Modelarea matematică a bolilor infecțioase - Mathematical modelling of infectious disease

Modelele matematice pot proiecta modul în care bolile infecțioase progresează pentru a arăta rezultatul probabil al unei epidemii și pentru a ajuta la informarea intervențiilor de sănătate publică . Modelele folosesc ipoteze de bază sau statistici colectate împreună cu matematica pentru a găsi parametrii pentru diferite boli infecțioase și utilizează acești parametri pentru a calcula efectele diferitelor intervenții, cum ar fi programele de vaccinare în masă . Modelarea vă poate ajuta să decideți ce intervenție (intervenții) să evitați și pe care să le testați, sau poate prezice viitoarele modele de creștere etc.

Istorie

Modelarea bolilor infecțioase este un instrument care a fost utilizat pentru a studia mecanismele prin care se răspândesc bolile, pentru a prezice evoluția viitoare a unui focar și pentru a evalua strategiile de control al unei epidemii.

Primul om de știință care a încercat în mod sistematic să cuantifice cauzele deceselor a fost John Graunt în cartea sa Natural and Political Observations made on the Bills of Mortality , în 1662. Proiectele de lege pe care le-a studiat erau listări de numere și cauze ale deceselor publicate săptămânal. Analiza lui Graunt a cauzelor morții este considerată începutul „teoriei riscurilor concurente” care, potrivit lui Daley și Gani, este „o teorie care este acum bine stabilită în rândul epidemiologilor moderni”.

Cea mai veche relatare a modelării matematice a răspândirii bolii a fost realizată în 1760 de Daniel Bernoulli . Pregătit ca medic, Bernoulli a creat un model matematic pentru a apăra practica inoculării împotriva variolei . Calculele din acest model au arătat că inocularea universală împotriva variolei ar spori speranța de viață de la 26 ani 7 luni la 29 ani 9 luni. Opera lui Daniel Bernoulli a precedat înțelegerea modernă a teoriei germenilor .

La începutul secolului XX, William Hamer și Ronald Ross au aplicat legea acțiunii în masă pentru a explica comportamentul epidemic.

Anii 1920 au văzut apariția modelelor compartimentate. Modelul epidemiei Kermack – McKendrick (1927) și modelul epidemiei Reed – Frost (1928) descriu ambele relația dintre persoanele susceptibile , infectate și imune într-o populație. Modelul epidemiei Kermack-McKendrick a avut succes în prezicerea comportamentului focarelor foarte similar cu cel observat în multe epidemii înregistrate.

Recent, modelele bazate pe agenți (ABM) au fost utilizate în schimbul unor modele compartimentare mai simple . De exemplu, ABM epidemiologice au fost utilizate pentru a informa intervențiile de sănătate publică (non-farmaceutice) împotriva răspândirii SARS-CoV-2 . ABM-urile epidemiologice, în ciuda complexității lor și necesită o putere de calcul mare, au fost criticate pentru presupuneri simplificatoare și nerealiste. Totuși, ele pot fi utile în informarea deciziilor privind măsurile de atenuare și suprimare în cazurile în care ABM sunt calibrate cu precizie.

Ipoteze

Modelele sunt la fel de bune ca și ipotezele pe care se bazează. Dacă un model face predicții care sunt în afara liniei cu rezultatele observate și matematica este corectă, presupunerile inițiale trebuie să se schimbe pentru a face modelul util.

• Distribuția vârstei dreptunghiulară și staționară , adică toată lumea din populație trăiește până la vârsta L și apoi moare, iar pentru fiecare vârstă (până la L ) există același număr de oameni în populație. Acest lucru este adesea bine justificat pentru țările dezvoltate în care există o mortalitate infantilă scăzută și o mare parte a populației trăiește până la speranța de viață.
• Amestecarea omogenă a populației, adică, indivizii populației supuși controlului asortează și iau contact la întâmplare și nu se amestecă mai ales într-un subgrup mai mic. Această presupunere este rareori justificată, deoarece structura socială este larg răspândită. De exemplu, majoritatea oamenilor din Londra iau contact doar cu alți londonezi. Mai mult, în Londra există subgrupuri mai mici, cum ar fi comunitatea turcă sau adolescenții (doar pentru a da două exemple), care se amestecă mai mult decât oamenii din afara grupului lor. Cu toate acestea, amestecarea omogenă este o presupunere standard pentru a face matematica tratabilă.

