Matematică indiană - Indian mathematics

Matematica indiană a apărut în subcontinentul indian din 1200 î.Hr. până la sfârșitul secolului al XVIII-lea. În perioada clasică a matematicii indiene (400 d.Hr. până la 1200 d.Hr.), contribuții importante au fost aduse de cărturari precum Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II și Varāhamihira . Sistemul numeric zecimal utilizat astăzi a fost înregistrat pentru prima dată în matematica indiană. Matematicienii indieni au adus contribuții timpurii la studiul conceptului de zero ca număr, numere negative , aritmetică și algebră . În plus, trigonometria a fost avansată și mai mult în India și, în special, definițiile moderne ale sinusului și cosinusului au fost dezvoltate acolo. Aceste concepte matematice au fost transmise în Orientul Mijlociu, China și Europa și au condus la dezvoltări ulterioare care formează acum bazele multor domenii ale matematicii.

Lucrările matematice indiene antice și medievale, toate compuse în sanscrită , constau de obicei dintr-o secțiune de sutre în care un set de reguli sau probleme erau enunțate cu o mare economie în versuri pentru a ajuta memorarea de către un student. Aceasta a fost urmată de o a doua secțiune constând dintr-un comentariu de proză (uneori comentarii multiple de către diferiți cercetători) care a explicat problema mai detaliat și a oferit o justificare pentru soluție. În secțiunea de proză, forma (și, prin urmare, memorarea acesteia) nu a fost considerată atât de importantă ca ideile implicate. Toate lucrările matematice au fost transmise oral până la aproximativ 500 î.Hr .; după aceea, au fost transmise atât oral, cât și sub formă de manuscris. Cel mai vechi document matematic existent produs pe subcontinentul indian este manuscrisul Bakhshali din scoarță de mesteacăn , descoperit în 1881 în satul Bakhshali , lângă Peshawar ( Pakistanul modern ) și este probabil din secolul al VII-lea d.Hr.

Un reper ulterior în matematica indiană a fost dezvoltarea expansiunilor seriale pentru funcții trigonometrice (sinus, cosinus și tangent arc ) de către matematicienii școlii din Kerala în secolul al XV-lea d.Hr. Lucrarea lor remarcabilă, finalizată cu două secole înainte de invenția calculului în Europa, a furnizat ceea ce este considerat acum primul exemplu de serie de puteri (în afară de seria geometrică). Cu toate acestea, ei nu au formulat o teorie sistematică a diferențierii și integrării și nici nu există dovezi directe ale rezultatelor lor transmise în afara Kerala .

Preistorie

Săpăturile de la Harappa , Mohenjo-daro și alte situri ale civilizației Indus Valley au descoperit dovezi ale utilizării „matematicii practice”. Oamenii din civilizația Indus Valley au fabricat cărămizi ale căror dimensiuni erau proporționale cu 4: 2: 1, considerate favorabile pentru stabilitatea unei structuri de cărămidă. Au folosit un sistem standardizat de greutăți bazat pe rapoartele: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 și 500, cu unitatea greutate egală cu aproximativ 28 de grame (și aproximativ egală cu uncia engleză sau uncia greacă). Au produs greutăți în masă în forme geometrice regulate , care au inclus hexahedre , butoaie , conuri și cilindri , demonstrând astfel cunoștințe despre geometria de bază .

Locuitorii civilizației Indus au încercat, de asemenea, să standardizeze măsurarea lungimii la un grad ridicat de precizie. Au proiectat o riglă - rigla Mohenjo-daro - a cărei unitate de lungime (aproximativ 1,32 țoli sau 3,4 centimetri) era împărțită în zece părți egale. Cărămizile fabricate în Mohenjo-daro antic aveau adesea dimensiuni care erau multipli integrali ai acestei unități de lungime.

Se demonstrează că obiectele cilindrice goale din coajă și găsite la Lothal (2200 î.Hr.) și Dholavira au capacitatea de a măsura unghiurile într-un plan, precum și de a determina poziția stelelor pentru navigație.

Perioada vedică

Istoria științei și tehnologiei în subcontinentul indian
Invenții Știința în India Știința în Bangladesh Știința în Pakistan
După subiect
Matematică Astronomie Calendar Sisteme de măsurare Unități de măsură Cartografie Geografie Tipărire Metalurgie Monedă Alchimia indiană Medicină tradițională Agricultură Educaţie Arhitectură Poduri Transport Istoria maritimă Navigare Militar
v t e

Samhitas și Brahmanas

Textele religioase din perioada vedică oferă dovezi pentru utilizarea unui număr mare . Până la Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 î.Hr.), numere de până la 10 ¹² erau incluse în texte. De exemplu, mantra (recitarea sacră) de la sfârșitul annahoma („ritul de oblăciune alimentară”) efectuată în timpul aśvamedha și rostită chiar înainte, în timpul și chiar după răsăritul soarelui, invocă puteri de zece de la o sută la un trilion:

Bucură-te de śata („sută”, 10 ² ), grindină la sahasra („mii”, 10 ³ ), grindină la ayuta („zece mii”, 10 ⁴ ), grindină la niyuta („sută de mii“, 10 ⁵ ), grindină către prayuta („milion”, 10 ⁶ ), grindină către arbuda („zece milioane”, 10 ⁷ ), grindină către nyarbuda („sută de milioane”, 10 ⁸ ), grindină către samudra („miliard”, 10 ⁹ , literalmente „ocean”), grindină la madhya („zece miliarde”, 10 ¹⁰ , literalmente „mijloc”), grindină la anta („sută de miliarde”, 10 ¹¹ , lit., „sfârșit”), grindină la parārdha („un trilion , " 10 ¹² lit.," dincolo de părți "), grindină la uṣas (zori), grindină la vyuṣṭi (amurg), grindină la udeṣyat (cea care urmează să se ridice), grindină la udyat (cea care este răsărit), grindină udită (către cea care tocmai a înviat), grindină la svarga (cerul), grindină la martya (lumea), grindină la toți.

Soluția pentru fracția parțială a fost cunoscută de Oamenii Rigvedici ca state în purush Sukta (RV 10.90.4):

Cu trei sferturi, Puruṣa a crescut: o pătrime din el a fost din nou aici.

Satapatha Brahmana ( c. Al 7 - lea Î.Hr. lea) conține reguli pentru construcții geometrice rituale , care sunt similare cu Sutras Sulba.

Śulba Sūtras

Śulba sutre (literal, „Aforisme coardelor“ din sanskrita vedica ) (c. 700-400 î.Hr.) normele listă pentru construirea de altare ale focului de sacrificiu. Majoritatea problemelor matematice luate în considerare în Śulba Sūtras provin dintr-o singură cerință teologică, aceea de a construi altare de foc care au forme diferite, dar care ocupă aceeași zonă. Altarele trebuiau construite din cinci straturi de cărămidă arsă, cu condiția suplimentară ca fiecare strat să fie format din 200 de cărămizi și să nu existe două straturi adiacente aranjamente congruente de cărămizi.

Conform ( Hayashi 2005 , p. 363), Śulba Sūtras conține „cea mai veche expresie verbală existentă a teoremei pitagoreice din lume, deși fusese deja cunoscută vechilor babilonieni ”.

Coarda diagonală ( akṣṇayā-rajju ) a unui alungit (dreptunghi) produce atât pe flanc ( pārśvamāni ), cât și pe orizontală ( tiryaṇmānī ) <ropes> produce separat. "

Întrucât enunțul este un sūtra , este neapărat comprimat și ceea ce produc frânghiile nu este elaborat, dar contextul implică în mod clar suprafețele pătrate construite pe lungimile lor și ar fi fost explicat de către profesor elevului.

Acestea conțin liste de tripluri pitagorice , care sunt cazuri particulare de ecuații diofantine . De asemenea, conțin afirmații (care, cu retrospectiva, știm că sunt aproximative) despre pătratul cercului și „încercuirea pătratului”.

Baudhayana (sec. VIII î.Hr.) a compus Baudhayana Sulba Sutra , cea mai cunoscută Sutra Sulba , care conține exemple de tripluri pitagoreice simple, precum: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) și (12, 35, 37) , precum și o afirmație a teoremei pitagoreice pentru laturile unui pătrat: „Coarda care este întinsă pe diagonala unui pătratul produce o suprafață dublă dimensiunii pătratului original. " De asemenea, conține afirmația generală a teoremei lui Pitagora (pentru laturile unui dreptunghi): „Coarda întinsă pe lungimea diagonalei unui dreptunghi face o zonă pe care laturile verticale și orizontale o formează împreună”. Baudhayana oferă o expresie pentru rădăcina pătrată a două :

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = 1.4142156 \ ldots}$

Expresia este de până la cinci exacte zecimale, valoarea reală 1.41421356 ... Această expresie este o structură similară cu expresia găsită pe o tabletă mesopotamian din perioada veche babilonian (1900-1600 î.Hr. ):

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ { 3}}} = 1.41421297 \ ldots}$

care exprimă √ 2 în sistemul sexagesimal și care este, de asemenea, precisă până la 5 zecimale.

