Suprafata minima - Minimal surface

O suprafață minimă helicoidă formată dintr-un film de săpun pe un cadru elicoidal

În matematică , o suprafață minimă este o suprafață care își minimizează local aria. Acest lucru este echivalent cu a avea curbura medie zero (a se vedea definițiile de mai jos).

Termenul „suprafață minimă” este folosit deoarece aceste suprafețe au apărut inițial ca suprafețe care au minimizat suprafața totală supusă unor constrângeri. Modelele fizice ale suprafețelor minime de minimizare a suprafeței pot fi realizate prin scufundarea unui cadru de sârmă într-o soluție de săpun, formând o peliculă de săpun , care este o suprafață minimă a cărei limită este cadrul de sârmă. Cu toate acestea, termenul este utilizat pentru suprafețe mai generale care se pot intersecta sau nu au constrângeri. Pentru o constrângere dată pot exista, de asemenea, mai multe suprafețe minime cu zone diferite (de exemplu, a se vedea suprafața minimă a revoluției ): definițiile standard se referă doar la un optim local , nu la un optim global .

Definiții

Suprafața minimă a turnului de șa . În timp ce orice modificare mică a suprafeței îi mărește suprafața, există alte suprafețe cu aceeași limită cu o suprafață totală mai mică.

Suprafețele minime pot fi definite în mai multe moduri echivalente în R ³ . Faptul că sunt echivalente servește pentru a demonstra modul în care teoria suprafeței minime se află la intersecția mai multor discipline matematice, în special geometria diferențială , calculul variațiilor , teoria potențialului , analiza complexă și fizica matematică .

Definiția locală a celei mai mici zone : O suprafață M ⊂ R ³ este minimă dacă și numai dacă fiecare punct p ∈ M are o vecinătate , delimitată de o curbă simplă închisă, care are cea mai mică zonă dintre toate suprafețele care au aceeași graniță.

Această proprietate este locală: ar putea exista regiuni pe o suprafață minimă, împreună cu alte suprafețe de suprafață mai mică care au aceeași graniță. Această proprietate stabilește o legătură cu filmele de săpun; o peliculă de săpun deformată pentru a avea un cadru de sârmă ca limită va reduce aria.

Definiție variațională : o suprafață M ⊂ R ³ este minimă dacă și numai dacă este un punct critic al zonei funcțional pentru toate variațiile compatibile .

Această definiție face din suprafețele minime un analog bidimensional cu geodezica , care sunt definite în mod analog ca puncte critice ale lungimii funcționale.

Planuri minime de curbură a suprafeței. Pe o suprafață minimă, curbura de-a lungul planurilor principale de curbură este egală și opusă în fiecare punct. Acest lucru face ca curbura medie să fie zero.

Definiția curburii medii : o suprafață M ⊂ R ³ este minimă dacă și numai dacă curbura sa medie este egală cu zero în toate punctele.

O implicație directă a acestei definiții este că fiecare punct de pe suprafață este un punct de șa cu curburi principale egale și opuse . În plus, acest lucru transformă suprafețe minime în soluțiile statice ale curgerii medii a curburii . Prin ecuația Young – Laplace , curbura medie a unui film de săpun este proporțională cu diferența de presiune dintre părți. Dacă pelicula de săpun nu cuprinde o regiune, atunci aceasta va face curbura medie zero. Prin contrast, o bulă de săpun sferică cuprinde o regiune care are o presiune diferită de regiunea exterioară și, ca atare, nu are o curbură medie zero.

Definiția ecuației diferențiale : o suprafață M ⊂ R ³ este minimă dacă și numai dacă poate fi exprimată local ca graficul unei soluții a

{\ displaystyle (1 + u_ {x} ^ {2}) u_ {yy} -2u_ {x} u_ {y} u_ {xy} + (1 + u_ {y} ^ {2}) u_ {xx} = 0}

Ecuația diferențială parțială din această definiție a fost găsită inițial în 1762 de Lagrange , iar Jean Baptiste Meusnier a descoperit în 1776 că implică o curbură medie care dispare.

Definiția energiei : O imersie conformală X : M → R ³ este minimă dacă și numai dacă este un punct critic al energiei Dirichlet pentru toate variațiile suportate compact, sau echivalent dacă orice punct p ∈ M are un vecinătate cu cea mai mică energie în raport cu limite.

Această definiție leagă suprafețele minime de funcțiile armonice și teoria potențială .

Definiție armonică : Dacă X = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ): M → R ³ este o imersie izometrică a unei suprafețe Riemann în 3 spații, atunci se spune că X este minimă ori de câte ori x _i este o funcție armonică pe M pentru fiecare i .

O implicație directă a acestei definiții și a principiului maxim pentru funcțiile armonice este că nu există suprafețe minime complete compacte în R ³ .

Definiția hărții Gauss : o suprafață M ⊂ R ³ este minimă dacă și numai dacă harta Gauss g proiectată stereografic a ei : M → C ∪ {∞} este meromorfă în raport cu structura de suprafață Riemann subiacentă și M nu este o bucată de sferă .