Tipuri de modele epidemice

Stochastic

„Stochastic” înseamnă a fi sau a avea o variabilă aleatorie. Un model stochastic este un instrument pentru estimarea distribuțiilor de probabilitate ale rezultatelor potențiale, permițând variații aleatorii în una sau mai multe intrări în timp. Modelele stochastice depind de variațiile întâmplătoare ale riscului de expunere, boli și alte dinamici ale bolii. Diseminarea bolii la nivel de agent statistic la populații mici sau mari poate fi determinată prin metode stocastice.

Determinat

Atunci când avem de-a face cu populații mari, ca și în cazul tuberculozei, sunt adesea utilizate modele matematice deterministe sau compartimentale. Într-un model determinist, indivizii din populație sunt repartizați la diferite subgrupuri sau compartimente, fiecare reprezentând un stadiu specific al epidemiei.

Ratele de tranziție de la o clasă la alta sunt exprimate matematic ca derivate, prin urmare modelul este formulat folosind ecuații diferențiale. În timp ce construim astfel de modele, trebuie să presupunem că dimensiunea populației într-un compartiment este diferențiată în funcție de timp și că procesul epidemic este determinist. Cu alte cuvinte, modificările populației unui compartiment pot fi calculate folosind doar istoricul care a fost utilizat pentru a dezvolta modelul.

Numărul reproducerii

Numărul de reproducere de bază (notat cu R ₀ ) este o măsură a cât de transferabilă este o boală. Este numărul mediu de persoane pe care o singură persoană infecțioasă le va infecta pe parcursul infecției lor. Această cantitate determină dacă infecția se va răspândi exponențial, va dispărea sau va rămâne constantă: dacă R ₀ > 1, atunci fiecare persoană infectează în medie mai mult de o altă persoană, astfel încât boala se va răspândi; dacă R ₀ <1, atunci fiecare persoană infectează în medie mai puțin de o persoană, astfel încât boala va dispărea; iar dacă R ₀ = 1, atunci fiecare persoană va infecta în medie exact o altă persoană, astfel boala va deveni endemică: se va deplasa în întreaga populație, dar nu va crește sau scădea.

Stare de echilibru endemică

Se spune că o boală infecțioasă este endemică atunci când poate fi susținută într-o populație fără a fi nevoie de intrări externe. Aceasta înseamnă că, în medie, fiecare persoană infectată infectează exact o altă persoană (mai mult și numărul persoanelor infectate va crește exponențial și va exista o epidemie , cu atât mai puțin, cât și boala va dispărea). În termeni matematici, adică:

${\ displaystyle \ R_ {0} S \ = 1.}$

Numărul de reproducere de bază ( R ₀ ) al bolii, presupunând că toată lumea este susceptibilă, înmulțit cu proporția populației care este de fapt susceptibilă ( S ) trebuie să fie unul (deoarece cei care nu sunt sensibili nu apar în calculele noastre, deoarece nu pot contracta boala). Observați că această relație înseamnă că pentru ca o boală să fie în starea de echilibru endemic , cu cât este mai mare numărul de reproducere de bază, cu atât trebuie să fie mai mică proporția populației susceptibile și invers. Această expresie are limitări în ceea ce privește proporția de susceptibilitate, de exemplu, R ₀ este egal cu 0,5 implică S trebuie să fie 2, cu toate acestea această proporție depășește dimensiunea populației.