Potrivit matematicianului SG Dani, tableta cuneiformă babiloniană Plimpton 322 scrisă c. 1850 î.Hr. „conține cincisprezece tripluri pitagorice cu intrări destul de mari, inclusiv (13500, 12709, 18541) care este un triplu primitiv, indicând, în special, că a existat o înțelegere sofisticată asupra subiectului” în Mesopotamia în 1850 î.Hr. "Întrucât aceste tablete sunt anterioare perioadei Sulbasutras cu câteva secole, ținând seama de aspectul contextual al unora dintre tripluri, este rezonabil să ne așteptăm că în India ar fi existat o înțelegere similară". Dani continuă să spună:

Întrucât obiectivul principal al Sulvasutrelor a fost de a descrie construcțiile de altare și principiile geometrice implicate în ele, subiectul triplurilor pitagoreice, chiar dacă ar fi fost bine înțeles, nu ar fi putut încă să apară în Sulvasutre . Apariția triplelor în Sulvasutras este comparabilă cu matematica pe care o putem întâlni într-o carte introductivă despre arhitectură sau într-o altă zonă similară aplicată și nu ar corespunde direct cunoștințelor generale pe această temă în acel moment. Din moment ce, din păcate, nu s-au găsit alte surse contemporane, s-ar putea să nu fie niciodată posibilă soluționarea satisfăcătoare a acestei probleme.

În total, au fost compuse trei Sulba Sutre . Cele două rămase, Manava Sulba Sutra compusă de Manava (fl. 750–650 î.e.n.) și Apastamba Sulba Sutra , compusă de Apastamba (c. 600 î.Hr.), conțineau rezultate similare Sutrei Baudhayana Sulba .

Vyakarana

Un reper important al perioadei vedice a fost opera gramaticului sanscrit , Pāṇini (c. 520-460 î.e.n.). Gramatica sa include utilizarea timpurie a logicii booleene , a operatorului nul și a gramaticilor fără context și include un precursor al formei Backus-Naur (utilizat în limbajele de programare a descrierii ).

Pingala (300 î.Hr. - 200 î.Hr.)

Dintre cărturarii din perioada post-vedică care au contribuit la matematică, cel mai notabil este Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300-200 î.e.n. ), un teoretician al muzicii care a scris Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , de asemenea Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), un tratat sanscrit despre prozodie . Există dovezi că, în lucrarea sa privind enumerarea combinațiilor silabice, Pingala a dat peste atât triunghiul lui Pascal, cât și coeficienții binomiali , deși nu avea cunoștințe despre teorema binomului în sine. Opera lui Pingala conține, de asemenea, ideile de bază ale numerelor Fibonacci (numite maatraameru ). Deși sutra Chandah nu a supraviețuit în întregime, un comentariu din secolul al X-lea al lui Halāyudha a păstrat-o. Halāyudha, care se referă la triunghiul Pascal drept Meru -prastāra (literalmente „scara spre Muntele Meru”), are următoarele cuvinte:

Desenați un pătrat. Începând de la jumătatea pătratului, desenați alte două pătrate similare sub el; sub aceste două, alte trei pătrate și așa mai departe. Marcarea ar trebui să înceapă punând 1 în primul pătrat. Puneți 1 în fiecare dintre cele două pătrate ale celei de-a doua linii. În a treia linie puneți 1 în cele două pătrate de la capete și, în pătratul din mijloc, suma cifrelor din cele două pătrate situate deasupra acestuia. În linia a patra puneți 1 în cele două pătrate de la capete. În mijloc puneți cifra în cele două pătrate de deasupra fiecăruia. Procedați în acest fel. Dintre aceste linii, a doua oferă combinațiile cu o silabă, a treia combinațiile cu două silabe, ...

Textul indică, de asemenea, că Pingala era conștient de identitatea combinatorie :

${\ displaystyle {n \ choose 0} + {n \ choose 1} + {n \ choose 2} + \ cdots + {n \ choose n-1} + {n \ choose n} = 2 ^ {n}}$

Kātyāyana

Kātyāyana (c. Secolul III î.Hr.) se remarcă prin faptul că este ultimul dintre matematicienii vedici. El a scris Katyayana Sulba Sutra , care a prezentat multă geometrie , inclusiv teorema generală a lui Pitagora și un calcul al rădăcinii pătrate de 2 corecte până la cinci zecimale.

Matematică Jain (400 î.Hr. - 200 CE)

Deși jainismul este o religie și filozofia precedă cel mai faimos exponent al său, marele Mahaviraswami (secolul al VI-lea î.e.n.), majoritatea textelor jainiste pe teme matematice au fost compuse după secolul al VI-lea î.Hr. Matematicienii Jain sunt importanți din punct de vedere istoric ca legături cruciale între matematica perioadei vedice și cea a „perioadei clasice”.

O contribuție istorică semnificativă a matematicienilor Jain constă în eliberarea matematicii indiene de constrângerile sale religioase și ritualice. În special, fascinația lor pentru enumerarea numerelor și a infinitelor foarte mari i-a determinat să clasifice numerele în trei clase: enumerabile, nenumărate și infinite . Nu mulțumiți de o simplă noțiune de infinit, textele lor definesc cinci tipuri diferite de infinit: infinitul într-o singură direcție, infinitul în două direcții, infinitul în zonă, infinitul peste tot și infinitul perpetuu. În plus, matematicienii Jain au conceput notații pentru puteri simple (și exponenți) de numere precum pătrate și cuburi, care le-au permis să definească ecuații algebrice simple ( beejganita samikaran ). Aparent, matematicienii Jain au fost, de asemenea, primii care au folosit cuvântul shunya (literalmente nul în sanscrită ) pentru a se referi la zero. Mai mult de un mileniu mai târziu, denumirea lor a devenit cuvântul englezesc „zero” după o călătorie sinuoasă de traduceri și transliterări din India în Europa. (Vezi Zero: Etimologie .)

În plus față de Surya Prajnapti , importante lucrări Jain despre matematică au inclus Sutra Sthananga (c. 300 î.e.n. - 200 CE); Anuyogadwara Sutra (c 200 BCE - 100 CE.); și Satkhandagama (c. secolul al II-lea d.Hr.). Importanți matematicieni Jain au inclus Bhadrabahu (d. 298 î.e.n.), autorul a două lucrări astronomice, Bhadrabahavi-Samhita și un comentariu la Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 î.e.n.), care a scris un text matematic numit Tiloyapannati ; și Umasvati (c. 150 î.e.n. ), care, deși mai cunoscut pentru scrierile sale influente despre filosofia și metafizica Jain , a compus o lucrare matematică numită Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradiție orală

Matematicieni de vechi și medievală timpurie India erau aproape toate sanscrite pandiți ( Pandita „om învățat“), care au fost instruiți în limba și literatura sanscrită, și posedat „un stoc comun de cunoștințe în gramatica ( vyākaraṇa ), exegeză ( mīmāṃsā ) și logice ( nyāya ). " Memorarea „ceea ce se aude” ( śruti în sanscrită) prin recitare a jucat un rol major în transmiterea textelor sacre în India antică. Memorizarea și recitarea au fost folosite și pentru a transmite lucrări filosofice și literare, precum și tratate de ritual și gramatică. Savanții moderni din India antică au remarcat „realizările cu adevărat remarcabile ale panditilor indieni care au păstrat texte enorm de voluminoase pe cale orală timp de milenii”.

Stiluri de memorare

Energia prodigioasă a fost cheltuită de cultura indiană veche pentru a se asigura că aceste texte au fost transmise din generație în generație cu o fidelitate excesivă. De exemplu, memorarea Vedelor sacre a inclus până la unsprezece forme de recitare a aceluiași text. Textele au fost ulterior „corectate” prin compararea diferitelor versiuni recitate. Formele recitării includeau jaṭā-pāṭha (literalmente „recitare mesh”) în care fiecare două cuvinte adiacente din text erau recitate mai întâi în ordinea lor originală, apoi repetate în ordine inversă și, în cele din urmă, repetate în ordinea originală. Recitarea a decurs astfel:

Într-o altă formă de recitare, dhvaja-pāṭha (literalmente „recitare steag”) o secvență de N cuvinte au fost recitate (și memorate) prin asocierea primelor două și ultimelor două cuvinte și apoi procedând astfel:

Cea mai complexă formă de recitare, ghana-pāṭha (literalmente „recitare densă”), conform ( Filliozat 2004 , p. 139), a luat forma:

Faptul că aceste metode au fost eficiente, se dovedește prin păstrarea celui mai vechi text religios indian, Ṛgveda (c. 1500 î.Hr.), ca un singur text, fără nici o lectură variantă. Metode similare au fost folosite pentru memorarea textelor matematice, a căror transmisie a rămas exclusiv orală până la sfârșitul perioadei vedice (c. 500 î.e.n.).

