Matematica jocurilor de noroc - Gambling mathematics

Experimente, evenimente, spații de probabilitate

Procesele tehnice ale unui joc stau la baza experimentelor care generează evenimente aleatorii . Iată câteva exemple:

  • Aruncarea zarurilor în craps este un experiment care generează evenimente precum apariția anumitor numere pe zaruri, obținerea unei anumite sume a numerelor afișate și obținerea unor numere cu anumite proprietăți (mai puțin decât un număr specific, mai mare decât un număr specific, chiar , neuniform și așa mai departe). Spațiul eșantion al unui astfel de experiment este {1, 2, 3, 4, 5, 6} pentru aruncarea unei matrițe sau {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), ( 2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), ..., (6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)} pentru rulare două zaruri. Acesta din urmă este un set de perechi ordonate și numără 6 x 6 = 36 de elemente. Evenimentele pot fi identificate cu seturi, și anume părți din spațiul eșantion. De exemplu, apariția evenimentului unui număr par este reprezentată de următorul set în experimentul de a arunca o matriță: {2, 4, 6}.
  • Rotirea roții de ruletă este un experiment ale cărui evenimente generate ar putea fi apariția unui anumit număr, a unei anumite culori sau a unei anumite proprietăți a numerelor (scăzut, ridicat, uniform, inegal, dintr-un anumit rând sau coloană și așa mai departe) . Spațiul de eșantionare al experimentului care implică rotirea roții de ruletă este setul de numere pe care rulează ruleta: {1, 2, 3, ..., 36, 0, 00} pentru ruleta americană sau {1, 2, 3, ..., 36, 0} pentru european. Apariția evenimentului unui număr roșu este reprezentată de setul {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}. Acestea sunt numerele inscripționate cu roșu pe ruletă și masă.
  • Tratarea cărților în blackjack este un experiment care generează evenimente precum apariția unei anumite cărți sau a unei valori ca prima carte distribuită, obținând un anumit total de puncte din primele două cărți distribuite, depășind 21 de puncte din primele trei cărți distribuite și curând. În jocurile de cărți întâlnim multe tipuri de experimente și categorii de evenimente. Fiecare tip de experiment are propriul spațiu de probă. De exemplu, experimentul de a distribui prima carte primului jucător are ca spațiu eșantion setul tuturor celor 52 de cărți (sau 104, dacă se joacă cu două punți). Experimentul de a distribui a doua carte primului jucător are ca spațiu eșantion setul tuturor celor 52 de cărți (sau 104), mai puțin prima carte distribuită. Experimentul de a distribui primele două cărți primului jucător are ca spațiu eșantion un set de perechi ordonate, și anume toate aranjamentele de 2 cărți din cele 52 (sau 104). Într-un joc cu un jucător, în cazul în care jucătorul primește o carte de 10 puncte, deoarece prima carte distribuită este reprezentată de setul de cărți {10 ♠, 10 ♣, 10 ♥, 10 ♦, J ♠, J ♣, J ♥, J ♦, Q ♠, Q ♣, Q ♥, Q ♦, K ♠, K ♣, K ♥, K ♦}. În cazul în care jucătorul primește un total de cinci puncte din primele două cărți distribuite este reprezentat de setul de combinații de 2 dimensiuni ale valorilor cărților {(A, 4), (2, 3)}, care de fapt contează 4 x 4 + 4 x 4 = 32 combinații de cărți (ca valoare și simbol).
  • În loteria 6/49 , experimentul de extragere a șase numere din cele 49 generează evenimente precum extragerea a șase numere specifice, extragerea a cinci numere din șase numere specifice, extragerea a patru numere din șase numere specifice, extragerea a cel puțin un număr dintr-un anumit grup de numere etc. Spațiul de probă aici este setul tuturor combinațiilor de 6 dimensiuni ale numerelor din 49.
  • În jocul de poker , experimentul de a distribui primele cinci mâini de cărți generează evenimente cum ar fi împărțirea a cel puțin unei cărți anume unui anumit jucător, împărțirea unei perechi la cel puțin doi jucători, împărțirea a patru simboluri identice la cel puțin un jucător și așa mai departe . Spațiul de eșantionare în acest caz este setul tuturor combinațiilor de 5 cărți din 52 (sau pachetul utilizat).
  • Distribuirea a două cărți unui jucător care a aruncat două cărți este un alt experiment al cărui spațiu eșantion este acum setul tuturor combinațiilor de 2 cărți din cele 52, mai puțin cărțile văzute de observatorul care rezolvă problema probabilității. De exemplu, dacă vă aflați în joc în situația de mai sus și doriți să vă dați seama de câteva cote cu privire la mâna dvs., spațiul de probă pe care ar trebui să-l luați în considerare este setul tuturor combinațiilor de 2 cărți din cele 52, mai puțin cele trei cărți pe care le dețineți și mai puțin cele două cărți pe care le-ai aruncat. Acest spațiu eșantion numără combinațiile de 2 dimensiuni din 47.