Să presupunem distribuția de vârstă staționară dreptunghiulară și lăsați și vârstele de infecție să aibă aceeași distribuție pentru fiecare an de naștere. Lăsați vârsta medie a infecției să fie A , de exemplu atunci când indivizii mai mici de A sunt sensibili și cei mai mari de A sunt imuni (sau infecțioși). Apoi se poate demonstra printr-un argument ușor că proporția populației care este susceptibilă este dată de:

${\ displaystyle S = {\ frac {A} {L}}.}$

Reiterăm că L este vârsta la care în acest model se presupune că fiecare individ moare. Dar definiția matematică a stării de echilibru endemic poate fi rearanjată pentru a da:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {R_ {0}}}.}$

Prin urmare, datorită proprietății tranzitive :

${\ displaystyle {\ frac {1} {R_ {0}}} = {\ frac {A} {L}} \ Rightarrow R_ {0} = {\ frac {L} {A}}.}$

Aceasta oferă o modalitate simplă de a estima parametrul R ₀ utilizând date ușor disponibile.

Pentru o populație cu o distribuție exponențială a vârstei ,

${\ displaystyle R_ {0} = 1 + {\ frac {L} {A}}.}$

Acest lucru permite numărul de reproducere de bază al unei boli date de A și L în ambele tipuri de distribuție a populației.

Modele compartimentale în epidemiologie

Modelele compartimentare sunt formulate ca lanțuri Markov . Un model compartimental clasic în epidemiologie este modelul SIR, care poate fi folosit ca model simplu pentru modelarea epidemiilor. Sunt utilizate, de asemenea, mai multe alte tipuri de modele compartimentare.

Modelul SIR

Diagrama modelului SIR cu valori inițiale și rate pentru infecție și pentru recuperare${\ textstyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ textstyle \ beta = 0.4}$${\ textstyle \ gamma = 0.04}$

Animația modelului SIR cu valorile inițiale și rata de recuperare . Animația arată efectul reducerii ratei de infecție de la . Dacă nu există medicamente sau vaccinare disponibile, este posibilă reducerea ratei de infecție (denumită adesea „ aplatizarea curbei ”) prin măsuri adecvate, cum ar fi distanțarea socială.${\ textstyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ textstyle \ gamma = 0.04}$${\ textstyle \ beta = 0.5}$${\ textstyle \ beta = 0.12}$

În 1927, WO Kermack și AG McKendrick au creat un model în care considerau o populație fixă ​​cu doar trei compartimente: susceptibilă ; infectat ; și recuperat . Compartimentele utilizate pentru acest model sunt formate din trei clase: ${\ displaystyle S (t)}$${\ displaystyle I (t)}$${\ displaystyle R (t)}$

• ${\ displaystyle S (t)}$ este utilizat pentru a reprezenta indivizii care nu au fost încă infectați cu boala la momentul t sau cei susceptibili la boala populației.
• ${\ displaystyle I (t)}$ denotă indivizii populației care au fost infectați cu boala și sunt capabili să răspândească boala la cei din categoria susceptibilă.
• ${\ displaystyle R (t)}$este compartimentul utilizat pentru indivizii populației care au fost infectați și apoi eliminați din boală, fie din cauza imunizării, fie din cauza morții. Cei din această categorie nu pot fi infectați din nou sau să transmită infecția altora.

Alte modele compartimentate

Există multe modificări ale modelului SIR, inclusiv cele care includ nașteri și decese, unde la recuperare nu există imunitate (model SIS), unde imunitatea durează doar o perioadă scurtă de timp (SIRS), unde există o perioadă latentă de boala în care persoana nu este infecțioasă ( SEIS și SEIR ) și în care sugarii se pot naște cu imunitate (MSIR). Pentru evaluarea pragului epidemiei în modelul SIS pe rețele, vezi Parshani și colab.