Sutra gen

Activitatea matematică din India antică a început ca o parte a unei „reflexii metodologice” asupra Vedelor sacre , care a luat forma unor lucrări numite Vedāṇgas , sau, „ Accesorii Veda” (secolele VII – IV î.Hr.). Nevoia de a conserva sunetul textului sacru prin utilizarea śikṣā ( fonetică ) și chhandas ( metrică ); să-și păstreze semnificația prin utilizarea vyākaraṇa ( gramatică ) și nirukta ( etimologie ); și pentru a efectua corect riturile la momentul corect prin utilizarea kalpa ( ritual ) și jyotiṣa ( astrologie ), a dat naștere celor șase discipline ale Vedāṇgas . Matematica a apărut ca parte a ultimelor două discipline, ritualul și astronomia (care includea și astrologia). Întrucât Vedāṇga a precedat imediat utilizarea scrisului în India antică, ei au format ultimul din literatura exclusiv orală. Ele au fost exprimate într-o formă mnemonică foarte comprimată, sūtra (literalmente, „fir”):

Cunoscătorii sutrei îl știu ca având puține foneme, fiind lipsiți de ambiguitate, conținând esența, înfruntând totul, fiind fără pauză și imposibil de respins.

Concizia extremă a fost realizată prin mai multe mijloace, care includeau utilizarea elipselor „dincolo de toleranța limbajului natural”, folosirea denumirilor tehnice în locul denumirilor descriptive mai lungi, reducerea listelor menționând doar prima și ultima intrare și folosind markeri și variabile. De sutre creează impresia că comunicarea prin text a fost „doar o parte a întregii instrucțiuni. Restul instrucțiunii trebuie să fi fost transmise de către așa-numitul Parampara Guru-shishya ,„succesiune neîntreruptă de la profesor ( guru ) studentului ( śisya ), „și nu era deschis publicului larg” și poate chiar păstrat secret. Concizia realizată într-un sūtra este demonstrată în următorul exemplu din Baudhāyana Śulba Sūtra (700 î.Hr.).

Altarul de foc intern din perioada vedică era cerut de ritual să aibă o bază pătrată și să fie constituit din cinci straturi de cărămizi cu câte 21 de cărămizi în fiecare strat. O metodă de construire a altarului a fost împărțirea unei părți a pătratului în trei părți egale folosind un cablu sau o frânghie, apoi împărțirea laturii transversale (sau perpendiculare) în șapte părți egale și, prin urmare, împărțirea pătratului în 21 dreptunghiuri congruente . Cărămizile au fost apoi proiectate pentru a avea forma dreptunghiului constitutiv și a fost creat stratul. Pentru a forma următorul strat, s-a folosit aceeași formulă, dar cărămizile au fost aranjate transversal. Procesul a fost apoi repetat de încă trei ori (cu direcții alternative) pentru a finaliza construcția. În Baudhāyana Śulba Sūtra , această procedură este descrisă în următoarele cuvinte:

II.64. După împărțirea cvadri-laterală în șapte, una împarte [cordonul] transversal în trei.
II.65. Într-un alt strat se plasează [cărămizile] îndreptate spre nord.

Conform ( Filliozat 2004 , p. 144), ofițerul care construiește altarul are la dispoziție doar câteva instrumente și materiale: un șnur (sanscrită, rajju , f.), Două știfturi (sanscrită, śanku , m.) Și lut pentru a face cărămizi (sanscrită, iṣṭakā , f.). Concizia se realizează în sūtra , prin faptul că nu se menționează explicit ceea ce califică adjectivul „transversal”; totuși, din forma feminină a adjectivului (sanscrit) folosit, se deduce cu ușurință calificarea „cordon”. În mod similar, în a doua strofă, „cărămizile” nu sunt menționate în mod explicit, ci sunt deduse din nou de forma feminină la plural a „îndreptării spre nord”. În sfârșit, prima strofă nu spune niciodată în mod explicit că primul strat de cărămizi este orientat în direcția est-vest, dar și asta este implicat de mențiunea explicită a „îndreptării spre nord” în a doua strofă; căci, dacă orientarea ar fi menită să fie aceeași în cele două straturi, fie nu ar fi menționată deloc, fie ar fi menționată doar în prima strofă. Toate aceste inferențe sunt făcute de ofițer în timp ce își amintește formula din memoria sa.

Tradiția scrisă: comentariu de proză

Odată cu creșterea complexității matematicii și a altor științe exacte, au fost necesare atât scrierea, cât și calculul. În consecință, multe lucrări matematice au început să fie scrise în manuscrise care au fost apoi copiate și copiate din generație în generație.

Astăzi se estimează că India are aproximativ treizeci de milioane de manuscrise, cel mai mare corp de materiale de lectură scrise de mână din lume. Cultura alfabetizată a științei indiene se întoarce cel puțin în secolul al V-lea î.Hr. ... așa cum arată elementele literaturii și astronomiei mesopotamiene care au intrat în India în acel moment și (nu) au fost cu siguranță ... păstrate oral.

Primul comentariu de proză matematică a fost acela despre lucrare, Āryabhaṭīya (scris în 499 CE), o lucrare despre astronomie și matematică. Porțiunea matematică a Āryabhaṭīya era compusă din 33 de sūtra (în formă de versuri) constând din enunțuri sau reguli matematice, dar fără nicio dovadă. Cu toate acestea, conform ( Hayashi 2003 , p. 123), "acest lucru nu înseamnă neapărat că autorii lor nu i-au dovedit. Probabil a fost o chestiune de stil de expunere". De pe vremea lui Bhaskara I (600 d.Hr.), comentariile de proză au început să includă din ce în ce mai multe derivări ( upapatti ). Comentariul lui Bhaskara I asupra Āryabhaṭīya a avut următoarea structură:

• Regula („sūtra”) în versuri de Āryabhaṭa
• Comentariu de Bhāskara I, format din:
  • Elucidarea regulii (derivările erau încă rare atunci, dar au devenit mai frecvente mai târziu)
  • Exemplu ( uddeśaka ) de obicei în versuri.
  • Setarea ( nyāsa / sthāpanā ) a datelor numerice.
  • Funcționarea ( karana ) a soluției.
  • Verificarea ( pratyayakaraṇa , literal „a convinge”) a răspunsului. Acestea au devenit rare până în secolul al XIII-lea, derivările sau dovezile fiind favorizate până atunci.

De obicei, pentru orice subiect matematic, studenții din India antică au memorat mai întâi sūtra-urile , care, așa cum s-a explicat mai devreme, erau „deliberat inadecvate” în detalii explicative (pentru a transmite cu blândețe regulile matematice cu osul gol). Elevii au lucrat apoi subiectele comentariilor de proză scriind (și desenând diagrame) pe plăci de cretă și praf ( adică plăci acoperite cu praf). Această din urmă activitate, un element esențial al muncii matematice, a fost de a determina mai târziu matematicianul-astronom, Brahmagupta ( sec. Al VII-lea d.Hr.), să caracterizeze calculele astronomice drept „prelucrarea prafului” (sanscrită: dhulikarman ).

Cifre și sistemul numeric zecimal

Este binecunoscut faptul că sistemul zecimal-valoare-valoare utilizat astăzi a fost înregistrat mai întâi în India, apoi transmis lumii islamice și, în cele din urmă, Europei. Episcopul sirian Severus Sebokht a scris la mijlocul secolului al VII-lea d.Hr. despre „nouă semne” ale indienilor pentru exprimarea numerelor. Cu toate acestea, cum, când și unde a fost inventat primul sistem de valori zecimale nu este atât de clar.

Cel mai vechi script existent folosit în India a fost scriptul Kharoṣṭhī folosit în cultura Gandhara din nord-vest. Se crede că este de origine aramaică și a fost utilizat din secolul al IV-lea î.e.n. Aproape contemporan, un alt script, scriptul Brāhmī , a apărut pe o mare parte din subcontinent și va deveni ulterior fundamentul multor scripturi din Asia de Sud și Asia de Sud-Est. Ambele scripturi aveau simboluri numerice și sisteme de numere, care inițial nu erau bazate pe un sistem de valori-loc.

Cele mai vechi dovezi care au supraviețuit cu privire la cifrele zecimale în India și Asia de Sud-Est sunt de la mijlocul primului mileniu CE. O placă de cupru din Gujarat, India menționează data din 595 CE, scrisă cu nota zecimală, deși există unele îndoieli cu privire la autenticitatea plăcii. Cifrele zecimale care înregistrează anii 683 CE au fost de asemenea găsite în inscripțiile de piatră din Indonezia și Cambodgia, unde influența culturală indiană a fost substanțială.

Există surse textuale mai vechi, deși copiile manuscrise existente ale acestor texte provin din date mult mai târzii. Probabil că cea mai timpurie astfel de sursă este lucrarea filosofului budist Vasumitra datată probabil din secolul I e.n. Discutând despre gropile de numărare ale negustorilor, Vasumitra remarcă: „Când [aceeași] piesă de numărare a lutului este în locul unităților, este notată ca una, când în sute, o sută”. Deși astfel de referințe par să implice că cititorii săi aveau cunoștințe despre o reprezentare a valorii zecimale, „concizia aluziilor lor și ambiguitatea datelor lor, totuși, nu stabilesc în mod solid cronologia dezvoltării acestui concept”.