Modelul probabilității

Un model de probabilitate începe de la un experiment și o structură matematică atașată acelui experiment, și anume spațiul (câmpul) evenimentelor. Evenimentul este principala lucrare a teoriei probabilității unității. În jocurile de noroc, există multe categorii de evenimente, toate putând fi predefinite textual. În exemplele anterioare de experimente de jocuri de noroc am văzut câteva dintre evenimentele generate de experimente. Acestea sunt o parte minusculă a tuturor evenimentelor posibile, care este de fapt ansamblul tuturor părților din spațiul eșantion.

Pentru un anumit joc, diferitele tipuri de evenimente pot fi:

  • Evenimente legate de jocul propriu sau de jocul adversarilor;
  • Evenimente legate de jocul unei persoane sau jocul mai multor persoane;
  • Evenimente imediate sau evenimente de lungă durată.

Fiecare categorie poate fi împărțită în mai multe alte subcategorii, în funcție de jocul menționat. Aceste evenimente pot fi definite literalmente, dar trebuie făcute cu mare atenție atunci când se încadrează o problemă de probabilitate. Din punct de vedere matematic, evenimentele nu sunt altceva decât subseturi, iar spațiul evenimentelor este o algebră booleană . Printre aceste evenimente, găsim evenimente elementare și compuse, evenimente exclusive și neexclusive și evenimente independente și neindependente.

În experimentul aruncării unei matrițe:

  • Evenimentul {3, 5} (a cărui definiție literală este apariția de 3 sau 5 ) este compus deoarece {3, 5} = {3} U {5};
  • Evenimentele {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sunt elementare;
  • Evenimentele {3, 5} și {4} sunt incompatibile sau exclusive, deoarece intersecția lor este goală; adică nu pot apărea simultan;
  • Evenimentele {1, 2, 5} și {2, 5} nu sunt exclusive, deoarece intersecția lor nu este goală;
  • În experimentul de a arunca două zaruri unul după altul, evenimentele obținând 3 pe prima matriță și obținând 5 pe a doua matriță sunt independente, deoarece apariția celui de-al doilea eveniment nu este influențată de apariția primului și invers.

În experimentul de a distribui cărțile de buzunar în Texas Hold'em Poker:

  • Evenimentul de a trata (3 ♣, 3 ♦) unui jucător este un eveniment elementar;
  • Evenimentul de a distribui două 3 unui jucător este compus deoarece este uniunea evenimentelor (3 ♣, 3 ♠), (3 ♣, 3 ♥), (3 ♣, 3 ♦), (3 ♠, 3 ♥), ( 3 ♠, 3 ♦) și (3 ♥, 3 ♦);
  • Evenimentele jucătorului 1 i se administrează o pereche de regi, iar jucătorului 2 i se administrează o pereche de regi sunt neexclusivi (pot apărea amândoi);
  • Evenimentele jucătorului 1 i se oferă doi conectori de inimi mai mari decât J și jucătorului 2 i se oferă doi conectori de inimi mai mari decât J sunt exclusivi (poate apărea doar unul);
  • Evenimentele jucătorului 1 este împărțit (7, K) și jucătorul 2 este împărțit (4, Q) nu sunt independente (apariția celui de-al doilea depinde de apariția primului, în timp ce același pachet este în uz).

Acestea sunt câteva exemple de evenimente de jocuri de noroc, ale căror proprietăți de complexitate, exclusivitate și independență sunt ușor de observat. Aceste proprietăți sunt foarte importante în calculul probabilității practice.