Această definiție utilizări care curbura medie este de jumătate din urme de operatorul formei , care este legată de derivatele hărții Gauss. Dacă harta Gauss proiectată se supune ecuațiilor Cauchy-Riemann, atunci fie urma dispare, fie fiecare punct al lui M este ombilic , caz în care este o bucată de sferă.

Definițiile zonei minime locale și variaționale permit extinderea suprafețelor minime la alte varietăți Riemanniene decât R ³ .

Istorie

Teoria suprafeței minime provine de la Lagrange, care în 1762 a considerat problema variațională a găsirii suprafeței z = z ( x , y ) a celei mai mici zone întinse pe un contur închis dat. El a derivat ecuația Euler-Lagrange pentru soluție

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {z_ {x}} {\ sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2}}} } \ right) + {\ frac {d} {dy}} \ left ({\ frac {z_ {y}} {\ sqrt {1 + z_ {x} ^ {2} + z_ {y} ^ {2} }}} \ right) = 0}

Nu a reușit să găsească nicio soluție dincolo de avion. În 1776, Jean Baptiste Marie Meusnier a descoperit că helicoidul și catenoidul satisfac ecuația și că expresia diferențială corespunde de două ori curbura medie a suprafeței, concluzionând că suprafețele cu curbura medie zero reduc zona.

Prin extinderea ecuației Lagrange la

{\ displaystyle \ left (1 + z_ {x} ^ {2} \ right) z_ {yy} -2z_ {x} z_ {y} z_ {xy} + \ left (1 + z_ {y} ^ {2} \ dreapta) z_ {xx} = 0}

Gaspard Monge și Legendre în 1795 au derivat formule de reprezentare pentru suprafețele soluției. În timp ce acestea au fost folosite cu succes de Heinrich Scherk în 1830 pentru a-și obține suprafețele , acestea au fost în general considerate ca practic inutilizabile. Catalanul a dovedit în 1842/43 că helicoidul este singura suprafață minimă condusă .

Progresul a fost destul de lent până la mijlocul secolului când problema Björling a fost rezolvată folosind metode complexe. A început „prima epocă de aur” a suprafețelor minime. Schwarz a găsit soluția problemei Plateau pentru un patrulater regulat în 1865 și pentru un patrulater general în 1867 (permițând construirea familiilor sale periodice de suprafață ) folosind metode complexe. Weierstrass și Enneper au dezvoltat formule de reprezentare mai utile , legând ferm suprafețele minime de analiza complexă și funcțiile armonice . Alte contribuții importante au venit de la Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret și Weingarten.

Între 1925 și 1950 a reînviat teoria suprafeței minime, care acum vizează în principal suprafețele minime neparametrice. Soluția completă a problemei Platoului de către Jesse Douglas și Tibor Radó a fost o etapă majoră. Problema lui Bernstein și lucrarea lui Robert Osserman pe suprafețe minime complete de curbură totală finită au fost, de asemenea, importante.

O altă renaștere a început în anii 1980. O cauză a fost descoperirea în 1982 de către Celso Costa a unei suprafețe care respingea presupunerea că planul, catenoidul și helicoidul sunt singurele suprafețe minime integrate în R ³ de tip topologic finit. Acest lucru nu numai că a stimulat o nouă lucrare privind utilizarea vechilor metode parametrice, dar a demonstrat, de asemenea, importanța graficelor pe computer pentru a vizualiza suprafețele studiate și a metodelor numerice pentru a rezolva „problema perioadei” (atunci când se utilizează metoda suprafeței conjugate pentru a determina patch-uri de suprafață care pot fi asamblate într-o suprafață simetrică mai mare, anumiți parametri trebuie să fie asortați numeric pentru a produce o suprafață încorporată). O altă cauză a fost verificarea de către H. Karcher a faptului că suprafețele minime periodice triple descrise inițial empiric de Alan Schoen în 1970 există de fapt. Acest lucru a condus la o bogată menajerie de familii de suprafețe și metode de derivare a suprafețelor noi din vechi, de exemplu prin adăugarea de mânere sau distorsionarea acestora.

În prezent teoria suprafețelor minime s-a diversificat la submanifolduri minime în alte geometrii ambientale, devenind relevantă pentru fizica matematică (de exemplu, conjectura de masă pozitivă , conjectura Penrose ) și geometria cu trei manifolduri (de exemplu, conjectura Smith , conjectura Poincaré , Geometrizarea Thurston Conjectură ).