O a treia reprezentare zecimală a fost folosită într-o tehnică de compoziție a versurilor, denumită ulterior Bhuta-sankhya (literalmente, „numere de obiecte”) folosită de autorii sanscriti timpurii ai cărților tehnice. Deoarece multe lucrări tehnice timpurii erau compuse în versuri, numerele erau adesea reprezentate de obiecte din lumea naturală sau religioasă care le corespund; acest lucru a permis o corespondență multi-la-unu pentru fiecare număr și a ușurat compoziția versurilor. Conform ( Plofker 2009 ), numărul 4, de exemplu, ar putea fi reprezentat de cuvântul „ Veda ” (deoarece există patru dintre aceste texte religioase), numărul 32 de cuvântul „dinți” (deoarece un set complet constă din 32), și numărul 1 de „lună” (deoarece există o singură lună). Deci, Veda / dinții / luna ar corespunde cifrei zecimale 1324, deoarece convenția pentru numere a fost să se enumere cifrele lor de la dreapta la stânga. Cea mai veche referință care folosește numere de obiecte este un c. 269 ​​CE text sanscrit, Yavanajātaka (literal „horoscopie greacă”) a Sphujidhvaja, o versificare a unei adaptări în proză indiană anterioară (c. 150 CE) a unei opere pierdute de astrologie elenistică. O astfel de utilizare pare să arate că până la mijlocul secolului al III-lea d.Hr., sistemul valorilor zecimale era familiar, cel puțin pentru cititorii de texte astronomice și astrologice din India.

S-a emis ipoteza că sistemul de valori zecimale indiene se bazează pe simbolurile utilizate pe tablourile de numărare chineze încă de la mijlocul primului mileniu î.Hr. Conform ( Plofker 2009 ),

Aceste tablouri de numărare, cum ar fi gropile de numărare indiene, ..., aveau o structură a valorii zecimale ... Este posibil ca indienii să fi aflat despre aceste cifre zecimale „numere de tijă” de la pelerinii budiști chinezi sau de la alți călători, sau s-ar putea să fi dezvoltat conceptul independent de sistemul lor anterior non-loc-valoare; nu există nicio dovadă documentară care să confirme niciuna dintre concluzii. "

Manuscrisul Bakhshali

Cel mai vechi manuscris matematic existent din India este Manuscrisul Bakhshali , un manuscris din scoarță de mesteacăn scris în „Sanscrita hibridă budistă” în scriptul Śāradā , care a fost folosit în regiunea de nord-vest a subcontinentului indian între secolele VIII și XII d.Hr. Manuscrisul a fost descoperit în 1881 de un fermier în timp ce săpa într-o incintă de piatră din satul Bakhshali, lângă Peshawar (pe atunci în India britanică și acum în Pakistan ). De autor necunoscut și păstrat acum în Biblioteca Bodleian din Universitatea Oxford , manuscrisul a fost datat diferit - uneori încă din „primele secole ale erei creștine”. Secolul al VII-lea d.Hr. este acum considerat o dată plauzibilă.

Manuscrisul care a supraviețuit are șaptezeci de frunze, dintre care unele sunt fragmentate. Conținutul său matematic constă din reguli și exemple, scrise în versuri, împreună cu comentarii de proză, care includ soluții la exemple. Subiectele tratate includ aritmetica (fracții, rădăcini pătrate, profit și pierdere, interes simplu, regula celor trei și regula falsi ) și algebră (ecuații liniare simultane și ecuații pătratice ) și progresii aritmetice. În plus, există o mână de probleme geometrice (inclusiv probleme legate de volume de solide neregulate). De asemenea, manuscrisul Bakhshali „folosește un sistem de valori zecimale cu un punct pentru zero”. Multe dintre problemele sale aparțin unei categorii cunoscute sub numele de „probleme de egalizare” care duc la sisteme de ecuații liniare. Un exemplu din Fragmentul III-5-3v este următorul:

Un negustor are șapte cai asava , al doilea are nouă cai haya , iar un al treilea are zece cămile. Ele sunt la fel de bine în ceea ce privește valoarea animalelor lor, dacă fiecare dă două animale, unul pentru fiecare dintre celelalte. Găsiți prețul fiecărui animal și valoarea totală pentru animalele deținute de fiecare comerciant.

Comentariul de proză care însoțește exemplul rezolvă problema transformându-l în trei ecuații (nedeterminate) în patru necunoscute și presupunând că prețurile sunt toate întregi.

În 2017, trei probe din manuscris au fost prezentate prin datarea cu radiocarbon provenind din trei secole diferite: din 224-383 d.Hr., 680-779 d.Hr. și 885-993 d.Hr. Nu se știe cum fragmente din secole diferite au ajuns să fie ambalate împreună.

Perioada clasică (400-1600)

Această perioadă este adesea cunoscută sub numele de epoca de aur a matematicii indiene. În această perioadă, matematicienii precum Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava din Sangamagrama și Nilakantha Somayaji dau o formă mai largă și mai clară multor ramuri ale matematicii. Contribuțiile lor s-ar răspândi în Asia, Orientul Mijlociu și, în cele din urmă, în Europa. Spre deosebire de matematica vedică, lucrările lor au inclus atât contribuții astronomice, cât și contribuții matematice. De fapt, matematica din acea perioadă a fost inclusă în „știința astrală” ( jyotiḥśāstra ) și consta din trei subdisciplinele: științele matematice ( gaṇita sau tantra ), astrologia horoscopului ( horā sau jātaka ) și divinația (saṃhitā). Această diviziune tripartită este văzută în compilația Varāhamihira din secolul al VI-lea - Pancasiddhantika (literalmente panca , "cinci", siddhānta , "concluzia deliberării", datată 575 CE ) - a cinci lucrări anterioare, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta și Paitamaha Siddhanta , care au fost adaptări ale lucrărilor încă anterioare ale astronomiei mesopotamiene, grecești, egiptene, romane și indiene. După cum s-a explicat mai devreme, textele principale au fost compuse în versuri sanscrită și au fost urmate de comentarii de proză.

Secolele V și VI

Surya Siddhanta

Deși autorul său este necunoscut, Surya Siddhanta (c. 400) conține rădăcinile trigonometriei moderne . Deoarece conține multe cuvinte de origine străină, unii autori consideră că a fost scris sub influența Mesopotamiei și a Greciei.

Acest text antic folosește următoarele pentru funcții trigonometrice pentru prima dată:

• Sine ( Jya ).
• Cosinus ( Kojya ).
• Sinus invers ( Otkram jya ).

De asemenea, conține cele mai vechi utilizări ale:

• Tangent .
• Secant .

Mai târziu, matematicienii indieni, precum Aryabhata, au făcut trimiteri la acest text, în timp ce traducerile în arabă și latină au avut o influență foarte mare în Europa și Orientul Mijlociu.

Calendarul Chhedi

Acest calendar Chhedi (594) conține o utilizare timpurie a sistemului modern de cifră hindus-arabă cu valoare locală, utilizat acum în mod universal.

Aryabhata I

Aryabhata (476-550) a scris Aryabhatiya. El a descris principiile fundamentale importante ale matematicii în 332 de shloka . Tratatul conținea:

• Ecuații pătratice
• Trigonometrie
• Valoarea lui π , corectă cu 4 zecimale.

Aryabhata a scris și Arya Siddhanta , care este acum pierdută. Contribuțiile Aryabhata includ:

Trigonometrie:

(Vezi și: tabelul sinusoidal al Aryabhata )

• Introducerea funcțiilor trigonometrice .
• S-a definit sinusul ( jya ) ca relația modernă dintre jumătate de unghi și jumătate de coardă.
• Definit cosinusul ( kojya ).
• A definit versinul ( utkrama-jya ).
• S-a definit sinusul invers ( otkram jya ).
• A dat metode de calcul al valorilor lor numerice aproximative.
• Conține primele tabele ale valorilor sinusoidale, cosinusului și versinului, la intervale de 3,75 ° de la 0 ° la 90 °, până la 4 zecimale de precizie.
• Conține formula trigonometrică sin ( n + 1) x - sin nx = sin nx - sin ( n - 1) x - (1/225) sin nx .
• Trigonometrie sferică .

Aritmetic:

• Fracții continuate .

Algebră:

• Soluții de ecuații pătratice simultane.
• Soluții de număr întreg de ecuații liniare printr-o metodă echivalentă cu metoda modernă.
• Soluția generală a ecuației liniare nedeterminate.

Astronomia matematică:

• Calcule precise pentru constante astronomice, cum ar fi:
  • Eclipsa de soare .
  • Eclipsa de Lună .
  • Formula pentru suma cuburilor , care a fost un pas important în dezvoltarea calculului integral.