Modelul matematic complet este dat de câmpul de probabilitate atașat experimentului, care este spațiul eșantion triplu - câmpul evenimentelor - funcția de probabilitate . Pentru orice joc de noroc, modelul de probabilitate este de cel mai simplu tip - spațiul eșantionului este finit, spațiul evenimentelor este setul de părți ale spațiului eșantion, implicit și finit, iar funcția de probabilitate este dată de definiția probabilitate pe un spațiu finit de evenimente:

Combinații

Jocurile de noroc sunt, de asemenea, exemple bune de combinații , permutări și aranjamente, care sunt îndeplinite la fiecare pas: combinații de cărți în mâna unui jucător, pe masă sau așteptate în orice joc de cărți; combinații de numere la lansarea mai multor zaruri o dată; combinații de numere în loterie și bingo; combinații de simboluri în sloturi; permutări și aranjamente într-o cursă pe care trebuie pariat și altele asemenea. Calculul combinatoriu este o parte importantă a aplicațiilor de probabilitate a jocurilor de noroc. În jocurile de noroc, majoritatea calculului probabilității jocurilor de noroc în care folosim definiția clasică a probabilității revine la combinații de numărare. Evenimentele de joc pot fi identificate cu seturi, care adesea sunt seturi de combinații. Astfel, putem identifica un eveniment cu o combinație.

De exemplu, într-un joc de poker cu cinci remize, evenimentul cel puțin un jucător deține o formație de patru poate fi identificat cu setul tuturor combinațiilor de tip (xxxxy), unde x și y sunt valori distincte ale cărților. Acest set are 13C (4,4) (52-4) = 624 combinații. Combinațiile posibile sunt (3 ♠ 3 ♣ 3 ♥ 3 ♦ J ♣) sau (7 ♠ 7 ♣ 7 ♥ 7 ♦ 2 ♣). Acestea pot fi identificate cu evenimente elementare din care constă evenimentul care urmează să fie măsurat.

Așteptare și strategie

Jocurile de noroc nu sunt doar aplicații pure ale calculului probabilității și situațiile de joc nu sunt doar evenimente izolate a căror probabilitate numerică este bine stabilită prin metode matematice; sunt, de asemenea, jocuri al căror progres este influențat de acțiunea umană. În jocurile de noroc, elementul uman are un caracter izbitor. Jucătorul nu este interesat doar de probabilitatea matematică a diferitelor evenimente de joc, ci are așteptări de la jocuri, în timp ce există o interacțiune majoră. Pentru a obține rezultate favorabile din această interacțiune, jucătorii iau în considerare toate informațiile posibile, inclusiv statistici , pentru a construi strategii de joc. Cel mai vechi și mai obișnuit sistem de pariuri este sistemul martingale, sau dublarea, la pariurile cu bani uniformi, în care pariurile sunt dublate progresiv după fiecare pierdere până când are loc o victorie. Acest sistem datează probabil de la invenția roții de ruletă. Alte două sisteme binecunoscute, bazate și pe pariuri cu bani uniformi, sunt sistemul d'Alembert (bazat pe teoremele matematicianului francez Jean Le Rond d'Alembert), în care jucătorul își mărește pariurile cu o unitate după fiecare pierdere dar scade cu o unitate după fiecare victorie și sistemul Labouchere (conceput de politicianul britanic Henry Du Pré Labouchere, deși baza pentru aceasta a fost inventată de filosoful francez din secolul al XVIII-lea Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marchiz de Condorcet), în care jucătorul își mărește sau scade pariurile în funcție de o anumită combinație de numere alese în avans. Câștigul sau pierderea medie prevăzută se numește așteptare sau valoare așteptată și este suma probabilității fiecărui posibil rezultat al experimentului înmulțit cu recompensa (valoarea) acestuia. Astfel, reprezintă suma medie pe care o așteptați să o câștigați pe pariu dacă pariurile cu cote identice sunt repetate de multe ori. Un joc sau situație în care valoarea așteptată pentru jucător este zero (fără câștig net sau pierdere) se numește joc corect. Târgul de atribute nu se referă la procesul tehnic al jocului, ci la casa de echilibru (bancă) - jucător.

