lui Fermat, la 358 de ani după ce a fost conjecturată.

Dezvoltări ulterioare

Conjectura completă Taniyama – Shimura – Weil a fost în cele din urmă dovedită de Diamond (1996), Conrad și colab. (1999) și Breuil și colab. (2001) care, bazându-se pe munca lui Wiles, au eliminat treptat cazurile rămase până când s-a dovedit rezultatul complet. Conjectura acum complet dovedită a devenit cunoscută sub numele de teorema modularității .

Mai multe alte teoreme din teoria numerelor, similare cu Ultima teoremă a lui Fermat, decurg, de asemenea, din același raționament, folosind teorema modularității. De exemplu: niciun cub nu poate fi scris ca o sumă a două puteri coprimă n -a treia, n  ≥ 3. (Cazul n  = 3 era deja cunoscut de Euler .)

Relația cu alte probleme și generalizări

Ultima teoremă caută soluții pentru ecuația Fermat: a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ cu numere naturale a , b și c și un întreg n mai mare decât 2. Există mai multe generalizări ale ecuației Fermat la ecuații mai generale care permit exponentul n pentru a fi un întreg negativ sau rațional sau pentru a lua în considerare trei exponenți diferiți.

Ecuația Fermat generalizată

Ecuația Fermat generalizată generalizează enunțul ultimei teoreme a lui Fermat luând în considerare soluțiile întregi pozitive a, b, c, m, n, k satisfăcătoare

${\ displaystyle a ^ {m} + b ^ {n} = c ^ {k}.}$

( 1 )

În special, exponenții m , n , k nu trebuie să fie egali, în timp ce ultima teoremă a lui Fermat consideră cazul m = n = k .

Beal Conjectura , de asemenea , cunoscut sub numele de conjectura Mauldin și conjectura Tijdeman-Zagier, afirmă că nu există soluții pentru ecuația Fermat generalizată în numere naturale a , b , c , m , n , k cu o , b , și c fiind coprimă pereche și toate m , n , k fiind mai mari decât 2.

Fermat-Catalană conjectura generalizează Ultima teoremă a lui Fermat cu ideile conjectura catalane . Conjectura afirmă că ecuația Fermat generalizată are doar numeroase soluții finite ( a , b , c , m , n , k ) cu triplete distincte de valori ( a ^m , b ⁿ , c ^k ), unde a , b , c sunt pozitive numere întregi coprimă și m , n , k sunt numere întregi pozitive care satisfac

${\ displaystyle {\ frac {1} {m}} + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {k}} <1.}$

( 2 )

Afirmația se referă la finitudinea setului de soluții, deoarece există 10 soluții cunoscute .

Ecuația Fermat inversă

Când permitem exponentului n să fie reciprocul unui întreg, adică n = 1 / m pentru un număr întreg m , avem ecuația Fermat inversă Toate soluțiile acestei ecuații au fost calculate de Hendrik Lenstra în 1992. În cazul în care m ^th rădăcinile sunt necesare pentru a fi real și pozitiv, toate soluțiile sunt date de ${\ displaystyle a ^ {1 / m} + b ^ {1 / m} = c ^ {1 / m}.}$

${\ displaystyle a = rs ^ {m}}$

${\ displaystyle b = rt ^ {m}}$

${\ displaystyle c = r (s + t) ^ {m}}$

pentru numere întregi pozitive r, s, t cu s și t coprimă.

Exponenți raționali

Pentru ecuația diofantină cu n care nu este egală cu 1, Bennett, Glass și Székely au demonstrat în 2004 pentru n > 2, că dacă n și m sunt coprimă, atunci există soluții întregi dacă și numai dacă 6 împarte m , și , și sunt diferite rădăcini 6 complexe ale aceluiași număr real. ${\ displaystyle a ^ {n / m} + b ^ {n / m} = c ^ {n / m}}$${\ displaystyle a ^ {1 / m}}$${\ displaystyle b ^ {1 / m},}$${\ displaystyle c ^ {1 / m}}$

Exponenți întregi negativi

n = −1

Toate soluțiile întregi primitive (adică, cei care nu au prim factor comun tuturor a , b , și c ) la ecuația optică poate fi scrisă ca ${\ displaystyle a ^ {- 1} + b ^ {- 1} = c ^ {- 1}}$