Varahamihira

Varahamihira (505–587) a produs Pancha Siddhanta ( Cele cinci canoane astronomice ). El a adus contribuții importante la trigonometrie, inclusiv tabele sinus și cosinus la 4 zecimale de precizie și următoarele formule care se referă la funcțiile sinus și cosinus :

• ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}$
• ${\ displaystyle \ sin (x) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - x \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} = \ sin ^ {2} (x)}$

Secolele VII și VIII

În secolul al VII-lea, în matematica indiană au început să apară două câmpuri separate, aritmetica (care a inclus măsurarea ) și algebra . Cele două câmpuri vor fi numite mai târziu pāṭī-gaṇita (literalmente "matematica algoritmilor") și bīja-gaṇita (lit. "matematica semințelor", cu "semințe" - ca semințele plantelor - reprezentând necunoscute cu potențialul de a genera, în acest caz, soluțiile de ecuații). Brahmagupta , în lucrarea sa astronomică Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 CE), a inclus două capitole (12 și 18) dedicate acestor domenii. Capitolul 12, conținând 66 de versuri sanscrite, a fost împărțit în două secțiuni: „operațiuni de bază” (inclusiv rădăcini cubice, fracții, raport și proporție și barter) și „matematică practică” (inclusiv amestec, serii matematice, figuri plane, cărămizi stivuitoare, tăierea lemnului și grămada de cereale). În ultima secțiune, el a afirmat celebra sa teoremă pe diagonalele unui patrulater ciclic :

Teorema lui Brahmagupta: Dacă un patrulater ciclic are diagonale care sunt perpendiculare una pe cealaltă, atunci linia perpendiculară trasată din punctul de intersecție a diagonalelor către orice latură a patrulaterului împarte întotdeauna partea opusă.

Capitolul 12 a inclus, de asemenea, o formulă pentru aria unui patrulater ciclic (o generalizare a formulei lui Heron ), precum și o descriere completă a triunghiurilor raționale ( adică triunghiuri cu laturi raționale și zone raționale).

Formula lui Brahmagupta: aria, A , a unui patrulater ciclic cu laturile lungimilor a , b , c , d , respectiv, este dată de

${\ displaystyle A = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} \,}$

unde s , semiperimetrul , dat de${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Teorema lui Brahmagupta asupra triunghiurilor raționale: Un triunghi cu laturi raționale și zonă rațională are forma: ${\ displaystyle a, b, c}$

${\ displaystyle a = {\ frac {u ^ {2}} {v}} + v, \ \ b = {\ frac {u ^ {2}} {w}} + w, \ \ c = {\ frac {u ^ {2}} {v}} + {\ frac {u ^ {2}} {w}} - (v + w)}$

pentru unele numere raționale și . ${\ displaystyle u, v,}$${\ displaystyle w}$

Capitolul 18 conținea 103 versete sanscrite care au început cu reguli pentru operații aritmetice care implică numere zero și negative și este considerat primul tratament sistematic al subiectului. Regulile (care a inclus și ) au fost toate corecte, cu o singură excepție: . Mai târziu în capitol, el a dat prima soluție explicită (deși încă nu este complet generală) a ecuației pătratice : ${\ displaystyle a + 0 = \ a}$${\ displaystyle a \ times 0 = 0}$${\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = 0}$

${\ displaystyle \ ax ^ {2} + bx = c}$

La numărul absolut înmulțit de patru ori [coeficientul pătratului], adăugați pătratul [coeficientului] termenului mediu; rădăcina pătrată a aceluiași, mai puțin [coeficientul] termenului mediu, fiind împărțit la două ori [coeficientul] pătratului este valoarea.

Acest lucru este echivalent cu:

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}$

De asemenea, în capitolul 18, Brahmagupta a reușit să facă progrese în găsirea soluțiilor (integrale) ale ecuației lui Pell ,

${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1,}$

unde este un număr întreg care nu este pătrat. El a făcut acest lucru descoperind următoarea identitate: ${\ displaystyle N}$

Identitatea lui Brahmagupta: care a fost o generalizare a unei identități anterioare a lui Diophantus : Brahmagupta și-a folosit identitatea pentru a dovedi următoarea lemă: ${\ displaystyle \ (x ^ {2} -Ny ^ {2}) (x '^ {2} -Ny' ^ {2}) = (xx '+ Nyy') ^ {2} -N (xy '+ x'y) ^ {2}}$

Lemă (Brahmagupta): Dacă este o soluție a și, este o soluție a , atunci: ${\ displaystyle x = x_ {1}, \ \ y = y_ {1} \ \}$${\ displaystyle \ \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1},}$${\ displaystyle x = x_ {2}, \ \ y = y_ {2} \ \}$${\ displaystyle \ \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {2},}$

${\ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2}, \ \ y = x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ \}$ este o soluție de ${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1} k_ {2}}$

Apoi a folosit această lemă pentru a genera atât infinit de multe soluții (integrale) ale ecuației lui Pell, având o singură soluție, cât și pentru a enunța următoarea teoremă:

Teorema (Brahmagupta): Dacă ecuația are o soluție întreagă pentru oricare dintre ecuațiile lui Pell: ${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$${\ displaystyle \ k = \ pm 4, \ pm 2, -1}$

${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$

are și o soluție întreagă.

Brahmagupta nu a demonstrat teorema, ci a elaborat exemple folosind metoda sa. Primul exemplu pe care l-a prezentat a fost:

Exemplu (Brahmagupta): Găsiți numere întregi astfel încât: ${\ displaystyle \ x, \ y \}$

${\ displaystyle \ x ^ {2} -92y ^ {2} = 1}$

În comentariul său, Brahmagupta a adăugat, „o persoană care rezolvă această problemă în decurs de un an este matematician”. Soluția pe care a oferit-o a fost:

${\ displaystyle \ x = 1151, \ y = 120}$

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) a extins opera lui Aryabhata în cărțile sale intitulate Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya și Laghu-bhaskariya . El a produs:

• Soluții de ecuații nedeterminate.
• O aproximare rațională a funcției sinusoidale .
• O formulă pentru calcularea sinusului unui unghi acut fără utilizarea unui tabel, corectă cu două zecimale.

Secolele IX-XII

Virasena

Virasena (secolul al 8 - lea) a fost un matematician Jain în curtea Rashtrakuta regelui Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. El a scris Dhavala , un comentariu la matematica Jain, care:

• Se referă la conceptul de ardhaccheda , de câte ori un număr ar putea fi înjumătățit și enumeră diferite reguli care implică această operațiune. Acest lucru coincide cu logaritmul binar atunci când este aplicat puterilor a două , dar diferă de alte numere, asemănându-se mai mult cu ordinea 2-adică .
• Același concept pentru baza 3 ( trakacheda ) și baza 4 ( caturthacheda ).

Virasena a mai dat:

• Derivarea volumului unui frustum printr-un fel de procedură infinită.

Se crede că o mare parte din materialul matematic din Dhavala poate fi atribuit scriitorilor anteriori, în special Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra și Bappadeva și datează, care au scris între 200 și 600 e.n.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) din Karnataka , ultimul dintre notabilii matematicieni Jain, a trăit în secolul al IX-lea și a fost patronat de regele Rashtrakuta Amoghavarsha. El a scris o carte intitulată Ganit Saar Sangraha despre matematică numerică și, de asemenea, a scris tratate despre o gamă largă de subiecte matematice. Acestea includ matematica:

• Zero
• Pătrate
• Cuburi
• rădăcini pătrate , rădăcini cubice și seria care se extinde dincolo de acestea
• Geometria plană
• Geometrie solidă
• Probleme legate de aruncarea umbrelor
• Formule derivate pentru a calcula aria unei elipse și a patrulaterului din interiorul unui cerc .

Mahavira, de asemenea:

• S-a afirmat că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu exista
• A dat suma unei serii ai cărei termeni sunt pătrate ale unei progresii aritmetice și a dat reguli empirice pentru aria și perimetrul unei elipse.
• Ecuații cubice rezolvate.
• Ecuații quartice rezolvate.
• S-au rezolvat câteva ecuații chintice și polinoame de ordin superior .
• A dat soluțiile generale ale ecuațiilor polinomiale de ordin superior:
  • ${\ displaystyle \ ax ^ {n} = q}$
  • ${\ displaystyle a {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = p}$
• Ecuații pătratice nedeterminate rezolvate.
• Ecuații cubice nedeterminate rezolvate.
• S-au rezolvat ecuații nedeterminate de ordin superior.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), care locuia în Bengal , a scris cărțile intitulate Nav Shatika , Tri Shatika și Pati Ganita . A dat:

• O regulă bună pentru găsirea volumului unei sfere .
• Formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice .

Pati Ganita este o lucrare pe aritmetică și de măsurare . Se ocupă de diverse operațiuni, inclusiv:

• Operații elementare
• Extragerea rădăcinilor pătrate și cubului.
• Fracții.
• Opt reguli date pentru operațiuni care implică zero.
• Metode de însumare a diferitelor serii aritmetice și geometrice, care urmau să devină referințe standard în lucrările ulterioare.

Manjula

Ecuațiile diferențiale ale lui Aryabhata au fost elaborate în secolul al X-lea de Manjula (tot Munjala ), care a realizat că expresia

${\ displaystyle \ \ sin w '- \ sin w}$

ar putea fi exprimat aproximativ ca

${\ displaystyle \ (w'-w) \ cos w}$

El a înțeles conceptul de diferențiere după ce a rezolvat ecuația diferențială care a rezultat din înlocuirea acestei expresii în ecuația diferențială a lui Aryabhata.