Chiar dacă întâmplarea inerentă jocurilor de noroc pare să le asigure corectitudinea (cel puțin în ceea ce privește jucătorii din jurul mesei - amestecarea unei punți sau rotirea unei roți nu favorizează niciun jucător, cu excepția cazului în care sunt frauduloși), jucătorii caută întotdeauna și așteptați nereguli în această întâmplare care le va permite să câștige. S-a demonstrat matematic că, în condiții ideale de întâmplare și cu așteptări negative, nu este posibilă câștigarea regulată pe termen lung pentru jucătorii de jocuri de noroc. Majoritatea jucătorilor acceptă această premisă, dar lucrează în continuare la strategii pentru a-i face să câștige fie pe termen scurt, fie pe termen lung.

Avantajul casei sau avantajul

Jocurile de cazinou oferă un avantaj previzibil pe termen lung cazinoului sau „casei”, oferind în același timp jucătorului posibilitatea unei plăți mari pe termen scurt. Unele jocuri de cazino au un element de îndemânare, în care jucătorul ia decizii; astfel de jocuri sunt numite „aleatorii cu un element tactic”. Deși este posibil ca jocul abil să reducă la minimum avantajul casei, este extrem de rar ca un jucător să aibă suficientă abilitate pentru a elimina complet dezavantajul său inerent pe termen lung ( marginea casei sau casa viguroasă ) într-un joc de cazino. Credința obișnuită este că un astfel de set de abilități ar presupune ani de antrenament, memorie extraordinară și numerotare și / sau observație acută vizuală sau chiar auditivă, ca în cazul cronometrării roților în Ruletă. Pentru mai multe exemple, consultați Advantage Gambling .

Dezavantajul jucătorului este rezultatul faptului că cazinoul nu plătește pariuri câștigătoare în conformitate cu „cotele adevărate” ale jocului, care sunt plățile care ar fi de așteptat având în vedere șansele unui pariu fie să câștige, fie să piardă. De exemplu, dacă un joc este jucat pariat pe numărul care ar rezulta din aruncarea unui die, cota reală ar fi de 5 ori suma pariată, deoarece există o probabilitate de 1/6 să apară un singur număr. Cu toate acestea, cazinoul poate plăti doar de 4 ori suma pariată pentru un pariu câștigător.

Marja casei (HE) sau viguroasă este definită ca profitul cazinoului exprimat ca procent din pariul inițial al jucătorului. În jocuri precum Blackjack sau Spanish 21 , pariul final poate fi de mai multe ori pariul inițial, dacă jucătorul se dublează sau se împarte.

Exemplu: În Ruleta americană , există două zerouri și 36 de numere diferite de zero (18 roșu și 18 negru). Dacă un jucător pariază 1 $ pe roșu, șansa de a câștiga 1 $ este, prin urmare, 18/38, iar șansa de a pierde 1 $ (sau de a câștiga - 1 $) este 20/38.

Valoarea așteptată a jucătorului, EV = (18/38 x 1) + (20/38 x -1) = 18/38 - 20/38 = -2/38 = -5,26%. Prin urmare, marginea casei este de 5,26%. După 10 runde, jucați 1 $ pe rundă, profitul mediu al casei va fi de 10 x 1 $ x 5,26% = 0,53 $. Desigur, nu este posibil ca cazinoul să câștige exact 53 de cenți; această cifră reprezintă profitul mediu al cazinoului de la fiecare jucător, dacă ar avea milioane de jucători pariând fiecare 10 runde la 1 $ pe rundă.

Marginea casei jocurilor de cazino variază foarte mult în funcție de joc. Keno poate avea margini interne până la 25%, iar sloturile pot avea până la 15%, în timp ce majoritatea jocurilor australiene Pontoon au margini interne între 0,3% și 0,4%.

Calculul marginii casei de ruletă a fost un exercițiu banal; pentru alte jocuri, acest lucru nu este de obicei cazul. Analiza combinatorie și / sau simularea pe computer sunt necesare pentru a finaliza sarcina.