${\ displaystyle a = mk + m ^ {2},}$

${\ displaystyle b = mk + k ^ {2},}$

${\ displaystyle c = mk}$

pentru numere întregi pozitive, coprimă m , k .

n = −2

Cazul n = −2 are, de asemenea, o infinitate de soluții, iar acestea au o interpretare geometrică în termeni de triunghiuri dreptunghiulare cu laturi întregi și o altitudine între hipotenuză . Toate soluțiile primitive la sunt date de ${\ displaystyle a ^ {- 2} + b ^ {- 2} = d ^ {- 2}}$

${\ displaystyle a = (v ^ {2} -u ^ {2}) (v ^ {2} + u ^ {2}),}$

${\ displaystyle b = 2uv (v ^ {2} + u ^ {2}),}$

${\ displaystyle d = 2uv (v ^ {2} -u ^ {2}),}$

pentru numere întregi coprimă u , v cu v  >  u . Interpretarea geometrică este că a și b sunt picioarele întregi ale unui triunghi dreptunghi și d este altitudinea întregului până la ipotenuză. Atunci ipotenuza însăși este întregul

${\ displaystyle c = (v ^ {2} + u ^ {2}) ^ {2},}$

deci ( a, b, c ) este un triplu pitagoric .

n <−2

Nu există soluții în numere întregi pentru pentru numere întregi n <−2. Dacă ar exista, ecuația ar putea fi înmulțită cu pentru a obține , ceea ce este imposibil prin ultima teoremă a lui Fermat. ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$${\ displaystyle a ^ {| n |} b ^ {| n |} c ^ {| n |}}$${\ displaystyle (bc) ^ {| n |} + (ac) ^ {| n |} = (ab) ^ {| n |}}$

conjectură abc

Abc presupunere afirmă că aproximativ în cazul în care trei numere întregi pozitive a , b și c ( de unde și numele) sunt prime între ele și să satisfacă un + b = c , atunci radicalul d al abc nu este de obicei mult mai mică decât c . În special, conjectura abc în formularea sa cea mai standardă implică ultima teoremă a lui Fermat pentru n care este suficient de mare. Modificat Szpiro conjectura este echivalentă cu conjectura abc și , prin urmare , are aceeași implicare. O versiune eficientă a conjecturii abc, sau o versiune eficientă a conjecturii Szpiro modificate, implică ultima teoremă a lui Fermat.

Premii și dovezi incorecte

În 1816 și din nou în 1850, Academia Franceză de Științe a oferit un premiu pentru o dovadă generală a ultimei teoreme a lui Fermat. În 1857, Academia i-a acordat lui Kummer 3.000 de franci și o medalie de aur pentru cercetările sale cu privire la numerele ideale, deși nu a trimis o înregistrare pentru premiu. Un alt premiu a fost oferit în 1883 de Academia de la Bruxelles.

În 1908, industrialul și matematicianul amator Paul Wolfskehl a lăsat moștenirea a 100.000 de mărci de aur - o sumă mare la acea vreme - Academiei de Științe din Göttingen pentru a oferi drept premiu o dovadă completă a ultimei teoreme a lui Fermat. La 27 iunie 1908, Academia a publicat nouă reguli pentru acordarea premiului. Printre altele, aceste reguli impuneau publicarea dovezilor într-un jurnal evaluat de colegi; premiul nu va fi acordat decât după doi ani de la publicare; și că niciun premiu nu va fi acordat după 13 septembrie 2007, la aproximativ un secol după începerea competiției. Wiles a strâns premiul Wolfskehl, în valoare de 50.000 de dolari, pe 27 iunie 1997. În martie 2016, Wiles a primit premiul Abel al guvernului norvegian în valoare de 600.000 de euro pentru „dovada sa uimitoare a Ultimei teoreme a lui Fermat prin intermediul conjecturii de modularitate pentru curbele eliptice semistabile. , deschizând o nouă eră în teoria numerelor. "