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920–1000) a scris un comentariu la Shridhara și un tratat astronomic Maha-Siddhanta . Maha-Siddhanta are 18 capitole și discută:

• Matematică numerică ( Ank Ganit ).
• Algebră.
• Soluții de ecuații nedeterminate ( kuttaka ).

Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) a scris cărțile Siddhanta Shekhara , o lucrare majoră despre astronomie în 19 capitole, și Ganit Tilaka , un tratat aritmetic incomplet în 125 de versuri bazat pe o lucrare de Shridhara. A lucrat în principal la:

• Permutații și combinații .
• Soluția generală a ecuației liniare simultane nedeterminate.

El a fost, de asemenea, autorul Dhikotidakarana , o lucrare de douăzeci de versuri despre:

• Eclipsa de soare .
• Eclipsa de Lună .

Dhruvamanasa este o lucrare de 105 versete cu privire la :

• Calculul longitudinilor planetare
• eclipsele .
• tranzitele planetare .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) a scris un tratat matematic intitulat Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114–1185) a fost un matematician-astronom care a scris o serie de tratate importante, și anume Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam și Karan Kautoohal . O parte din contribuțiile sale au fost transmise ulterior în Orientul Mijlociu și Europa. Contribuțiile sale includ:

Aritmetic:

• Calculul dobânzii
• Progresii aritmetice și geometrice
• Geometria plană
• Geometrie solidă
• Umbra gnomonului
• Soluții de combinații
• A dat o dovadă pentru divizarea la zero fiind infinit .

Algebră:

• Recunoașterea unui număr pozitiv având două rădăcini pătrate.
• Cote .
• Operațiuni cu produse de mai multe necunoscute.
• Soluțiile:
  • Ecuații pătratice.
  • Ecuații cubice.
  • Ecuații quartice.
  • Ecuații cu mai multe necunoscute.
  • Ecuații pătratice cu mai multe necunoscute.
  • Forma generală a ecuației lui Pell folosind metoda chakravala .
  • Ecuația pătratică generală nedeterminată folosind metoda chakravalei .
  • Ecuații cubice nedeterminate.
  • Ecuații quartice nedeterminate.
  • Ecuații polinomiale de ordin superior nedeterminate.

Geometrie:

• Am dat o dovadă a teoremei lui Pitagora .

Calcul:

• Conceput din calcul diferențial .
• Am descoperit derivatul .
• Am descoperit coeficientul diferențial .
• Dezvoltarea diferențierii.
• Teorema declarată a lui Rolle , un caz special al teoremei valorii medii (una dintre cele mai importante teoreme de calcul și analiză).
• Derivat diferențialul funcției sinusoidale.
• Calculat π , corect la cinci zecimale.
• S-a calculat lungimea revoluției Pământului în jurul Soarelui până la 9 zecimale.

Trigonometrie:

• Dezvoltări ale trigonometriei sferice
• Formulele trigonometrice:
  • ${\ displaystyle \ \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a)}$
  • ${\ displaystyle \ \ sin (ab) = \ sin (a) \ cos (b) - \ sin (b) \ cos (a)}$

Matematica Kerala (1300-1600)

Școala Kerala de astronomie și matematică a fost fondat de Mădhava de Sangamagrama în Kerala, India de Sud și a inclus printre membrii săi: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri și Achyuta Panikkar. A înflorit între secolele XIV și XVI și descoperirile originale ale școlii par să se fi încheiat cu Narayana Bhattathiri (1559–1632). În încercarea de a rezolva problemele astronomice, astronomii școlii din Kerala au creat independent o serie de concepte importante de matematică. Cele mai importante rezultate, extinderea seriei pentru funcții trigonometrice , au fost date în versuri sanscrite într-o carte de Neelakanta numită Tantrasangraha și un comentariu la această lucrare numit Tantrasangraha-vakhya de autor necunoscut. Teoremele au fost enunțate fără dovezi, dar dovezile pentru seria sinus , cosinus și tangentă inversă au fost furnizate un secol mai târziu în lucrarea Yuktibhāṣā (c.1500 – c.1610), scrisă în malayalam , de Jyesthadeva .

Descoperirea acestor trei serii importante de expansiuni ale calculului - mai multe secole înainte ca calculul să fie dezvoltat în Europa de Isaac Newton și Gottfried Leibniz - a fost o realizare. Cu toate acestea, Școala Kerala nu a inventat calculul , deoarece, în timp ce au reușit să dezvolte expansiuni din seria Taylor pentru funcțiile trigonometrice importante , diferențierea , integrarea termen cu termen , testele de convergență , metodele iterative pentru soluțiile ecuațiilor neliniare și teoria că zona de sub o curbă este integrala ei, ei nu au dezvoltat nici o teorie a diferențierii sau integrării , nici teorema fundamentală a calculului . Rezultatele obținute de școala din Kerala includ:

• Seria geometrică (infinită) :${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ cdots {\ text {for}} | x | <1}$
• O dovadă semi-riguroasă (a se vedea remarca „inducție” de mai jos) a rezultatului: pentru n mare .${\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p} \ approx {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}}}$
• Utilizarea intuitivă a inducției matematice , totuși, ipoteza inductivă nu a fost formulată sau utilizată în probe.
• Aplicații de idei din (ceea ce urma să devină) calcul diferențial și integral pentru a obține (Taylor – Maclaurin) serii infinite pentru sin x, cos x și arctan x. Tantrasangraha-vakhya dă seriei în versuri, care , atunci când tradus notație matematice, pot fi scrise ca:

${\ displaystyle r \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = {\ frac {1} {1}} \ cdot {\ frac {ry} {x}} - {\ frac { 1} {3}} \ cdot {\ frac {ry ^ {3}} {x ^ {3}}} + {\ frac {1} {5}} \ cdot {\ frac {ry ^ {5}} { x ^ {5}}} - \ cdots, {\ text {where}} y / x \ leq 1.}$

${\ displaystyle r \ sin x = xx {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} + x {\ frac {x ^ {2}} {( 2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} - \ cdots}$

${\ displaystyle r- \ cos x = r {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - r {\ frac {x ^ {2}} { (2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} {\ frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} + \ cdots,}$

unde, pentru r  = 1, seria se reduce la seria standard de putere pentru aceste funcții trigonometrice, de exemplu:

${\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}$

și

${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots}$

• Utilizarea rectificării (calculului lungimii) arcului unui cerc pentru a da o dovadă a acestor rezultate. (Metoda ulterioară a lui Leibniz, folosind cvadratură, adică calculul suprafeței sub arcul cercului, nu a fost utilizată.)
• Utilizarea expansiunii în serie a pentru a obține formula Leibniz pentru π :${\ displaystyle \ arctan x}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots}$

• O aproximare rațională a erorii pentru suma finită a seriei lor de interes. De exemplu, eroarea,, (pentru n impar, și i = 1, 2, 3) pentru serie:${\ displaystyle f_ {i} (n + 1)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} \ approx 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {( n-1) / 2} {\ frac {1} {n}} + (- 1) ^ {(n + 1) / 2} f_ {i} (n + 1)}$

${\ displaystyle {\ text {where}} f_ {1} (n) = {\ frac {1} {2n}}, \ f_ {2} (n) = {\ frac {n / 2} {n ^ { 2} +1}}, \ f_ {3} (n) = {\ frac {(n / 2) ^ {2} +1} {(n ^ {2} +5) n / 2}}.}$

• Manipularea termenului de eroare pentru a obține o serie convergentă mai rapidă pentru :${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}} + {\ frac {1} {3 ^ {3} -3}} - {\ frac {1} { 5 ^ {3} -5}} + {\ frac {1} {7 ^ {3} -7}} - \ cdots}$

• Folosind seria îmbunătățită pentru a obține o expresie rațională, 104348/33215 pentru π corectează până la nouă zecimale, adică  3.141592653.
• Utilizarea unei noțiuni intuitive de limită pentru a calcula aceste rezultate.
• O metodă semi-riguroasă (a se vedea remarca asupra limitelor de mai sus) metodă de diferențiere a unor funcții trigonometrice. Cu toate acestea, ei nu au formulat noțiunea de funcție sau au avut cunoștințe despre funcțiile exponențiale sau logaritmice.

Lucrările școlii din Kerala au fost scrise pentru prima dată pentru lumea occidentală de către englezul CM Whish în 1835. Potrivit lui Whish, matematicienii din Kerala „au pus bazele unui sistem complet de fluxuri ” și aceste lucrări au abundat „ cu forme și serii fluxionale să nu se găsească în nicio lucrare a țărilor străine. "

Cu toate acestea, rezultatele lui Whish au fost aproape complet neglijate, până când peste un secol mai târziu, când descoperirile școlii din Kerala au fost investigate din nou de C. Rajagopal și asociații săi. Lucrarea lor include comentarii cu privire la dovezile seriei arctan din Yuktibhāṣā, prezentate în două lucrări, un comentariu la dovada lui Yuktibhāṣā a seriei sinus și cosinus și două lucrări care oferă versetele în sanscrită ale Tantrasangrahavakhya pentru seria pentru arctan, păcat. , și cosinus (cu traducere în engleză și comentarii).