Dinamica bolilor infecțioase

Modelele matematice trebuie să integreze volumul tot mai mare de date generate de interacțiunile gazdă - agent patogen . Multe studii teoretice privind dinamica populației , structura și evoluția bolilor infecțioase ale plantelor și animalelor, inclusiv ale oamenilor, sunt preocupate de această problemă. Valdez și colab. A dezvoltat recent un model pentru a evalua probabilitatea unei răspândiri la nivel mondial și a declara o pandemie. Subiectele cercetării includ:

• Pandemic
• transmiterea , răspândirea și controlul infecției
• rețele epidemiologice
• epidemiologie spațială
• persistența agenților patogeni în cadrul gazdelor
• dinamica intra-gazdă
• imuno -epidemiologie
• virulenţă
• Structura și interacțiunile tulpinii (biologie)
• schimbarea antigenică
• filodinamica
• genetica populației patogene
• evoluția și răspândirea rezistenței
• rolul factorilor genetici gazdă
• instrumente și inovații statistice și matematice
• rolul și identificarea rezervoarelor de infecție

Matematica vaccinării în masă

Dacă proporția populației imune depășește nivelul imunității efectivului pentru boală, atunci boala nu mai poate persista în populație. Astfel, dacă acest nivel poate fi depășit prin vaccinare, boala poate fi eliminată. Un exemplu al acestei realizări cu succes la nivel mondial este eradicarea globală a variolei , cu ultimul caz sălbatic în 1977. OMS desfășoară o campanie de vaccinare similară pentru eradicarea poliomielitei .

Nivelul imunității turmei va fi notat q . Reamintim că, pentru o stare stabilă:

${\ displaystyle R_ {0} \ cdot S = 1.}$

In schimb,

${\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {N} {S}} = {\ frac {\ mu N \ operatorname {E} (T_ {L})} {\ mu N \ operatorname {E} [\ min (T_ {L}, T_ {S})]}}} = {\ frac {\ operatorname {E} (T_ {L})} {\ operatorname {E} [\ min (T_ {L}, T_ {S} )]}},}$

care este aproximativ:

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {\ operatorname {E}} (T_ {L})} {\ operatorname {\ operatorname {E}} (T_ {S})}} = 1 + {\ frac {\ lambda } {\ mu}} = {\ frac {\ beta N} {v}}.}$

Graficul pragului de imunitate al efectivului față de numărul de reproducere de bază cu boli selectate

S va fi (1 -  q ), deoarece q este proporția populației imune și q  +  S trebuie să fie egală cu una (deoarece în acest model simplificat, toată lumea este fie susceptibilă, fie imună). Atunci:

${\ displaystyle {\ begin {align} & R_ {0} \ cdot (1-q) = 1, \\ [6pt] & 1-q = {\ frac {1} {R_ {0}}}, \\ [6pt ] & q = 1 - {\ frac {1} {R_ {0}}}. \ end {align}}}$

Amintiți-vă că acesta este nivelul pragului. Dacă proporția indivizilor imuni depășește acest nivel din cauza unui program de vaccinare în masă, boala va dispărea.

Tocmai am calculat pragul critic de imunizare (notat q _c ). Este proporția minimă a populației care trebuie imunizată la naștere (sau aproape de naștere) pentru ca infecția să dispară în populație.

${\ displaystyle q_ {c} = 1 - {\ frac {1} {R_ {0}}}.}$

Deoarece fracția din dimensiunea finală a populației p care nu este niciodată infectată poate fi definită ca:

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} S (t) = e ^ {- \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda (t) \, dt} = 1-p.}$

Prin urmare,

${\ displaystyle p = 1-e ^ {- \ int _ {0} ^ {\ infty} \ beta I (t) \, dt} = 1-e ^ {- R_ {0} p}.}$

Rezolvând pentru , obținem: ${\ displaystyle R_ {0}}$

${\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {- \ ln (1-p)} {p}}.}$

Când vaccinarea în masă nu poate depăși imunitatea efectivului

Dacă vaccinul utilizat este insuficient de eficient sau acoperirea necesară nu poate fi atinsă (de exemplu datorită rezistenței populare ), programul poate să nu depășească q _c . Un astfel de program poate, totuși, perturba echilibrul infecției fără a o elimina, provocând deseori probleme neprevăzute.