Înainte de dovada lui Wiles, mii de probe incorecte au fost prezentate comitetului Wolfskehl, în valoare de aproximativ 10 metri (3 metri) de corespondență. Numai în primul an (1907-1908), au fost depuse 621 de încercări de probe, deși până în anii 1970, rata de depunere scăzuse la aproximativ 3-4 încercări de probe pe lună. Potrivit unor afirmații, Edmund Landau a avut tendința de a utiliza un formular special preimprimat pentru astfel de probe, unde locația primei greșeli a fost lăsată necompletată pentru a fi completată de unul dintre studenții săi absolvenți. Potrivit F. Schlichting, recenzent Wolfskehl, majoritatea dovezilor s-au bazat pe metode elementare predate în școli și adesea prezentate de „oameni cu o educație tehnică, dar cu o carieră eșuată”. În cuvintele istoricului matematic Howard Eves , „Ultima teoremă a lui Fermat are distincția deosebită de a fi problema matematică pentru care au fost publicate cele mai multe dovezi incorecte”.

În cultura populară

În episodul din The Simpsons „ Vrăjitorul terasei veșnic verzi ”, Homer Simpson scrie ecuația pe o tablă, care pare a fi un contraexemplu al ultimei teoreme a lui Fermat. Ecuația este greșită, dar pare a fi corectă dacă este introdusă într-un calculator cu 10 cifre semnificative . ${\ textstyle 3987 ^ {12} + 4365 ^ {12} = 4472 ^ {12}}$

În „ The Royale ”, un episod din 1989 al serialului TV Star Trek: The Next Generation din secolul 24 , Picard îi spune comandantului Riker despre încercările sale de a rezolva teorema, încă nerezolvată după 800 de ani. El concluzionează: "În aroganța noastră, simțim că suntem atât de avansați. Și totuși nu putem dezlega un nod simplu legat de un matematician francez cu fracțiune de normă care lucrează singur fără computer". (Înțelegerea lui Andrew Wiles care a dus la dovada sa revoluționară a avut loc la patru luni după încheierea seriei. Dovada lui Wiles a fost menționată în episodul Star Trek: Deep Space Nine sezonul trei Facets , unde Jadzia Dax îi spune lui Tobin Dax că dovada sa a teoremei a fost „ cea mai originală abordare a dovezii de la Wiles acum peste trei sute de ani ".)

Vezi si

• Suma puterilor lui Euler conjectură
• Dovada imposibilității
• Sume de puteri , o listă de presupuneri și teoreme conexe
• Perete – Soare – Soare prim

Note de subsol

Referințe

Bibliografie

Lecturi suplimentare

linkuri externe

• Mass-media legată de ultima teoremă a lui Fermat la Wikimedia Commons

• Daney, Charles (2003). „Matematica ultimei teoreme a lui Fermat” . Arhivat din original la 3 august 2004 . Accesat la 5 august 2004 .
• Elkies, Noam D. "Tables of Fermat" near-misses "- soluții aproximative de x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ " .
• Freeman, Larry (2005). „Ultimul blog teoretic al lui Fermat” . Blog care acoperă istoria ultimei teoreme a lui Fermat de la Fermat la Wiles.
• „Ultima teoremă a lui Fermat” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Ribet, Ken (1995). „Reprezentări Galois și forme modulare”. arXiv : math / 9503219 . Discută diverse materiale care sunt legate de dovada ultimei teoreme a lui Fermat: curbe eliptice, forme modulare, reprezentări Galois și deformările lor, construcția lui Frey și conjecturile lui Serre și Taniyama-Shimura.
• Shay, David (2003). „Ultima teoremă a lui Fermat” . Accesat la 14 ianuarie 2017 . Povestea, istoria și misterul.
• Weisstein, Eric W. „Ultima teoremă a lui Fermat” . MathWorld .
• O'Connor JJ, Robertson EF (1996). „Ultima teoremă a lui Fermat” . Arhivat din original la 4 august 2004 . Accesat la 5 august 2004 .
• „Dovada” . Titlul unei ediții a seriei de televiziune PBS NOVA, discută despre efortul lui Andrew Wiles de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat.
• „Film documentar despre ultima teoremă a lui Fermat (1996)” . Filmul lui Simon Singh și John Lynch spune povestea lui Andrew Wiles.