Narayana Pandit este un matematician din secolul al XIV-lea care a compus două lucrări matematice importante, un tratat aritmetic, Ganita Kaumudi , și un tratat algebric, Bijganita Vatamsa . Se crede, de asemenea, că Narayana este autorul unui comentariu elaborat al lui Lilavati al lui Bhaskara II , intitulat Karmapradipika (sau Karma-Paddhati ). Madhava din Sangamagrama (c. 1340-1425) a fost fondatorul Școlii Kerala. Deși este posibil să fi scris lui Karana Paddhati o lucrare scrisă cândva între 1375 și 1475, tot ce știm cu adevărat despre opera sa provine din lucrări ale cărturarilor de mai târziu.

Parameshvara (c. 1370–1460) a scris comentarii la lucrările lui Bhaskara I , Aryabhata și Bhaskara II. Lui Lilavati Bhasya , un comentariu pe Bhaskara al II - lea a lui Lilavati , conține una dintre descoperirile sale importante: o versiune a teoremei valoarea medie . Nilakantha Somayaji (1444-1544) a compus Tantra Samgraha (care a „generat” un comentariu anonim Tantrasangraha-vyakhya ulterior și un comentariu suplimentar cu numele Yuktidipaika , scris în 1501). El a elaborat și extins contribuțiile lui Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) a fost un matematician din secolul al XVI-lea din Kerala care a dat soluții întregi la 21 de tipuri de sisteme a două ecuații algebrice simultane în două necunoscute. Aceste tipuri sunt toate perechile posibile de ecuații din următoarele șapte forme:

${\ displaystyle {\ begin {align} & x + y = a, \ xy = b, \ xy = c, x ^ {2} + y ^ {2} = d, \\ [8pt] & x ^ {2} - y ^ {2} = e, \ x ^ {3} + y ^ {3} = f, \ x ^ {3} -y ^ {3} = g \ end {align}}}$

Pentru fiecare caz, Citrabhanu a dat o explicație și o justificare a regulii sale, precum și un exemplu. Unele dintre explicațiile sale sunt algebrice, în timp ce altele sunt geometrice. Jyesthadeva (c. 1500–1575) a fost un alt membru al Școlii Kerala. Lucrarea sa cheie a fost Yukti-bhāṣā (scris în malayalam, o limbă regională din Kerala). Jyesthadeva a prezentat dovezi ale celor mai multe teoreme matematice și serii infinite descoperite anterior de Madhava și de alți matematicieni ai Școlii Kerala.

Acuzațiile de eurocentrism

S-a sugerat că contribuțiile indiene la matematică nu au primit recunoașterea cuvenită în istoria modernă și că multe descoperiri și invenții ale matematicienilor indieni sunt în prezent atribuite cultural omologilor lor occidentali , ca urmare a eurocentrismului . Conform abordării lui GG Joseph despre „ Etnomatematica ”:

[Munca lor] ia în considerare unele dintre obiecțiile ridicate cu privire la traiectoria clasică eurocentrică. Conștientizarea [matematicii indiene și arabe] este prea probabil să fie temperată cu respingeri respingătoare ale importanței lor în comparație cu matematica greacă. Contribuțiile altor civilizații - în special China și India, sunt percepute fie ca împrumutați din surse grecești, fie că au adus doar contribuții minore la dezvoltarea matematică generală. Din păcate, lipsește deschiderea către rezultatele cercetărilor mai recente, în special în cazul matematicii indiene și chineze "

Istoricul matematicii, Florian Cajori , a sugerat că el și alții „bănuiesc că Diophantus a primit prima privire asupra cunoștințelor algebrice din India”. Totuși, el a mai scris că „este sigur că porțiuni din matematica hindusă sunt de origine greacă”.

Mai recent, după cum sa discutat în secțiunea de mai sus, seria infinită de calcul pentru funcțiile trigonometrice (redescoperite de Gregory, Taylor și Maclaurin la sfârșitul secolului al XVII-lea) au fost descrise (cu dovezi și formule pentru eroarea de trunchiere) în India, de către matematicienii din școala din Kerala , remarcabil cu vreo două secole mai devreme. Unii savanți au sugerat recent că cunoștințele despre aceste rezultate ar fi putut fi transmise în Europa prin ruta comercială din Kerala de către comercianți și misionari iezuiți . Kerala a fost în continuu contact cu China și Arabia și, din jurul anului 1500, cu Europa. Existența căilor de comunicare și o cronologie adecvată fac din această transmisie o posibilitate. Cu toate acestea, nu există dovezi directe prin intermediul manuscriselor relevante că o astfel de transmisie a avut loc de fapt. Potrivit lui David Bressoud , „nu există dovezi că opera indiană a seriei a fost cunoscută dincolo de India, sau chiar în afara Kerala, până în secolul al XIX-lea”.

Atât cărturarii arabi, cât și cei indieni au făcut descoperiri înainte de secolul al XVII-lea, care sunt acum considerate o parte a calculului. Cu toate acestea, ei nu, cum au făcut Newton și Leibniz , „au combinat multe idei diferite sub cele două teme unificative ale derivatei și integralei , nu au arătat legătura dintre cele două și au transformat calculul în marele instrument de rezolvare a problemelor pe care îl avem astăzi. " Carierele intelectuale atât ale lui Newton, cât și ale lui Leibniz sunt bine documentate și nu există niciun indiciu că munca lor nu ar fi a lor; cu toate acestea, nu se știe cu certitudine dacă predecesorii imediați ai lui Newton și Leibniz, „inclusiv, în special, Fermat și Roberval, au aflat de unele dintre ideile matematicienilor islamici și indieni prin surse pe care nu le cunoaștem acum”. Acesta este un domeniu activ al cercetărilor actuale, în special în colecțiile de manuscrise din Spania și Maghreb . Această cercetare este urmărită, printre alte locuri, la Centrul Național de Căutare Științifică din Paris.