Exemple

Suprafața minimă a lui Costa

Exemple clasice de suprafețe minime includ:

avionul , care este un banal caz
catenoide : suprafețe minime realizate prin rotirea unei catenare o dată în jurul direcției sale
helicoizi : o suprafață măturată de o linie care se rotește cu viteză uniformă în jurul unei axe perpendiculare pe linie și se mișcă simultan de-a lungul axei cu viteză uniformă

Suprafețele din epoca de aur din secolul al XIX-lea includ:

Suprafețe minime Schwarz : suprafețe periodice triple care umple R ³
Suprafața minimă a lui Riemann : o suprafață periodică descrisă postum
suprafața Enneper
suprafața Henneberg : prima suprafață minimă non-orientabil
Suprafața minimă a lui Bour
suprafața Neovius : o suprafață periodică triply

Suprafețele moderne includ:

Gyroid : Unul din 1970 suprafețelor Schoen, la o suprafață triply periodică de interes particular pentru structura cu cristale lichide
Saddle turn de familie: generalizări de a doua suprafață de Scherk lui
Suprafața minimă a lui Costa : Conjectura faimoasă este rezistentă. Descris în 1982 de Celso Costa și vizualizat ulterior de Jim Hoffman . Jim Hoffman, David Hoffman și William Meeks III au extins apoi definiția pentru a produce o familie de suprafețe cu diferite simetrii de rotație.
suprafața Chen-Gackstatter familie, adăugând mânere la suprafață Enneper.

Generalizări și linkuri către alte domenii

Suprafețele minime pot fi definite în alte varietăți decât R ³ , cum ar fi spațiul hiperbolic , spațiile cu dimensiuni superioare sau varietățile Riemanniene .

Definiția suprafețelor minime poate fi generalizată / extinsă pentru a acoperi suprafețele de curbură medie-constantă : suprafețe cu o curbură medie constantă, care nu trebuie să fie egală cu zero.

În geometria diferențială discretă sunt studiate suprafețele discrete minime: complexe simpliciale de triunghiuri care își minimalizează aria sub mici perturbații ale pozițiilor lor de vârf. Astfel de discretizări sunt adesea utilizate pentru a aproxima numeric suprafețele minime, chiar dacă nu se cunosc expresii de formă închise.

Mișcarea browniană pe o suprafață minimă duce la dovezi probabilistice ale mai multor teoreme pe suprafețe minime.

Suprafețele minime au devenit o zonă de studiu științific intens, în special în domeniile ingineriei moleculare și științei materialelor , datorită aplicațiilor anticipate în auto-asamblarea materialelor complexe. Reticulului endoplasmatic , o structura importanta in biologie celulara, se propune a fi sub presiune evolutivă pentru a se conforma unei suprafețe minime netrivială.

În câmpurile relativității generale și ale geometriei lorentziene , anumite extensii și modificări ale noțiunii de suprafață minimă, cunoscute sub numele de orizonturi aparente , sunt semnificative. Spre deosebire de orizontul evenimentelor , ele reprezintă o abordare bazată pe curbură pentru a înțelege limitele găurilor negre .

Cortul de circ aproximează o suprafață minimă.

Structurile cu suprafețe minime pot fi utilizate ca corturi.

Suprafețele minime fac parte din setul de instrumente de design generativ folosit de designerii moderni. În arhitectură a existat mult interes pentru structurile de tracțiune , care sunt strâns legate de suprafețe minime. Un exemplu celebru este Olympiapark din Münich de Frei Otto , inspirat de suprafețele de săpun.

În lumea artei, suprafețele minime au fost explorate pe larg în sculptura lui Robert Engman (1927–), Robert Longhurst (1949–) și Charles O. Perry (1929–2011), printre altele.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

Manuale

Tobias Holck Colding și William P. Minicozzi, II. Un curs pe suprafețe minime. Studii postuniversitare în matematică, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii + 313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8
R. Courant. Principiul lui Dirichlet, cartografierea conformă și suprafețele minime. Anexă de M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, NY, 1950. xiii + 330 pp.
Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt și Friedrich Sauvigny. Suprafețe minime. Ediția a doua revizuită și mărită. Cu asistență și contribuții de A. Küster și R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi + 688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-11698-8 , MR 2566897
H. Blaine Lawson, Jr. Prelegeri despre submanifolduri minime. Vol. I. A doua ediție. Matematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv + 178 pp. ISBN 0-914098-18-7
Johannes CC Nitsche. Prelegeri pe suprafețe minime. Vol. 1. Introducere, elemente fundamentale, geometrie și probleme de bază ale valorilor la graniță. Traducere din limba germană de Jerry M. Feinberg. Cu o prefață germană. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi + 563 p. ISBN 0-521-24427-7
Robert Osserman. Un studiu al suprafețelor minime. A doua editie. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi + 207 pp. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409

Resurse online

Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). „Touching Soap Films - O introducere la suprafețe minime” . Adus la 27 decembrie 2006 . (introducere grafică la suprafețe minime și filme de săpun.)
Jacek Klinowski. „Galerie periodică de suprafețe minime” . Adus pe 2 februarie 2009 . (O colecție de suprafețe minime cu exemple clasice și moderne)
Martin Steffens și Christian Teitzel. „Biblioteca de suprafață minimă a strugurilor” . Adus la 27 octombrie 2008 . (O colecție de suprafețe minime)
Diverse (2000). „Modele EG” . Adus la 28 septembrie 2004 . (Jurnal online cu mai multe modele publicate de suprafețe minime)

Languages

In other projects