În jocurile care au un element de îndemânare, cum ar fi Blackjack sau Spanish 21 , marginea casei este definită ca avantajul casei din jocul optim (fără utilizarea tehnicilor avansate, cum ar fi numărarea cărților sau urmărirea aleatorie ), pe prima mână a pantofului (containerul care deține cărțile). Setul de jocuri optime pentru toate mâinile posibile este cunoscut sub numele de „strategie de bază” și este foarte dependent de regulile specifice și chiar de numărul de punți utilizate. Jocurile de Blackjack și Spaniolele 21 bune trebuie să găzduiască margini sub 0,5%.

Jocurile de slot online au adesea un procent publicat Return to Player (RTP) care determină marginea teoretică a casei. Unii dezvoltatori de software aleg să publice RTP-ul jocurilor lor slot, în timp ce alții nu. În ciuda RTP-ului teoretic stabilit, aproape orice rezultat este posibil pe termen scurt.

Deviație standard

Factorul norocului într-un joc de cazinou este cuantificat folosind abaterea standard (SD). Abaterea standard a unui joc simplu precum Ruleta poate fi calculată pur și simplu din cauza distribuției binomiale a succeselor (presupunând un rezultat de 1 unitate pentru o victorie și 0 unitate pentru o pierdere). Pentru distribuția binomială, SD este egal cu , unde este numărul de runde jucate, este probabilitatea de a câștiga și este probabilitatea de a pierde. Mai mult, dacă mizăm la 10 unități pe rundă în loc de 1 unitate, gama de rezultate posibile crește de 10 ori. Prin urmare, pariul SD pentru ruletă este egal cu , unde este pariul plat pe rundă, este numărul de runde , și .

După un număr suficient de mare de runde, distribuția teoretică a câștigului total converge la distribuția normală , oferind o bună posibilitate de a prognoza posibilul câștig sau pierdere. De exemplu, după 100 de runde la 1 USD pe rundă, abaterea standard a câștigului (în mod egal a pierderii) va fi . După 100 de runde, pierderea așteptată va fi .

Gama de 3 sigme este de șase ori deviația standard: trei peste medie și trei mai jos. Prin urmare, după 100 de runde care pariază 1 USD pe rundă, rezultatul va fi foarte probabil undeva între și , adică între - 34 $ și 24 $. Există încă un ca. 1 la 400 de șanse ca rezultatul să nu fie în acest interval, adică fie câștigul va depăși 24 USD, fie pierderea va depăși 34 USD.

Abaterea standard pentru pariul de ruletă pe bani uniformi este una dintre cele mai mici dintre toate jocurile de cazinou. Majoritatea jocurilor, în special a sloturilor, au abateri standard extrem de mari. Pe măsură ce mărimea plăților potențiale crește, crește și abaterea standard.

Din păcate, considerațiile de mai sus pentru un număr mic de runde sunt incorecte, deoarece distribuția este departe de a fi normală. Mai mult, rezultatele jocurilor mai volatile converg de obicei la distribuția normală mult mai încet, prin urmare este necesar un număr mult mai mare de runde pentru asta.

Pe măsură ce numărul de runde crește, în cele din urmă, pierderea așteptată va depăși abaterea standard, de multe ori. Din formulă, putem vedea că abaterea standard este proporțională cu rădăcina pătrată a numărului de runde jucate, în timp ce pierderea așteptată este proporțională cu numărul de runde jucate. Pe măsură ce numărul de runde crește, pierderea așteptată crește cu o rată mult mai rapidă. Acesta este motivul pentru care este practic imposibil ca un jucător să câștige pe termen lung (dacă nu are un avantaj). Raportul ridicat dintre abaterea standard pe termen scurt și pierderea așteptată este cel care îi păcălește pe jucători să creadă că pot câștiga.

Indicele de volatilitate (VI) este definit ca abaterea standard pentru o rundă, pariat pe o unitate. Prin urmare, VI-ul pentru pariul egal pe bani de ruletă americană este .

Varianța este definită ca pătratul VI. Prin urmare, varianța pariului pe ruletă americană cu bani uniformi este de cca. 0.249, care este extrem de scăzut pentru un joc de cazino. Varianța pentru Blackjack este de cca. 1.2, care este încă scăzut în comparație cu varianțele mașinilor electronice de joc (EGM).