Să presupunem că o parte din populația q (unde q < q _c ) este imunizată la naștere împotriva unei infecții cu R ₀  > 1. Programul de vaccinare schimbă R ₀ în R _q unde

${\ displaystyle R_ {q} = R_ {0} (1-q)}$

Această schimbare are loc pur și simplu pentru că există în prezent mai puțini susceptibili în populație care pot fi infectați. R _q este pur și simplu R ₀ minus cei care ar fi infectați în mod normal, dar care nu pot fi acum, deoarece sunt imuni.

Ca o consecință a acestui număr redus de reproducere de bază , vârsta medie a infecției A se va schimba, de asemenea, la o valoare nouă A _q la cei care au rămas nevaccinați.

Să ne amintim relația care legat R ₀ , A și L . Presupunând că speranța de viață nu s-a schimbat, acum:

${\ displaystyle R_ {q} = {\ frac {L} {A_ {q}}},}$

${\ displaystyle A_ {q} = {\ frac {L} {R_ {q}}} = {\ frac {L} {R_ {0} (1-q)}}.}$

Dar R ₀ = L / A deci:

${\ displaystyle A_ {q} = {\ frac {L} {(L / A) (1-q)}} = {\ frac {AL} {L (1-q)}} = {\ frac {A} {1-q}}.}$

Astfel, programul de vaccinare va crește vârsta medie a infecției, o altă justificare matematică pentru un rezultat care ar fi putut fi intuitiv evident. Persoanele nevaccinate se confruntă acum cu o forță redusă de infecție datorită prezenței grupului vaccinat.

Cu toate acestea, este important să se ia în considerare acest efect atunci când se vaccină împotriva bolilor care sunt mai severe la persoanele în vârstă. Un program de vaccinare împotriva unei astfel de boli care nu depășește q _c poate provoca mai multe decese și complicații decât înainte de intrarea în vigoare a programului, deoarece indivizii vor prinde boala mai târziu în viață. Aceste rezultate neprevăzute ale unui program de vaccinare se numesc efecte perverse .

Când vaccinarea în masă depășește imunitatea efectivului

Dacă un program de vaccinare determină proporția indivizilor imuni dintr-o populație să depășească pragul critic pentru o perioadă semnificativă de timp, transmiterea bolii infecțioase în acea populație se va opri. Aceasta este cunoscută sub numele de eliminarea infecției și este diferită de eradicare .

Eliminare

Întreruperea transmiterii endemice a unei boli infecțioase, care are loc dacă fiecare individ infectat se infectează mai puțin decât celălalt, se realizează prin menținerea acoperirii vaccinale pentru a menține proporția de indivizi imuni peste pragul critic de imunizare.

Eradicarea

Reducerea la zero a organismelor infecțioase în sălbăticie din întreaga lume. Până în prezent, acest lucru a fost realizat doar pentru variolă și peste bovina . Pentru a ajunge la eradicare, trebuie realizată eliminarea în toate regiunile lumii.

Fiabilitate

Modelele au avantajul de a examina simultan mai multe rezultate, mai degrabă decât de a face o singură previziune. Modelele au demonstrat un grad larg de fiabilitate în pandemiile anterioare, cum ar fi SARS , gripa porcină , MERS și Ebola .

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

linkuri externe

Software

• Model-Builder : software interactiv (bazat pe GUI) pentru a construi, simula și analiza modele ODE.
• GLEaMviz Simulator : Permite simularea bolilor infecțioase emergente răspândite în întreaga lume.
• STEM : cadru open source pentru modelare epidemiologică disponibil prin Fundația Eclipse.
• Supravegherea pachetului R : Modelarea și monitorizarea temporală și spațio-temporală a fenomenelor epidemice