Vezi si

Note

Referințe

• Bourbaki, Nicolas (1998), Elements of the History of Mathematics , Berlin, Heidelberg și New York: Springer-Verlag , 301 pagini, ISBN 978-3-540-64767-6.
• Boyer, CB; Merzback (fwd. De Isaac Asimov), UC (1991), History of Mathematics , New York: John Wiley and Sons, 736 pagini, ISBN 978-0-471-54397-8.
• Bressoud, David (2002), „A fost inventat calculul în India?”, The College Mathematics Journal , 33 (1): 2-13, doi : 10.2307 / 1558972 , JSTOR  1558972.
• Bronkhorst, Johannes (2001), "Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry", Journal of Indian Philosophy , Springer Netherlands, 29 (1-2): 43-80, doi : 10.1023 / A: 1017506118885 , S2CID  115779583.
• Burnett, Charles (2006), „Semantica numerelor indiene în arabă, greacă și latină”, Journal of Indian Philosophy , Springer-Netherlands, 34 (1-2): 15-30, doi : 10.1007 / s10781-005-8153 -z , S2CID  170783929.
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An Introduction , The McGraw-Hill Companies, Inc., pp. 193–220.
• Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course , New York: Wiley-Interscience, 632 de pagini, ISBN 978-0-471-44459-6.
• Dani, SG (25 iulie 2003), „Despre triplurile pitagoreice în Śulvasūtras” (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224.
• Datta, Bibhutibhusan (decembrie 1931), "Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India", The American Mathematical Monthly , 38 (10): 566-572, doi : 10.2307 / 2301384 , JSTOR  2301384.
• Datta, Bibhutibhusan; Singh, Avadesh Narayan (1962), History of Hindu Mathematics: A source book , Bombay: Asia Publishing House.
• De Young, Gregg (1995), „Geometria euclidiană în tradiția matematică a Indiei Islamice”, Historia Mathematica , 22 (2): 138–153, doi : 10.1006 / hmat.1995.1014.
• Kim Plofker (2007), „matematică, Asia de Sud” , Encyclopaedia Britannica Online , pp. 1–12 , recuperat la 18 mai 2007.
• Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), "Matematica sanscrită veche: o tradiție orală și o literatură scrisă" , în Chemla, Karine ; Cohen, Robert S .; Renn, Jürgen; și colab. (eds.), History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science) , Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pagini, pp. 137–157, pp. 360–375, doi : 10.1007 / 1-4020- 2321-9_7 , ISBN 978-1-4020-2320-0.
• Fowler, David (1996), „Binomial Coefficient Function”, The American Mathematical Monthly , 103 (1): 1–17, doi : 10.2307 / 2975209 , JSTOR  2975209.
• Hayashi, Takao (1995), Manuscrisul Bakhshali, Un tratat matematic indian antic , Groningen: Egbert Forsten, 596 pagini, ISBN 978-90-6980-087-5.
• Hayashi, Takao (1997), „Regula lui Aryabhata și tabelul diferențelor sinusoidale”, Historia Mathematica , 24 (4): 396–406, doi : 10.1006 / hmat.1997.2160.
• Hayashi, Takao (2003), „Indian Mathematics”, în Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , 1 , Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, pp. 118 –130, ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Hayashi, Takao (2005), „Indian Mathematics”, în Flood, Gavin (ed.), The Blackwell Companion to Hinduism , Oxford: Basil Blackwell, 616 pagini, pp. 360–375, pp. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Henderson, David W. (2000), „Rădăcini pătrate în Sulba Sutras” , în Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , 53 , Washington DC: Mathematical Association of America Notes, pp. 39-45, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Joseph, GG (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pagini, ISBN 978-0-691-00659-8.
• Katz, Victor J. (1995), „Idei de calcul în Islam și India”, Revista de matematică , 68 (3): 163–174, doi : 10.2307 / 2691411 , JSTOR  2691411.
• Katz, Victor J., ed. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Keller, Agathe (2005), „A face diagramele să vorbească, în comentariul lui Bhāskara I asupra Aryabhaṭīya ” (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275–302, doi : 10.1016 / j.hm.2004.09.001.
• Kichenassamy, Satynad (2006), „Regula lui Baudhāyana pentru cvadratura cercului”, Historia Mathematica , 33 (2): 149–183, doi : 10.1016 / j.hm.2005.05.001.
• Neugebauer, Otto ; Pingree, David , eds. (1970), Pañcasiddhāntikā din Varāhamihira , Copenhaga. Ediție nouă cu traducere și comentarii, (2 Vols.).
• Pingree, David (1971), „Despre originea greacă a modelului planetar indian folosind un dublu epiciclu”, Journal of Historical Astronomy , 2 (1): 80-85, Bibcode : 1971JHA ..... 2 ... 80P , doi : 10.1177 / 002182867100200202 , S2CID  118053453.
• Pingree, David (1973), „The Mesopotamian Origin of Early Indian Mathematical Astronomy”, Journal of Historical Astronomy , 4 (1): 1–12, Bibcode : 1973JHA ..... 4 .... 1P , doi : 10.1177 / 002182867300400102 , S2CID  125228353.
• Pingree, David , ed. (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja , Harvard Oriental Series 48 (2 vol.), Editat, tradus și comentat de D. Pingree, Cambridge, MA.
• Pingree, David (1988), „Lucrări revizuite: Fidelitatea tradiției orale și originile științei de Frits Staal”, Journal of the American Oriental Society , 108 (4): 637–638, doi : 10.2307 / 603154 , JSTOR  603154.
• Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis , 83 (4): 554-563, Bibcode : 1992Isis ... 83..554P , doi : 10.1086 / 356288 , JSTOR  234257 , S2CID  68570164
• Pingree, David (2003), „Logica științei non-occidentale: descoperiri matematice în India medievală” , Daedalus , 132 (4): 45–54, doi : 10.1162 / 001152603771338779 , S2CID  57559157.
• Plofker, Kim (1996), „Un exemplu al metodei secente de aproximare iterativă într-un text sanscrit al secolului al XV-lea”, Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006 / hmat.1996.0026.
• Plofker, Kim (2001), „Eroarea” din „aproximarea„ din seria Taylor a indianului la sinus ”, indiană, Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006 / hmat.2001.2331.
• Plofker, K. (2007), „Mathematics of India”, în Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Plofker, Kim (2009), Matematica în India: 500 î.e.n. – 1800 CE , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6.
• Price, John F. (2000), "Geometria aplicată a Sutrelor Sulba" (PDF) , în Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at Work: Papers in Applied Geometry , 53 , Washington DC: Mathematical Association of America Note, pp. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Roy, Ranjan (1990), „Discovery of the Series Formula for by Leibniz, Gregory, and Nilakantha”, Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.2307 / 2690896 , JSTOR 2690896${\ displaystyle \ pi}$ .
• Singh, AN (1936), „Despre utilizarea seriilor în matematica hindusă”, Osiris , 1 (1): 606–628, doi : 10.1086 / 368443 , JSTOR  301627 , S2CID  144760421
• Staal, Frits (1986), „Fidelitatea tradiției orale și originile științei”, Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde , New Series, Amsterdam: North Holland Publishing Company, 49 (8).
• Staal, Frits (1995), „Sanscrita științei”, Journal of Indian Philosophy , Springer Olanda, 23 (1): 73–127, doi : 10.1007 / BF01062067 , S2CID  170755274.
• Staal, Frits (1999), „Greek and Vedic Geometry”, Journal of Indian Philosophy , 27 (1-2): 105–127, doi : 10.1023 / A: 1004364417713 , S2CID  170894641.
• Staal, Frits (2001), „Squares and oblongs in the Veda”, Journal of Indian Philosophy , Springer Netherlands, 29 (1-2): 256-272, doi : 10.1023 / A: 1017527129520 , S2CID  170403804.
• Staal, Frits (2006), „Limbi artificiale în științe și civilizații”, Journal of Indian Philosophy , Springer Netherlands, 34 (1): 89–141, doi : 10.1007 / s10781-005-8189-0 , S2CID  170968871.
• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History , Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.), Springer, Berlin și New York, 568 pagini, doi : 10.1007 / 978-1-4684-9281-1 , ISBN 978-0-387-95336-6.
• Thibaut, George (1984) [1875], Mathematics in the Making in Ancient India: reprint of 'On the Sulvasutras' și 'Baudhyayana Sulva-sutra', Calcutta și Delhi: KP Bagchi and Company (orig. Jurnalul Asiatic Society of Bengal), 133 de pagini.
• van der Waerden, BL (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilisations , Berlin and New York: Springer, 223 pages, ISBN 978-0-387-12159-8
• van der Waerden, BL (1988), „Pe Romaka-Siddhānta”, Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte , 38 (1): 1–11, doi : 10.1007 / BF00329976 , S2CID  189788738
• van der Waerden, BL (1988), „Reconstrucția unei tabele de acorduri grecești”, Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte , 38 (1): 23–38, Bibcode : 1988AHES ... 38 ... 23V , doi : 10.1007 / BF00329978 , S2CID  189793547
• Van Nooten, B. (1993), "Numere binare în antichitatea indiană", Journal of Indian Philosophy , Springer Netherlands, 21 (1): 31-50, doi : 10.1007 / BF01092744 , S2CID  171039636
• Whish, Charles (1835), „Pe cuadratura Hindú a cercului și seria infinită a proporției circumferinței la diametrul prezentat în cele patru S'ástra, Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati și Sadratnamála” , Tranzacțiile Societății Regale Asiatice din Marea Britanie și Irlanda , 3 (3): 509–523, doi : 10.1017 / S0950473700001221 , JSTOR  25581775
• Yano, Michio (2006), „Transmiterea orală și scrisă a științelor exacte în sanscrită”, Journal of Indian Philosophy , Springer Olanda, 34 (1-2): 143-160, doi : 10.1007 / s10781-005-8175-6 , S2CID  170679879

Lecturi suplimentare

Cărți sursă în sanscrită

• Keller, Agathe (2006), Expunerea semințelor matematice. Vol. 1: Traducerea: o traducere a lui Bhaskara I la capitolul matematic al Aryabhatiya , Basel, Boston și Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 de pagini, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Keller, Agathe (2006), Expunerea semințelor matematice. Vol. 2: Suplimentele: o traducere a lui Bhaskara I la capitolul matematic al Aryabhatiya , Basel, Boston și Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pagini, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya de Aryabhata cu comentariul lui Sūryadeva Yajvan , editat critic cu Introducere și apendicelor, New Delhi: Academia Indian National Science.
• Sen, SN; Bag, AK, eds. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava , cu text, traducere în engleză și comentarii, New Delhi: Indian National Science Academy.
• Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya din Āryabhaṭa cu comentariul lui Bhāskara I și Someśvara , editat critic cu Introducere, Traducere în engleză, Note, Comentarii și indexuri, New Delhi: Indian National Science Academy.
• Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya din Āryabhaṭa , editat critic cu Introducere, traducere în engleză, note, comentarii și indexuri, în colaborare cu KV Sarma , New Delhi: Indian National Science Academy.

linkuri externe

• Știință și matematică în India
• O privire de ansamblu asupra matematicii indiene , MacTutor History of Mathematics Archive , Universitatea St Andrews , 2000.
• Matematicieni indieni
• Indexul matematicii antice indiene , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea St Andrews, 2004.
• Indian Mathematics: Redressing the balance , Student Projects in the History of Mathematics . Ian Pearce. Arhiva Istoria Matematicii MacTutor , Universitatea St Andrews, 2002.
• Indian Mathematics on In Our Time la BBC
• InSIGHT 2009 , un atelier despre științele tradiționale indiene pentru copiii școlari, organizat de departamentul de informatică al Universității Anna, Chennai, India.
• Matematica în India antică de R. Sridharan
• Metode combinatorii în India antică
• Matematica înainte de S. Ramanujan