În plus, se utilizează termenul indicelui de volatilitate bazat pe anumite intervale de încredere. De obicei, se bazează pe intervalul de încredere de 90%. Indicele de volatilitate pentru intervalul de încredere de 90% este de cca. De 1,645 ori indicele de volatilitate „obișnuit” care se referă la cca. Interval de încredere 68,27%.

Este important ca un cazinou să cunoască atât avantajul casei, cât și indicele de volatilitate pentru toate jocurile lor. Marja casei le spune ce fel de profit vor obține ca procent din cifra de afaceri, iar indicele de volatilitate le spune cât de mult au nevoie în ceea ce privește rezervele de numerar. Matematicienii și programatorii de computere care fac acest tip de muncă sunt numiți matematicieni de jocuri și analiști de jocuri. Cazinourile nu au experiență internă în acest domeniu, așa că își externalizează cerințele către experți din domeniul analizei jocurilor.

Probabilitatea de bingo

Probabilitatea de a câștiga un joc de Bingo (ignorând câștigători simultane, ceea ce face victorii reciproc exclusive) pot fi calculate ca:

întrucât câștigarea și pierderea se exclud reciproc. Probabilitatea de a pierde este aceeași cu probabilitatea ca un alt jucător să câștige (deocamdată presupunând că fiecare jucător are o singură carte Bingo). Cu jucători care participă: cu jucătorii și jucătorul nostru fiind desemnați . Acest lucru este , de asemenea , a declarat (pentru evenimente care se exclud reciproc) ca .

Dacă probabilitatea de a câștiga pentru fiecare jucător este egală (așa cum ar fi de așteptat într-un joc echitabil de noroc), atunci și astfel și prin urmare . Simplificarea randamentelor

În cazul în care se cumpără mai multe cărți, fiecare carte poate fi văzută ca fiind echivalentă cu jucătorii de mai sus, având șanse egale de câștig. unde este numărul de cărți din joc și este cartea care ne interesează.

Un jucător ( ) care deține cărți va fi, prin urmare, câștigător dacă vreuna dintre aceste cărți câștigă (ignorând totuși câștigurile simultane):

O modalitate simplă pentru un jucător de a-și crește șansele de a câștiga este, prin urmare, să cumpere mai multe cărți într-un joc (creștere ).

Câștigurile simultane pot apărea în anumite tipuri de jocuri (cum ar fi bingo-ul online , unde câștigătorul este determinat automat, mai degrabă decât strigând „Bingo” de exemplu), câștigurile fiind împărțite între toți câștigătorii simultani. Probabilitatea de a câștiga cardul nostru atunci când există unul sau mai mulți câștigători simultani este exprimată prin:

unde este probabilitatea de a fi câștigător simultan (o funcție a tipului de joc și a numărului de jucători) și a fi probabilitatea (corectă) care este una dintre cărțile câștigătoare. Prin urmare, valoarea totală așteptată pentru plata (1 reprezentând potul complet câștigător) este:

Deoarece, pentru un joc normal de bingo, care se joacă până când există un câștigător, probabilitatea de a exista o carte câștigătoare, fie sau fie ... sau , și acestea fiind reciproc excluzive , se poate afirma că

și prin urmare că

Rezultatul așteptat al jocului nu este modificat de câștigătorii simultani, atâta timp cât potul este împărțit în mod egal între toți câștigătorii simultani. Acest lucru a fost confirmat numeric.

Pentru a investiga dacă este mai bine să joci mai multe cărți într-un singur joc sau să joci mai multe jocuri, probabilitatea de a câștiga este calculată pentru fiecare scenariu, de unde sunt cumpărate cărți.

unde n este numărul de jucători (presupunând că fiecare jucător adversar joacă doar o carte). Probabilitatea de a pierde orice joc, în care se joacă doar o singură carte, este exprimată ca:

Probabilitatea de a pierde jocurile este exprimată ca:

Probabilitatea de a câștiga cel puțin un joc din jocuri este aceeași cu probabilitatea de a nu pierde toate jocurile:

Când aceste valori sunt egale:

dar sa demonstrat că pentru . Avantajul crește atât pe măsură ce crește, cât și în scădere. Prin urmare, este întotdeauna mai bine să jucați mai multe jocuri decât mai multe cărți într-un singur joc, deși avantajul scade atunci când există mai mulți jucători în joc.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

linkuri externe